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【精选】高中数学北师大版选修2-2第2章《导数的概念及其几何意义》(第3课时)word教案-数学

【精选】高中数学北师大版选修2-2第2章《导数的概念及其几何意义》(第3课时)word教案-数学

数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 §2 导数的概念及其几何意义 导数的几何意义(二) 第三课时 一、教学目标:掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得,掌握切线斜率的求 法. 二、教学重点,难点:(1)能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想 方法;(2)会求曲线上一点处的切线斜率. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、问题情境 1.情境:设 P 是曲线上的一点,将点 P 附近的曲线放大、再放大,则点 P 附近将 逼近一条确定 的直线 l . 2.问题:怎样找到在曲线上的一点 P 处最逼曲线的直线 l 呢? (二)、学生活动 如上图直线 l1 , l2 为经过曲线上一点 P 的两条直线. (1)判断哪一条直线在点 P 附近更加逼近曲线. (2)在点 P 附近能作出一条比 l1 , l2 更加逼近曲线 的直线 l3 吗? y l1 l2 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 P 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 (3)在点 P 附近能作出一条比 l1 , l2 , l3 更加逼近曲线的直线 l4 吗? (三)、建构数学 1.割线及其斜率:连结曲线 C 上的两点的直线 PQ 叫曲线 C 的割线, 设曲线 C 上的一点 P( x, f ( x)) ,过点 P 的一条割线交曲线 C 于另一点 Q( x ? ?x, f ( x ? ?x)) ,则割线 PQ 的斜率为 kPQ ? f ( x ? ?x) ? f ( x) f ( x ? ?x) ? f ( x) . ? ( x0 ? ?x) ? x0 ?x 2. 切线的定义:随着点 Q 沿着曲线 C 向点 P 运动,割线 PQ 在点 P 附近越来越逼 近曲线 C 。当点 Q 无限逼近点 P 时,直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直 线 l ,这条直线 l 也称为曲线在点 P 处的切线; 3. 切线的斜率:当点 Q 沿着曲线 C 向点 P 运动,并无限靠近点 P 时,割线 PQ 逼 近点 P 处的切线 l ,从而割线的斜率逼近切线 l 的斜率,即当 ?x 无限趋近于 0 时, f ( x ? ?x) ? f ( x) 无限趋近于点 P( x, f ( x)) 处的切线的斜率. ?x (四)、数学运用 1.例题: 例 1.已知曲线 y ? x2 , (1)判断曲线 P(1,1) 在点 P 处是否有切线,如果有,求切线的斜率,然后写出 切线的方程. (2)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线斜率。 分析:(1)若 Q 是曲线 y ? x2 上点 P 附近的一点,当 Q 沿着曲线 y ? x2 无限接近 点 P 时,割线 PQ 的斜率是否无限接近于一个常数.若有,则这个常数是曲线 y ? x2 在点 P 处的切线的斜率;(2)为求得过点 (2, 4) 的切线斜率,我们从经过点 (2, 4) 的任意一点直线(割线)入手。 解:(1)在曲线 y ? x2 上点 P 附近的取一点 Q ,设点 Q 的横坐标为 1 ? ?x , 则函数的增量为 ?y ? (1 ? ?x)2 ?1 ? 2?x ? (?x)2 , 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 ∴割线 PQ 的斜率为 kPQ ?y 2?x ? (?x)2 ? ? ? 2 ? ?x , ?x ?x ∴当 ?x 无限趋近于 0 时, kPQ ? 2 ? ?x 无限趋近于常数 2, ∴曲线 y ? x 2 在点 P 处有切线,且切线的斜率为 2 , ∴所求切线方程是 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 . (2)设 P(2, 4) , Q(2 ? ?x,(2 ? ?x)2 ) ,则割线 PQ 的斜率为 kPQ ? (2 ? ?x)2 ? 4 ? 4 ? ?x ?x 当 ?x 无限趋近于 0 时, k PQ 无限趋近于常数 4,从而曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, 4) 处切线的斜率为 4 。 例 2.已知 f ( x) ? 2 x2 ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率. 分析:为了求过点 (1, 2) 的切线的斜率,要从经过点 (1, 2) 的任意一条割线入手. 解:设 P(1, 2) , Q(1 ? ?x, 2(1 ? ?x) 2 ? 2) ,则割线 PQ 的斜率: kPQ ? 2(1 ? ?x)2 ? 2 ? 2 2(?x 2 ? 2?x) 2?x ? 4 ? ? . ?x ?x( 2(1 ? ?x)2 ? 2 ? 2) 2(1 ? ?x) 2 ? 2 ? 2 当 ?x 无限趋近于 0 时, k PQ 无限趋近于常数 1,∴曲线 y ? f ( x) 在点 P 处有切 线,且切线的斜率为 1 . 例 3.已知曲线方程 y ? 解:设 Q(2 ? ?x, 1 ,求曲线在 P(2, ?1) 处的切线方程. 1? x 1 ) 是点 P 附近的一点, 1 ? (2 ? ?x) k PQ 1 ?1 ??x 1 1 ? (2 ? ?x) ? ? ? . ?x ?x(?1 ? ?x) 1 ? ?x 当 ?x 无限趋近于 0 时, k PQ 无限趋近于常数 1,∴曲线 y ? f ( x) 在点 P 处有切线, 且切线的斜率为 1 .所求直线方程: x ? y ? 3 ? 0 . 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数

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