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2016届高三文科数学总复习课时提升作业(四十八)8.6双曲线

2016届高三文科数学总复习课时提升作业(四十八)8.6双曲线

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课时提升作业(四十八)
双曲线

(25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.设 P 是双曲线 x2 ? y2 =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个焦点,若
16 20

|PF1|=9,则|PF2|等于( )

A.1

B.17

C.1 或 17

D.以上答案均不对

【解析】选 B.由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1 或 17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 c-a=6-4=2>1,所以

|PF2|=17. 【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为

2>1,从而误选 C. 2.(2015·天水模拟)若双曲线 x2 ? y2 =1 的左焦点与抛物线 y2=-8x 的
m m?2
焦点重合,则 m 的值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【解析】选 A.因为双曲线 x2 ? y2 =1 的左焦点与抛物线 y2=-8x 的焦
m m?2

点重合,所以 m+m-2=4,即 m=3.

【加固训练】与椭圆 C: y2 ? x2 =1 共焦点且过点(1, 3 )的双曲线的标准
16 12
方程为

()

A.x2- y2 =1
3

B.y2-2x2=1

C. y2 - x2 =1
22

D. y2 -x2=1
3

【解析】选 C.椭圆 y2 ? x2 =1 的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准
16 12

方程为 y2 ? x2 =1(m>0,n>0),
mn



?? ?

3 m

?

1 n

? 1,

解得

m=n=2,故选

C.

??m ? n ? 4,

3.(2015·沈阳模拟)已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别

为 F1,F2,点 M 在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线离心率的

最大值为( )

A. 4

B. 5

C.2

D. 7

3

3

3

【解析】选 A.因为|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,

即 2a=6|MF1|≥6(c-a), 故 8a≥6c,即 e= c ? 4 .
a3
4.(2015·贵阳模拟)已知双曲线 y2 ? x2 =1(a>0)的两条渐近线与以椭圆
a2 9

x2 ? y2 =1 的左焦点为圆心,半径为 16 的圆相切,则双曲线的离心率为

25 9

5

()

A. 5

B. 5

C. 4

D. 6

4

3

3

5

【解析】选

A. 双 曲 线

y2 a2

?

x2 9

=1(a>0)的渐近线方程为

y=± a x ;椭圆
3

x2 ? y2 =1 的左焦点为(-4,0),因为渐近线与以椭圆 x2 ? y2 =1 的左焦点为

25 9

25 9

圆心、半径为 16 的圆相切,所以 | ?4a | = 16 ,解得 a=4,所以双曲线的离

5

32 ? a2 5

心率为 5 .
4

5.(2014·温州八校联考)设 F1,F2 是双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的两个

焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30°,

则 C 的离心率为

()

A.

B.

C.

D.

【 解 析 】 选 C. 不 妨 设 P 是 双 曲 线 右 支 上 的 一 点 , 根 据 定 义 可 得

|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c, 且 c>a,所以△PF1F2 的最小内角为∠PF1F2=30°,根据余弦定理可得 cos∠

PF1F2=

= ,又 e= ,即 c=ae 代入化简可得 e= .

【方法技巧】双曲线离心率的求解方法

(1)直接法:利用已知条件直接求出 a,c 的值,再利用离心率公式直接求

解.

(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系 e=

求解.

(3)利用关于 a,c 的齐次式:利用已知条件,寻找 a 与 c 的关系式,然后求

解. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·成都模拟)已知圆 x2+y2-4x-9=0 与 y 轴的两个交点 A,B 都在

某双曲线上,且 A,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的

标准方程为

.

【解析】易知圆与 y 轴的交点坐标为(0,3),(0,-3),因为圆 x2+y2-4x-9=0

与 y 轴的两个交点 A,B 都在某双曲线上,所以双曲线的焦点在 y 轴上,

且 a=3,又 A,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以 c=9,所以 b2=72,

所以此双曲线的标准方程为 y2 ? x2 =1.
9 72
答案: y2 ? x2 =1
9 72
7.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,P 是双曲线右支上的动点,若

A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是

.

【解析】因为 A 点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为 F′(4,0),于是

由双曲线的定义得|PF|-|PF′|=2a=4.而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5.两式相加得

|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A,P,F′三点共线时,等号成立.

答案:9

【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法

与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为

线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.

8.过已知双曲线

x2 4

?

y2 b2

=1(b>0)的左焦点

F1 作☉O:x2+y2=4

的两条切线,

记切点为 A,B,双曲线的左顶点为 C,若∠ACB=120°,则双曲线的离心率



.

【解析】如图,

因为∠OCA=60°,|OC|=|OA|=2, 所以∠AOC=60°,∠AF1C=30°, 所以 e= c ? 1 =2.
a sin30?
答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.过双曲线 x2 ? y2 =1 的右焦点 F2,倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A,B
36
两点,O 为坐标原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|. (2)求△AOB 的面积. 【解析】(1)由双曲线的方程得 a= 3 ,b= 6 , 所以 c= a2 ? b2 =3,F1(-3,0),F2(3,0). 直线 AB 的方程为 y= 3 (x-3).
3

设 A(x1,y1),B(x2,y2),



? ?? ? ? ??

y? x2 ? 3

3 3 y2 6

?

x ?

? 1,

3?

,

得 5x2+6x-27=0.

所以 x1+x2=- 6 ,x1x2=- 27 .

5

5

所以|AB|= 1? k2 |x1-x2|

?

1? ( 3)2 3

? x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2

? 4 36 ? 108 ? 16 3 . 3 25 5 5

(2)直线 AB 的方程变形为 3 x-3y-3 3 =0.

所以原点 O 到直线 AB 的距离为 d= ?3 3 ? 3 .
? ?3 2 ? ??3?2 2

所以 S△AOB= 1 |AB|·d= 1 × 16 3 × 3 = 12 3 .

2

2525

10.已知椭圆 C1的方程为 x2 +y2=1,双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、
4

右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点.

(1)求双曲线 C2 的方程.

(2)若直线 l:y=kx+ 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且

· >2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围.

【解析】(1)设双曲线

C2

的方程为

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0),

则 a2=4-1=3,c2=4,再由 a2+b2=c2,

得 b2=1,

故 C2 的方程为 x2 -y2=1.
3
(2)将 y=kx+ 2 代入 x2 -y2=1,
3
得(1-3k2)x2-6 2 kx-9=0.

由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得

??1? 3k2 ? 0,

? ? ? ? ? ? ?
??? ?

?6

2k

2
? 36

1? 3k2

? 36 1? k2

? 0,

所以 k2≠ 1 且 k2<1.



3

设 A(x1,y1),B(x2,y2),



x1+x2= 6
1?

2k 3k 2

,x1x2=

1

?9 ? 3k

2

,

所以 · =x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+ 2 )(kx2+ 2 ) =(k2+1)x1x2+ 2 k(x1+x2)+2 = 3k2 ? 7 .
3k2 ?1

又由 · >2,得

3k2 ? 7 >2,解得 1 <k2<3,



3k2 ?1

3

由①②得, 1 <k2<1.
3

故 k 的取值范围为(-1,- 3 )∪( 3 ,1).

3

3

(20 分钟 40 分)

1.(5

分 )(2014 · 杭 州 模 拟 ) 如 图 ,F1,F2 分 别 是 双 曲 线

C:

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近

线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M,若

|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )

A. 2 3     B. 6     C. 2    D. 3

3

2

【解析】选

B.由

??? y ? ??? y

? ?

b a b c

x,
?x

?

可解得
c?,

x

?

ac c?a

,

y

?

bc c?a

,



Q ( ac
c?a

,

bc ) c?a

.



???y ? ?y ??

? ?

?
b c

b x, a
?x ?

c?

,可解得

x

?

?

ac c?a

,

y

?

bc c?a

,

即 P (? ac , bc ).
c?a c?a



PQ

的中点为

N,则

N

a2c (c2 ? a2

,

bc2 c2 ? a2

),



M(3c,0).所以

kMN·

b c

=-1,即

bc2 4a2c ? 3c3

?

?

c b

,

整理得 2c3=3a2c,即 e2= 3 , 解得 e= 6 .

2

2

【一题多解】本题还可以用如下方法求解:

直线 BF1 的方程为 y= b x+b,
c



???y ? ???y

? ?

b c
?

x
b a

? b, x,



P

(?

ac c?a

,

bc c?a

).



???y ? ???y

? ?

b c b a

x? x,

b,



Q

(

ac c?a

,

bc c?a

)

.

从而

N

点坐标为

(

a2c b2

,

c2 b

) ,则直线

MN

的方程为 y ?

c2 b

?

? c (x b

?

a2c b2

).

从而得

M

(c

?

a2c b2

, 0),

又 M(3c,0),则 c+ a2c =3c,得 a2=2b2,得 e=
b2

6. 2

【加固训练】已知双曲线 mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为 2,则椭圆

mx2+ny2=1 的离心率为( )

A. 1??????????????????B. 6 ??????????????????C. 3??????????????????D. 2 3

3

3

3

3

【解析】选 B.由已知双曲线的离心率为 2,得:

1 ?1
m n =2,
1 m
解得:m=3n,又 m>0,n>0,所以 m>n,即 1 ? 1 ,
nm
故由椭圆 mx2+ny2=1 得 y2 ? x2 ? 1.
11 nm

所以所求椭圆的离心率为:

e=

1? 1 n m?

1? 1 n 3n ?

6.

1

1

3

n

n

2.(5 分)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成的

角为 60°的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是 这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A.( 2 3 ,2]
3

B.[ 2 3 ,2)
3

C.( 2 3 ,+∞)
3

D.[ 2 3 ,+∞)
3

【解析】选 A.设双曲线的焦点在 x 轴上,则由作图易知双曲线的渐近线

的 斜 率 b 必 须 满 足 3 ? b ? 3, 所 以 1 ? (b)2 ? 3, 4 ? 1? (b)2 ? 4, 即 有

a

3a

3a

3

a

2 3 ? 1? ( b )2 ? 2.又双曲线的离心率为 e ? c ? 1? ( b)2 , 所以 2 3 <e≤2.

3

a

a

a

3

【误区警示】本题极易漏掉 b ? 3, 其原因是对问题考虑不全,造成漏解.
a

【方法技巧】双曲线离心率取值范围的验证技巧

已知双曲线 x2 ? y2 =1(a>0,b>0).
a2 b2

则:(1)当 a>b>0 时,双曲线的离心率满足 1<e< 2 .

(2)当 a=b>0 时,e= 2 (亦称为等轴双曲线).

(3)当 b>a>0 时,e> 2 .

3.(5 分)(2015·苏州模拟)已知 P 为双曲线 C: x2 ? y2 =1 上的点,点 M
9 16

满足| |=1,且 · =0,则当|

C 的渐近线的距离为

.

|取得最小值时的点 P 到双曲线

【解析】因为点 M 满足| |=1,所以点 M 的轨迹是以原点为圆心,1 为 半径的单位圆.不妨设 P 为双曲线右支上的任一点,因为 · =0,所 以 OM⊥PM,所以 △OPM 为直角三角形,且∠OMP=90°,|OP|为该直角三角形的斜边长;因 为 P 为双曲线 C: x2 ? y2 =1 上的点,在 Rt△OPM 中,要使直角边| |最
9 16
小,则只需|OP|最小,因为当点 P 为双曲线 C 的右支与 x 轴的交点 时,|OP|最小,此时 P(3,0),所以此时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为
12 . 5
答案: 12
5
4.(12 分)设 A,B 分别为双曲线 x2 ? y2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲
a2 b2
线的实轴长为 4 3 ,焦点到渐近线的距离为 3 . (1)求双曲线的方程.

(2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右
3

支上存在点 D,使 + =t ,求 t 的值及点 D 的坐标. 【解析】(1)由题意知 a= 2 3,

所以一条渐近线为 y= b x.即 bx-2 3 y=0.所以 bc ? 3.

23

b2 ?12

所以 b2=3,所以双曲线的方程为 x2 ? y2 =1.
12 3

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),

则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.

将直线方程代入双曲线方程得

x2-16 3 x+84=0,

则 x1+x2=16 3 ,y1+y2=12.

所以

? ?? ?

x0 y0

?

43 3

,

所以

??x ?

0

?

4

3

?

x

2 0

?? 12

?

y

2 0

? 1.

3

??y0 ? 3.

所以 t=4,点 D 的坐标为(4 3 ,3).

5.(13 分)(能力挑战题)双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是

y= x,坐标原点到直线 AB 的距离为 ,其中 A(a,0),B(0,-b).

(1)求双曲线的方程.

(2)若 B1 是双曲线虚轴在 y 轴正半轴上的端点,过点 B 作直线交双曲线 于点 M,N,求 B1M ? B1N时,直线 MN 的方程. 【解析】(1)设直线 AB: - =1,由题意,

? ??

b a

?

3,

? ?

ab

?

3

,

所以

?a ?? b

? ?

3, 3,

?? a2 ? b2 2

所以双曲线方程为 - =1.

(2)由(1)得 B(0,-3),B1(0,3),设 M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线 MN 的斜率存

在.

设直线 MN:y=kx-3,

所以

?y ? ??3x2

kx ? ? y2

3, ?

9,

所以

3x2-(kx-3)2=9,

整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,①

所以 x1+x2= ,y1+y2=k(x1+x2)-6= , x1x2= ,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.

因为 B1M =(x1,y1-3), B1N =(x2,y2-3), B1M · B1N =0,所以 x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0, 即 +9- +9=0,

解得 k2=5,所以 k=± 代入①有解,

所以 lMN:y=± x-3. 【加固训练】双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为

l1,l2,经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知

| |,| |,| |成等差数列,且 与 同向. (1)求双曲线的离心率.

(2)设直线 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,

由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,

得 d= 1 m,tan∠AOF= b ,

4

a

tan∠AOB=tan2∠AOF= AB ? 4 ,
OA 3

由倍角公式,得

2? b a

? 4 , 解得 b ? 1 ,

1? (b)2 3

a2

a

则离心率 e= 5 .
2
(2)不妨设过 F 与 l1 垂直的直线方程为 y=- a (x-c),与双曲线方程
b

x2 ? y2 =1
a2 b2

联立,将 a=2b,c= 5 b 代入,

化简有

15 4b2

x2

?

85 b

x

?

21 ?

0,

4?

1? (a )2 b

x1 ? x2

?

[1

?

(

a b

)2

]

???

x1

?

x

2

?2

?

4x1x

2

? ?

,

将数值代入,有4 ? 5[( 32 5b )2 ? 4 28b2 ],

15

5

解得 b=3,故所求的双曲线方程为 x2 ? y2 =1.
36 9

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