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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第五节椭 圆

2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第五节椭 圆


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第五节
自 主 落 实 · 固 基 础





高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





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自 主 落 实 · 固 基 础

1.椭圆的定义 等于常数 平面内到两定点F1 、F2 的距离的和 __________(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a> 0,c>0,且a,c为常数.

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

2a>|F1F2| (1)若__________,则集合P为椭圆; 2a=|F1F2| (2)若__________,则集合P为线段; 2a<|F1F2| (3)若__________,则集合P为空集.

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2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

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图形

性质

范围

a -a ____≤x≤___ b -b _____≤y≤___

-b _____≤x≤b -a _____≤y≤a

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对称性

坐标轴 对称轴:_______;对称中心:_____ 原点
A1(-a,0), A2(a,0) B1(0,-b), B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

性 质

顶点

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离心率

c e=____∈(0,1) a
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a,b,c的关系

c2=a2-b2





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1.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关 系?

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【提示】

离心率越接近1,椭圆越扁,离心率越接近

0,椭圆就越接近于圆.
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x 2 y2 2.对于椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 为其左、 a b 右焦点.当点 P(x0,y0)落在椭圆外、椭圆上、椭圆内 时, 1|+|PF2|与 2a 有怎样的大小关系?与方程有怎 |PF 样的关系?

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【提示】 当点 P 落在椭圆外时,|PF1|+|PF2|> x2 y2 0 0 2a, 2+ 2>1;当点 P 落在椭圆上时,|PF1|+|PF2|= a b x2 y2 0 0 2a, 2+ 2=1;当点 P 落在椭圆内时,|PF1|+|PF2|< a b x2 y2 0 0 2a, 2+ 2<1. a b

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x2 y2 1.(人教A版教材习题改编)设P是椭圆 + =1上的 25 16 点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于 ( ) A.4 B.5 C.8 D.10
【解析】 【答案】 依椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2×5=10. D

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x2 2.(2013· 潮州质检)直线 x-2y+2=0 经过椭圆 2 a y2 + 2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的 b 离心率为( ) 2 5 5 2 1 A. B. C. D. 5 5 3 2

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【解析】 直线与坐标轴的交点为(-2,0),(0, 2 5 1),c=2,b=1,∴a= 5,∴e= ,故选 A. 5
【答案】 A

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3.已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心 1 率是 ,焦距是 8,则该椭圆的方程为________. 2
c 1 【解析】 由题意知a= ,c=4, 2 ∴a=8,∴b2=a2-c2=64-16=48, y2 x2 ∴椭圆方程为 + =1. 64 48

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【答案】

y2 x2 + =1 64 48

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x 2 y2 4.(2012· 四川高考)椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 4 3 x=m 与椭圆相交于点 A,B,当△FAB 的周长最大时,△ FAB 的面积是________.
【解析】 直线x=m过右焦点(1,0)时,△FAB的周 长最大,由椭圆定义知,其周长为4a=8,此时,|AB|= b2 2×3 2× a = =3, 2 1 ∴S△FAB= ×2×3=3. 2
【答案】 3

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x2 y2 (1)已知F1、F2是椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的两个焦 a b → → 点,P为椭圆C上的一点,且PF1 ⊥PF2 .若△PF1F2的面积为 9,则b=________. x2 y2 (2)已知F1,F2是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左,右焦 a b 点,A,B分别是此椭圆的右顶点和上顶点,P是椭圆上一 点,OP∥AB,PF1⊥x轴,|F1A|= 10 + 5 ,求椭圆的方 程.

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【思路点拨】
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(1)关键抓住点P为椭圆C上的一点,从
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→ → 而有|PF1|+|PF2|=2a,再利用PF1⊥PF2,进而得解.(2)注 意到条件OP∥AB,PF1⊥x轴,必须借助点P的坐标沟通 a,b,c间的联系,只需求直线OP的方程. → 【尝试解答】 (1)由题意知|PF1|+|PF2|=2a, PF1 ⊥
→ PF2, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. ∴|PF1||PF2|=2b2, 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1||PF2|= ×2b2=9, 2 2 因此b=3.
菜 单

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【答案】 3 (2)由题意,A(a,0),B(0,b),F1(-c,0),O(0, 0). ∵OP∥AB, b ∴kOP=kAB=-a, b 因此直线OP的方程为y=-ax, x2 y2 2 代入椭圆 2+ 2=1,得x=± a, a b 2 2 由PF1⊥x轴,知x=- a, 2

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2 从而- a=-c,即a= 2c,① 2 又|F1A|=a+c= 10+ 5② 联立①,②,得a= 10,c= 5, ∴b2=a2-c2=5, x2 y2 所以该椭圆方程为 + =1. 10 5

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1.(1)求椭圆的标准方程的方法:①定义法;②待定系
数法;③轨迹方程法. (2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件,两个 “定量”条件,“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上, “定量”是指确定a、b的值.运用待定系数法时,常结合椭 圆性质,已知条件,列关于a,b,c的方程.

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2.涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明,常利用正

(余)弦定理、椭圆定义,向量运算,并注意|PF1|+|PF2|与
|PF1|· 2|整体代换. |PF

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x 2 y2 (2013· 肇庆模拟)已知椭圆的方程是 2+ =1(a> a 25 5), 它的两个焦点分别为 F1, 2, F 且|F1F2|=8, AB(椭 弦 圆上任意两点的线段)过点 F1 ,则△ABF2 的周长为 ________.

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【解析】 ∵a>5,∴椭圆的焦点在 x 轴上,∴a2
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-25=42,a= 41.由椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a=4 41.
【答案】 4 41
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x2 y2 设椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, a b F2,点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率e; (2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与 5 2 2 圆(x+1) +(y- 3 ) =16相交于M、N两点,且|MN|= 8 |AB|,求椭圆的方程.

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(1)由|PF2|=|F1F2|寻找a,b,c的等量 c 关系,进而计算e= ;(2)求直线PF2的方程,与椭圆、圆 a 5 联立求点A、B、M、N的坐标,利用|MN|= |AB|,求出 8 a,b的值,即可写出椭圆方程. 【尝试解答】 (1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
因为|PF2|=|F1F2|,则 (a-c)2+b2=2c, c2 c 整理得2( ) + -1=0, a a c c 1 ∴ =-1(舍)或 = , a a 2 1 所以椭圆的离心率e= . 2
菜 单

【思路点拨】

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(2)由(1)知a=2c,b=

3 c,得椭圆方程为3x2+4y2=

12c2,直线PF2的方程为y= 3(x-c).
?3x2+4y2=12c2, ? A、B两点的坐标满足方程组? ?y= 3(x-c), ?

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8 消去y并整理,得5x -8cx=0.解得x1=0,x2= c. 5 8 ? ?x1=0, ?x2=5c, ? ? 得方程组的解? ?y1=- 3c, ? ?y2=3 3c. 5 ?
2

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8 3 3 不妨设A( c, c),B(0,- 3c), 5 5 8 2 3 3 16 2 所以|AB|= ( c) +( c+ 3c) = c. 5 5 5 5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 圆心(-1, 3)到直线PF2的距离 |- 3- 3- 3c| 3|2+c| d= = . 2 2 |MN| 2 2 因为d +( ) =42, 2 3 所以 (2+c)2+c2=16. 4
菜 单

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整理得7c2+12c-52=0, 26 得c=- (舍),或c=2. 7 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 12

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1.求椭圆的离心率,其法有三:一是通过已知条件 列方程组,解出a,c的值;二是由已知条件得出关于a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程 求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率. c2 b2 2 2.e与a,b间的关系e = 2=1-(a) . a

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x2 y2 如图8-5-1所示,设椭圆 2 + 2 =1(a>b>0),F1、 a b F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2 交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; → → (2)若椭圆的焦距为2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程.

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【解】 (1)∵|AF1|=|AF2|=a, 且∠F1AF2=90°,|F1F2|=2c, ∴2a2=4c2 c 2 ∴a= 2c,∴e=a= . 2 (2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y), →2=2F2B,解得x=3,y=-b, → 由AF 2 2 9 b2 4 4 x2 y2 代入 2+ 2=1,得 2+ 2=1, a b a b 9 1 ∴ 2+ =1,解得a2=3.∴b2=a2-c2=2. 4a 4 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 3 2
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x y (2012· 北京高考)已知椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的一 a b 2 个顶点为A(2,0),离心率为 .直线y=k(x-1)与椭圆C交 2 于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程. 10 (2)当△AMN的面积为 时,求k的值. 3

2

2

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【思路点拨】

(1)根据椭圆的性质,求a,b得椭圆C的

方程,(2)直线与椭圆方程联立,求得弦长|MN|,进而表示

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S△AMN,得k的方程.
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【尝试解答】

?a=2, ? ?c 2 ? = , (1)由题意得 ?a 2 ?a2=b2+c2, ?

解得b= 2. x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. 4 2 ?y=k(x-1), ? 2 2 (2)由?x y ? 4 + 2 =1, ? 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

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4k2 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= 2, 1+2k 2k2-4 x1x2= 2. 1+2k
所以|MN|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 2 (1+k2)(4+6k2) = . 1+2k2 |k| 又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d= 2, 1+k 所以△AMN的面积为 |k| 4+6k2 1 S= |MN|·d= 2 . 2 1+2k
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|k| 4+6k2 10 由 ,解得k=± 1. 2 = 3 1+2k

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1.本题求解首先由椭圆性质、题设条件,求椭圆的方 程;再利用方程思想,由参数k表示弦长(面积),求待定参 数. 2.直线与椭圆的位置关系:(1)消去y,整理成形如 Ax2+Bx+C=0(A≠0)的形式.再根据△的大小判断直线 与椭圆有几个公共点.(2)若直线与椭圆交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,则|AB|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2. (1+k2)(x1-x2)2 =

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x2 已知椭圆G: +y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切 4 线l交椭圆G于A,B两点. (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值. 【解】 (1)由已知,a=2,b=1,∴c= a2-b2= 3.

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所以椭圆G的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0). c 3 离心率为e=a= . 2

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(2)由题意知,|m|≥1. 当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别 3 3 为(1, ),(1,- ),此时|AB|= 3. 2 2 当m=-1时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m). ?y=k(x-m) ? 2 由?x , 2 ? 4 +y =1 ? 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.

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设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
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4k2m2-4 8k2m x1+x2= ,x1x2= . 1+4k2 1+4k2 又由l与圆x2+y2=1相切, |km| 得 2 =1,即m2k2=k2+1. k +1 所以|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2

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= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] = 4(4k m -4) 64k4m2 2 (1+k )[ - ] (1+4k2)2 1+4k2
2 2
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4 3|m| = 2 . m +3
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由于当m=± 1时,|AB|= 3, 4 3|m| 所以|AB|= 2 (m≤-1或m≥1). m +3 4 3|m| 4 3 ∵ 2 = ≤2,当且仅当m=± 3时取等号. 3 m +3 |m|+ |m| 所以|AB|的最大值为2.

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x2 y2 1.椭圆m+ n =1 的焦点位置与 m、n 间的关系:椭圆焦 点在 x 轴上?m>n>0;椭圆焦点在 y 轴上?n>m>0. 2.椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的最大距离为 a+c, 最小距离为 a-c.

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求椭圆标准方程的方法:(1)定义法,根据椭圆定义, 确定 a2、b2的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法,设出椭圆的标准方程,运用方程思想

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求出a2,b2.
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1.在解答直线与椭圆相交的问题时,常利用根与系数的
关系,设而不求,整体代入. 2.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方 程,再结合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1).

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3.待定系数法求椭圆方程,应首先判定是否为标准方 程,判断的依据是:(1)中心是否在原点;(2)对称轴是否为 坐标轴.
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从近两年的高考试题看,椭圆的定义、标准方程和几何 性质是高考的热点内容,特别是标准方程和离心率几乎年年 涉及,三种题型均有可能呈现,其中解答题以中高档题目为

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主,其命题特征是常与向量、不等式、最值等知识结合命
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题,并注重通性通法的求解,在解答时,一定要注意解题的 规范化.
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规范解答之十四 直线与椭圆交汇问题的求解策略 (13分)(2012· 湖南高考改编)在直角坐标系xOy中,已 1 知中心在原点,离心率为 的椭圆E的一个焦点为圆C:x2 2 +y2-4x+2=0的圆心. (1)求椭圆E的方程; 1 (2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为 的直 2 线l1,l2,当直线l1,l2都与圆C相切时,求点P的整点坐 标.(坐标为整数)

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【规范解答】 (1)由x2+y2-4x+2=0, 得(x-2)2+y2=2,∴圆C的圆心C(2,0),椭圆焦点在 x轴上,····················2分 x2 y2 设椭圆E的方程为 2+ 2=1(a>b>0),其焦距为2c. a b c 1 由题设知c=2,e=a= , 2 ∴a=2c=4,b2=a2-c2=12, x2 y2 故椭圆E的方程为 + =1.·········5分 16 12

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(2)设点P的坐标为(x0,y0),(x0,y0∈Z) l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1,l2的方程分别为l1:y 1 -y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2= .··7分 2 |2k1+y0-k1x0| 由l1与圆C:(x-2) +y =2相切得 = 2 k1+1
2 2

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2,
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∴[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k1+y2-2=0. 1 0 同理可得[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k2+y2-2=0. 2 0 从而k1,k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y 2 -2 0 =0的两个实根,

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?(2-x )2-2≠0, ? 0 ? 于是 ?Δ=8[(2-x0)2+y2-2]>0, ? 0



y2-2 1 0 且k1k2= = .··········10分 (2-x0)2-2 2
2 2 ? x0 y0 ? + =1, ?16 12 由? 得,5x2-8x0-36=0. 2 0 y0-2 1 ? = ?(2-x0)2-2 2 ? 18 18 解之得x0=-2或x0= .( ?Z,舍去). 5 5 由x0=-2,得y0=± 3均满足不等式组①. 故点P的坐标为(-2,3)或(-2,-3).·····13分

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【解题程序】

第一步:化圆为标准方程,确定圆心与

半径;
第二步:利用待定系数法求椭圆E的标准方程; 第三步:设点P(x0,y0),表示直线l1,l2的方程; 第四步:由l1,l2与圆相切,得x0,y0满足的条件;

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第五步:将点P(x0,y0)代入椭圆方程,联立求x0,y0; 第六步:检验反思,查看关键点,易错点,规范答案.
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易错提示:(1)忽视椭圆的焦点在x轴的条件,导致椭圆 方程增解. (2)在第(2)问中,运算不够耐心细致,代数式变换不 当,致使运算错误. (3)研究直线与圆、椭圆位置关系时,忽视判别式应用

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的要求,并忽视检验,导致解题不完整、不规范失分.
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防范措施:(1)注意题目条件的挖掘. (2)直线l1,l2的斜率k1,k2设而不求,整体代换. (3)强化有关直线与圆、椭圆等联立得一元二次方程后 的运算能力,重视根与系数之间的关系及其应用条件,加强 通性、通法的应用.
菜 单

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x y 1.(2012· 江西高考)椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右顶 a b 点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|, |F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为________.

2

2

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【解析】 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|= a+c,且三者成等比数列, 则|F1F2|2=|AF1|·|F1B|, ∴4c2=a2-c2,a2=5c2, 1 5 2 所以e = ,所以e= . 5 5

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【答案】

5 5





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x2 2 2.(2012· 陕西高考)已知椭圆C1: +y =1,椭圆C2以 4 C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率. (1)求椭圆C2的方程; (2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上, → → OB=2OA,求直线AB的方程.

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【解】
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y2 x2 (1)由已知可设椭圆C2的方程为 2 + = a 4
2
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1(a>2), a -4 3 3 其离心率为 ,故 a = ,解得a=4. 2 2 y2 x2 故椭圆C2的方程为 + =1. 16 4
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(2)法一 yB),

A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,
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→ → 由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不 在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx. x2 2 将y=kx代入 +y =1中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 2 所以xA= . 1+4k2 y2 x2 将y=kx代入 + =1中,得(4+k2)x2=16, 16 4 16 2 所以xB= . 4+k2 → =2OA,得x2 =4x2 ,即 16 2= 16 2, → 又由OB B A 4+k 1+4k 解得k=± 1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.
菜 单

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法二
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A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),

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→ → 由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不 在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx. x2 2 将y=kx代入 +y =1中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 2 所以xA= 2. 1+4k 16 16k2 2 → → 由OB=2OA,得xB= ,y2 = . 1+4k2 B 1+4k2

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y 2 2 将xB,yB代入

4+k x 2 + =1中,得 2 =1,即4+k =1 16 4 1+4k

2

2

2

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+4k2, 解得k=± 1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.
菜 单

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课后作业(五十五)

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