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2018届高三数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及应用课件理_图文

2018届高三数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及应用课件理_图文

理数
课标版

第九节 函数模型及应用

教材研读
1.几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0) f(x)= x (k为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
k ?

指数函数模型
对数函数模型 幂函数模型

f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)

2.三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质 y=ax (a>1) 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 ④ 越来越快 ⑤ 越来越慢 相对平稳 ① 增函数 y=logax (a>1) ② 增函数 y=xα (α>0) ③ 增函数

图象的变化 随x增大逐渐表现为与 随x增大逐渐表现为 随α值变化而不同 ⑥ y轴 值的比较 平行 与⑦ x轴 平行

存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax

3.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论;

(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.?(×) (2)“指数爆炸”是指数型函数y=a· bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来 越快的形象比喻.?(×) (3)幂函数增长比直线增长更快.?(×)

1.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的
速度注入其中,注满为止.用容器下面所对的图象表示该容器中水面的 高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( )

?
?
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案 A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水
面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出 来,①中的增长应该是匀速的,故下面的图象不正确;②中的增长速度是 越来越慢的,正确;③中的增长速度是先快后慢再快,正确;④中的增长速 度是先慢后快再慢,也正确,故只有①是错误的.选A.

2.(2016山东济宁模拟)某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递
减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是? ( A.减少7.84% C.减少9.5% B.增加7.84% D.不增不减 )

答案 A 设某商品原来价格为a,依题意得:
a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.921 6a,
(0.921 6-1)a=-0.078 4a, 所以四年后的价格与原来价格比较,减少7.84%.

3.(2016山东淄博模拟)某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行
程不超过100 km,票价是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分 按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系 式是 答案 y=? ? .
?0.5 x,0 ? x ? 100 ?0.4 x ? 10, x ? 100 ?0.5 x,0 ? x ? 100, ?0.4 x ? 10, x ? 100.

解析 由题意可得y=? ?

4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形
的面积最大,则隔墙的长度为 .

答案 3
解析 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S, 则S=(12-2x)x=-2x +12x=-2(x-3) +18,
2 2

∴当x=3时,S取最大值.

考点突破
考点一 一次函数与二次函数模型
典例1 牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际 蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增 长量y只与实际蓄养量x只和空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式; (2)求羊群年增长量的最大值; (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围. 解析 (1)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率
? 为? ,故空闲率为1-? ,由此可得y=kx? ?1 ?

x m

x m

?

x? ? (0<x<m). m?

(2)对原二次函数配方,
k 2 k? m ? km x ? 得y=-? (x -mx)=-? ? ? +? . m m? 4 2?

?

2

故当x=? 时,y取得最大值? . (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长

m 2

km 4

量的和小于最大蓄养量,所以0<x+y<m.
m km 2 4 m km 所以0<? +? <m,解得-2<k<2. 2 4

因为当x=? 时,ymax=? ,

又因为k>0,所以0<k<2.

易错警示
一次函数与二次函数模型问题的3个注意点 (1)二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定 要注意函数的定义域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题. 变式1-1 若本例牧场中羊群的最大蓄养量为10 000只,实际蓄养量为

8 000只,比例系数k=1,则此时的年增长量为多少?
解析
? m? 8 000 ? =1 可得y=1×8 000×? 600.? 故此时羊群的年增长量为1 600只. 1 ? ? ? ? 10 000 ? x ?x<m),将m=10 000,x=8 000,k=1代入计算 ? (0< 由例题知y=kx? 1 ? ? ?

1-2 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进
行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元) 与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=? x2-200x+80 000, 且每处理一吨二氧化碳得到价值为100元的可利用化工产品.该单位每 月能否获利?如果能获利,求出每月最大利润;如果不能获利,则需要国家 每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损? 解析 设获利(或补贴)的钱数为S元,
?1 2 ? 则S=100x-y=100x-? x ? 200 x ? 80 000 ? ? ?2 ?

1 2

1 x2+300x-80 000 =-? 2

=-? (x-300)2-35 000,
因为400≤x≤600, 所以当x=400时,S有最大值-40 000.

1 2

故该单位不能获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能使该单位不亏
损.

考点二 对勾函数模型
典例2 (2016山东泰安模拟)某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天 需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用 平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该场多少天购 买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 解析 设该场x(x∈N*)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y元.
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天 饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=(3x2-3x)元. 从而有y=?(3x2-3x+300)+200×1.8=?+3x+357≥417,当且仅当?=3x,
1 x 300 x 300 x

即x=10时,y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的
总费用最少.

方法技巧
应用对勾函数模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=? “相加”而
b x

成的.
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+? 的模型,有时则是将所 列函数关系式转化为含“ax+? ”的形式.
b x b x

(3)利用模型f(x)=ax+? 求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最
值时的条件.

b x

2-1 (2016四川绵阳模拟)利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之

间,年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y
x2 =? -30x+4 000,则每吨平均成本最低时的年产量为? ( 10

)

A.240吨

B.200吨

C.180吨

D.160吨
x 10 x x

y x 4 000 y 答案 B 依题意,得每吨平均成本为? =? +? -30(x>0),则? ≥2
x 4 000 -30=10, ? ? 10 x

x 4 000 当且仅当? =? ,即x=200时取等号, 10 x

因此,当每吨平均成本最低时,年产量为200吨.

考点三 指数函数与对数函数模型
典例3 (1)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司20 15年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上 一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份 是 (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 )

(2)(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:
℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该 食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食 品在33 ℃的保鲜时间是 小时.

答案

(1)B (2)24

解析 (1)设x年后研发资金超过200万元,则130(1+12%)x>200?1.12x>
20 20 ? ?xlg 1.12>lg??0.05x>0.19?x>3.8,故该公司全年投入的研发资金 13 13

开始超过200万元的年份是2019年. (2)依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k· eb,
48 =? 48 =? 1 ,所以e11k=1 1-?(舍去), 所以e22k=? ? 或 b e 192 4 2 2

于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e

33k+b

1 ?×192=24(小时). =(e ) · e =? ? ? ?2?
11k 3 b

?

3

规律总结
应用指数函数模型的关注点 (1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题 中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模 型来解决. (2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断,先设定模型,再将 已知的有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.

3-1 (2016广东湛江模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一 个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=ae-bt,经 过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16
1 1 -8b 解析 当t=8时,y=ae =? a,∴e =? ,当容器中的沙子只有开始时的八分 2 2 1 1 之一时,ae-bt=? a,则e-bt=? =(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min,容器中的 8 8
-8b

min,容器中

沙子只有开始时的八分之一.


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