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恒等变换与伸压变换

恒等变换与伸压变换


课时 1

恒等变换与伸压变换

【教学目标】 掌握恒等变换与伸压变换的矩阵表示及其几何意义,了解单位矩阵 【教学过程】 一、问题情境

如图△ ABC , 其中 A(?1,0), B(0, 2), C(2,0) , 它们在变换 T 作用前后保持位置不变, 能否用矩阵 M 来表示这一变换?如果能,矩阵 M 是什么?
B 2 1 A C O 1 2 x A y B 2 1 C O 1 2 x y

?1

?1

我们可以看出,在变换 T 的作用前后,△ ABC 上所有点的位置都没有发生 变化,因此有
?x ? ? x? ? ? x ? T : ? ? ?? ?? ? ? ? ? , ? y? ? y? ? ? y ?

变换 T 对应的矩阵为 M ? ? ?。 ?0 1 ?

?1

0?

若分别记点 A,B,C 为列向量 ? ? , ? ? , ? ? ,则 ?0 ? ?0 ? ? 2?
?1 0? ? 2? ? 2? ?1 0? ? ?1? ? ?1? ?1 0? ?0 ? ?0 ? ?0 1 ? ?0 ? ? ?0 ? , ?0 1 ? ?0 ? ? ?0 ? , ?0 1 ? ? 2? ? ? 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
二、数学建构

? 2? ? ?1? ?0 ?

恒等变换矩阵(单位矩阵)和恒等变换 实际上,对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵 ?
?1 0 ? ? 对应的变 ?0 1 ?

换,都把自己变成自己。我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位 矩阵,所实施的对应的变换称作恒等变换。

1

三、例题讲解

例 1.研究坐标平面上正方形 OBCD 在矩阵 A ? ?

?1 0? ? 作用下所得几何图 ?0 1?

形。其中 O(0,0) ,B(1,0) ,C(1,1) ,D(0,1) 。

例 2: 试讨论直线 y ? 2 x ? 2 经过 ? ? 换是什么变换。

?1 0? ? ? 变换后变成了什么图形?并指出该变 ?0 1?

答案:所给方程表示的是一条直线。 设 A(x,y)为直线上的任意一点,经过变换后的点为:A' ( x1,y1)
1 ∵? ?0 ? 0? 1? ? ?x ? = ?x ? ? ? ?y? ? ?y? ?

∴x=x'

y=y'

变换后的方程仍为:y=2x+2 ∴该变换是恒等变换。 (图略)

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伸压变换
y y D 1 B A y 2 1 B A 1 2
1

C

D?

C?
B?
1 2 x

T1
1 2
1

1

x y

A?

D

C

D?

C?
1 2 3 4

T2
x

1

A?

B?
x

已知正方形 ABCD,其中 A(0,0), B(2,0), C(2, 2), D(0, 2) 能否分别用矩阵来 表示变换 T1 , T2 ?从图中我们可以看出,变换 T1 使得正方形上的每个点的横 坐标 不变,而纵坐 标向下压缩为 原来的一半, 所以有
?x ? ?x ? ? x? ? ? ? T1 : ? ? ?? ?? ? ? y , ? y? ? y?? ? ? ?2? ? 0? 1 故变换 T1 对应的矩阵为 M ? ? 1 ? ?0 ? ? 2?

同理,

?x ? ? x? ? ? 2 x ? ? 2 0? T2 : ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ,故变换 T2 对应的矩阵为 N ? ? ? ? y? ? y? ? ? y ? ?0 1 ?

从图我们可以看出,正方形的点在矩阵 M 对应的变换 T1 作用下沿 y 轴负方向被纵向压扁了, 而在矩阵 N 对应的变换 T2 作用下沿 x 轴的正方向
? 0? 1 ? 2 0? 被横向拉长了。像矩阵 ? 1 ? , ? ? ?0 ? ?0 1 ? ? 2?
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这种将平面图形作沿 y 轴方向伸长或压缩,作沿 x 轴方向伸长或压 缩的变换矩阵,通常称做沿 y 或 x 轴的垂直伸压变换矩阵,对应的变换称 为垂直伸压变换,简称伸压变换。

注:伸压变换 T1 不是简单地把平面上的点(向量) “向下”压,它是向 x 轴方向压缩,x 轴上的点变换前后原地不动。同理,伸压变换 T2 使得 y 轴左边的点沿 x 轴负方向拉伸 2 倍,右边的点沿 x 轴正方向拉伸 2 倍,而 y 轴上的点变换前后原地不动。 显然, 线段经过伸压变换以后仍然是线段, 直线仍然是直线.恒等变换是伸压变换的特例。
【例题讲解】

例1.如图所示,已知曲线 y ? sin x 经过变换 T 作用后变为新的曲线 C,试 求变换 T 对应的矩阵 M, 以及曲线 C 的解析表达式。

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例2.验证圆 C: x2 ? y 2 ? 1在矩阵 A ? ? 圆,并求此椭圆的方程

?1 0 ? ? 对应的伸压变换下变为一个椭 ?0 2 ?

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【课后练习】 1.研究直角坐标平面内正方形 OBCD 在矩阵 M ? ? ? 对应的变换作用 ?0 1 ? 下得到的几何图形,其中 O(0,0), B(2,0), C(2, 2), D(0, 2).
?1 0?

? 0? 1 2.考虑以下各向量在矩阵 ? 1 ? 对应的变换作用下的结果,并从几何变 ?0 ? ? 2?

换的角度解释所得结果: (1) ? ? ; (2) ? ? 0 b
? ? ? ?

?a ?

?0?

3.求在伸压变换矩阵 ?

?0.8 0? ? 作用下变换为△ABC 的原几何图形顶点坐标, ?0 1 ?

其中 A (1,0), B (2,0),C(4, 2),并用几何图形加以解释经过怎样的变换。

4.若一条直线 y=4x-4 在伸压变换 M 作用下变成另一直线 y=x-1,求 M

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