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18版高中数学第一章解三角形1.2应用举例(一)学案新人教B版必修5

18版高中数学第一章解三角形1.2应用举例(一)学案新人教B版必修5

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1.2 应用举例(一)

学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养 提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.

知识点一 常用角 思考 试画出“北偏东 60°”和“南偏西 45°”的示意图.

梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语,请查阅资料后填空: (1)方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角. (2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平线________时 叫仰角,目标视线在水平线________时叫俯角.(如下图所示)
(3)张角 由 C 点看 AB 的张角指的是角________.
知识点二 测量方案 思考 1 如图是北京故宫的角楼,设线段 AB 表示角楼的高度,在宫墙外护城河畔的马路边, 选位置 C,设 CC′为测量仪器的高,过点 C′的水平面与 AB 相交于点 B′,由测点 C′对角 楼进行测量,你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗?
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思考 2 如图,如果移动测量仪 CC′到 DD′(测量仪高度不变),想想 看,我们能测得哪些数据,使问题得以解决?
梳理 测量某个量的方法有很多,但是在实际背景下,有些方法可能没法实施,比如直接测 量某楼高.这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的.设计测量方案的基本任务是 把目标量转化为可测量的量,并尽可能提高精确度.一般来说,基线越长,精确度越高. 类型一 测量两个不能到达点之间的距离问题 例 1 如图,为测量河对岸 A、B 两点的距离,在河的这边测出 CD 的长为 23km,∠ADB=∠CDB =30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求 A、B 两点间的距离.
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反思与感悟 测量两个不可到达的点之间的距离,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理 求三角形的边长问题,然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测 量问题,运用正弦定理解决. 跟踪训练 1 要测量河对岸两地 A、B 之间的距离,在岸边选取相距 100 3米的 C、D 两点, 并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D 在同一平面内), 求 A、B 两地的距离.

类型二 求高度
命题角度 1 测量仰角(俯角)求高度 例 2 如图所示,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10 m,从 D,C 两地测得 A 点的仰角分 别为 30°和 45°,则 A 点离地面的高 AB 等于( )

A.10 m

B.5 3 m

C.5( 3-1) m

D.5( 3+1) m

反思与感悟 利用正弦、余弦定理来解决实际问题时,要从所给的实际背景中,进行加工、

提炼,抓住本质,抽象出数学模型,使之转化为解三角形问题. 跟踪训练 2 江岸边有一炮台 C 高 30 m,江中有两条船 B,A,船与炮台底部 D 在同一直线上,

由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°,则两条船相距________ m.

命题角度 2 测量方位角求高度
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例 3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=________m.
反思与感悟 此类问题特点:底部不可到达,且涉及与地面垂直的平面,观测者两次观测点 所在直线不经过“目标物”,解决办法是把目标高度转化为地平面内某量,从而把空间问题 转化为平面内解三角形问题. 跟踪训练 3

如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点

A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置 D,测得∠BDC=45°,则塔 AB

的高是( )

A.10 m

B.10 2 m

C.10 3 m

D.10 6 m

1.如图,在河岸 AC 上测量河的宽度 BC,测量下列四组数据,较适宜的是 ( )

A.a,c,α B.b,c,α C.c,a,β D.b,α ,γ 2.如图,某人向正东方向走了 x 千米,然后向右转 120°,再朝新方向走了 3 千米,结果他 离出发点恰好 13千米,那么 x 的值是________.
4

3.甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°, 则甲、乙两楼的高分别是________m,________m. 4.如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在 A 所在的 河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°, 则 A、B 两点的距离为________m. 1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”,而测量“两个不可 到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点 间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础,这两类测量距离的题型间既有联系 又有区别. 2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知, 画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角 形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题 的解.
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问题导学 知识点一 思考

答案精析

梳理 (1)90 (2)上方 下方 (3)ACB

知识点二 思考 1 可测得点 A 的仰角 α 的大小.在△AB′C′中,三条边的长度都无法测出,因而 AB′ 无法求得. 思考 2 如图所示,在点 B′,C′,D′构成的三角形中,可以测得∠β 和∠γ 的大小,又 可测得 C′D′的长,这样,我们就可以根据正弦定理求出边 B′C′的长,从而在 Rt△AB′C′ 中,求出 AB′的长.使问题得到解决.

题型探究

类型一 例 1 解 在△BCD 中, ∠CBD=180°-30°-105°=45°, 由正弦定理得sinBC30°=sinCD45°,

则 BC=CsDisnin453°0°= 46(km).

在△ACD 中, ∠CAD=180°-60°-60°=60°, ∴△ACD 为正三角形,

∴AC=CD= 23(km).

在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 45°

36

3 6 23

=4+16-2× 2 × 4 × 2 =8,

6

∴AB= 46(km).

∴河对岸

A、B

两点间的距离为

6 4

km.

跟踪训练 1 解 如图在△ACD 中,∠CAD=180°-(120°+30°)=30°,

∴AC=CD=100 3(米). 在△BCD 中,∠CBD=180°-(45°+75°)=60°, 由正弦定理得 BC=100si3nsi6n0°75° =200sin 75°(米). 在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=(100 3)2+(200sin 75°)2-2×100 3×200sin 75°cos 75° =1002×(3+4×1-cos2 150°-2× 3×sin 150°) =1002×5, ∴AB=100 5(米). 所以河对岸 A、B 两点间的距离为 100 5米. 类型二 命题角度 1 例 2 D [方法一 设 AB=x m, 则 BC=x m. ∴BD=(10+x)m. ∴tan∠ADB=DABB=10x+x= 33. 解得 x=5( 3+1)m. 所以 A 点离地面的高 AB 等于 5( 3+1)m. 方法二 ∵∠ACB=45°, ∴∠ACD=135°, ∴∠CAD=180°-135°-30°=15°. 由正弦定理,
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AC=sin

CD ∠CAD·sin

∠ADC

=sin1015°·sin 30°

= 20 6- 2

∴AB=ACsin 45°=5( 3+1)m.]

跟踪训练 2 30 命题角度 2

例 3 100 6 解析 依题意,∠CAB=30°,AB=600 m, ∠CBA=180°-75°=105°,∠CBD=30°, ∴∠ACB=180°-30°-105°=45°. 由正弦定理,得 BC=sinA∠BACB·sin∠CAB

600 =sin 45°×sin 30°=300 2,

∴CD=BCtan∠CBD=300 2×tan 30°=100 6(m).

跟踪训练 3 D

当堂训练 40
1.D 2.4 3.20 3 3 3 4.50 2

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