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四川高考数学经典复习讲义:8.5空间几何体的表面积和体积

四川高考数学经典复习讲义:8.5空间几何体的表面积和体积


第八章

立体几何初步第 5 课时

空间几何体的表面积和体积

考情分析 了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公 式,会求一些简单几何体的表面积和体积,

考点新知

?了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算
公式(不要求记忆公式).

体会积分思想在计算表面积、体积中的运用. ② 会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆 锥、圆台和球的表面积和体积.

1. (必修 2P69 习题 10 改编)用长、 宽分别是 3π 与 π 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面, 则圆柱的底面面积为________. 2. (原创)若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 __________. 2π 3. (南京二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3 cm,圆心角为 的扇形,则此圆锥的高为________cm. 3 4. (必修 2P55 练习 4 改编)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E、F 分别为 BC、DC 的中点,沿 AE、EF、AF 折 成一个四面体,使 B、C、D 三点重合,则这个四面体的体积为________. 5. (必修 2P69 复习题 5 改编)若长方体三个面的面积分别为 2, 3, 6,则此长方体的外接球的表面积是 ________.

1. 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,直棱柱的侧面积公式是 S 直棱柱侧=ch,底面是正多边形的直棱柱叫 做正棱柱.柱体的体积公式是 V 柱体=Sh. 2. 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面的中心,该棱锥为正棱锥.正棱锥的侧 1 1 面积公式是 S 正棱锥侧= ch′;锥体的体积为 V 锥体= Sh. 2 3 1 3. 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底之间的部分叫做正棱台,其侧面积公式是 S 正棱台侧= (c+ 2 1 c′)·h′;台体的体积公式是 V 台体= h(S+ SS′+S′). 3 4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环;圆柱的侧面积公式是 S 圆柱侧=cl=2πr,圆锥 1 1 的侧面积公式为 S 圆锥侧= cl=πrl,圆台的侧面积公式为 S 圆台侧= (c+c′)l=π(r+r′)l. 2 2 4 5. 球体的体积公式是 V 球= πR3,其中 R 为球的半径. 3
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题型 1 与几何体的表面积有关的问题

例 1 如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 6,则以正方体 ABCDA1B1C1D1 的中心为顶点,以平面 AB1D1 截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________.

备选变式(教师专享)

( 例 1 变式备选)

如图,在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个球的 表面积.

题型 2 与几何体体积有关的问题 例 2 如图① 所示,在 Rt△ ABC 中,AC=6,BC=3,∠ ABC=90° ,CD 为∠ ACB 的平分线,点 E 在线段 AC 上,CE=4.如图② 所示,将△ BCD 沿 CD 折起,使得平面 BCD⊥ 平面 ACD,连结 AB,设点 F 是 AB 的中点. (1) 求证:DE⊥ 平面 BCD; (2) 若 EF∥ 平面 BDG,其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点,求三棱锥 B-DEG 的体积.

图①

图② 变式训练
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在△ ABC 中, ∠ BAC=90° , ∠ B=60° , AB=1, D 为线段 BC 的中点, E、 F 为线段 AC 的三等分点(如图① ). 将 △ ABD 沿着 AD 折起到△ AB′D 的位置,连结 B′C(如图② ). (1) 若平面 AB′D⊥ 平面 ADC,求三棱锥 B′-ADC 的体积; (2) 记线段 B′C 的中点为 H,平面 B′ED 与平面 HFD 的交线为 l,求证:HF∥ l; (3) 求证:AD⊥ B′E.

图①

图②

题型 3 简单几何体的综合应用 例 3 (徐州调研)在边长为 a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形, 再把它的边沿虚线折起(如图), 做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?

备选变式(教师专享) 四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a. (1) 求该四面体的体积的最大值;(2) 当四面体的体积最大时,求其表面积.

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【示例】 (本题模拟高考评分标准,满分 14 分) 如图,底面边长为 a,高为 h 的正三棱柱 ABC-A1B1C1,其中 D 是 AB 的中点,E 是 BC 的三等分点.求几 何体 BDEA1B1C1 的体积.

a a 学生错解:解 ∵BD= ,BE= ,∠ DBE=60° , 2 3 1 3 1 3 ∴S△ DBE= BD· BEsin∠ DBE= a2,S△ A1B1C1= · A1B1· B1C1sin60° = a2. 2 24 2 4 由棱台体积公式得 1 VBDEA1B1C1= h(S△ BDE+S△ A1B1C1+ S△ BDE· S△ A1B1C1) 3 1 ? 3 3 = h? a2+ a2+ 3 ? 24 4 = 7 3+3 2 a2h. 72 3 3 ? a2· a2? 24 4 ?

审题引导: (1) 弄清组合体的结构,这里几何体 DBEA1B1C1 不是棱台,也可补上一个三棱锥使之成为一个 三棱台;(2) 运用体积公式进行计算. 规范解答:

解:如图,取 BC 中点 F,连结 DF、C1D、C1E、C1F,得正三棱台 DBFA1B1C1 及三棱锥 C1DEF. ∵ S△ A1B1C1= 3 a2, 4

1 3 S△ DBF= S△ ABC= a2,(4 分) 4 16 1 ∴ VDBFA1B1C1= h(S△ DBF+S△ A1B1C1+ S△ DBF· S△ A1B1C1) 3 1 3 3 = h( a2+ a2+ 3 4 16 3 3 7 3 a2· a2)= a2h.(8 分) 4 16 48

1 1 3 3 ∴VC1DEF= h· · a2= a2h,(10 分) 3 12 4 144 ∴VBDEA1B1C1=VDBFA1B1C1VC1DEF= 7 3 3 5 3 a2h- a2h= a2h.(14 分) 48 144 38

错因分析:没有弄清所给几何体的结构,几何体 DBEA1B1C1 不是棱台.
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1. (南京调研)如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点 A 出发,沿着 三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为________cm.

4 2. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 π ,半径为 18 cm 的扇形,则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 3 ________. 3. (济南模拟改)如图所示,在正三棱锥 S-ABC 中,M、N 分别是 SC、BC 的中点,且 MN⊥ AM,若侧棱 SA =2 3,则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是________.

4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆 盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________ 寸.(注:① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;② 一尺等于十寸)

5. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,AB⊥ AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥ AB. (1) 求证:CE⊥ 平面 PAD; (2) 若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2,∠ CDA=45° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

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1. (福州模拟)如图所示,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为 1,且 AA1⊥ 底面 ABC,则三棱锥 B1 -ABC1 的体积为________.

2. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 是________.

32 π,那么这个三棱柱的体积 3

3. (杭州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,∠ DAB=90° ,∠ ADC=135° ,AB=5,CD=2 2,AD=2,求四边 形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

4. 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,再用 S 平方 米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径 r 取何值时,S 取得最大值?并求出该最 大值(结果精确到 0.01 平方米).

1. 几何体体积的求法: (1) 若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体,可直接套用公式计算求解; (2) 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.熟练掌 握柱、锥、台、球等各种简单几何体的结构特征,弄清组合体的结构十分必要. 2. 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法: 选择恰当的棱或母线将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.
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