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2011年高考数学二轮复习精品学案:31等差数列、等比数列

2011年高考数学二轮复习精品学案:31等差数列、等比数列

专题三:数
第一讲
【备考策略】



等差数列、等比数列

根据近几年高考命题特点和规律,复习本专题时要注意以下几方面: 1.弄清等差、等比数列的基本概念及性质,掌握等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式。 2.掌握特殊数列的求和方法。如:倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和等。 3.利用数列中 an 与 S n 之间的关系,求能项公式及解决其他数列问题。 4.利用数列的递推关系,求通项公式,结合 n 项和公式,解决数列应用题。 5.数列经常与函数、三角、不等式、解析几何等知识结合,综合考查等差、等比数列的性质、通项 公式及前 n 项和公式的应用。 6.利用方程的思想、根据公式列方程(组) ,解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题;利用 函数的思想或根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前 n 项和 S n 的最值问题;利 用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问 题转化为等差、等比数列问题来解决;利用分类讨论的思想 解决等比数列的公比 q 是否为 1 等问题。 7.结合数学归纳法解决一类归纳——猜想——证明的题目。

第一讲
【最新考纲透析】
1.数列的概念和简单表示法

等差数列、等比数列

(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 。 (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数。 2.等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念。 (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式。

【核心要点突破】
要点考向 1:有关等差数列的基本问题 考情聚焦:1.等差数列作为高考中数学的重点内容,在历年高考中都有所考查。 2.该类问题一般独立命题,考查等差数列的概念、性质、通项公式、前 n 项公式,有时与函数的单

调性、不等式知识结合在一起命题。 3.多以选择题、填空题的形式出现,属中、低档题。 考向链接:1.涉及等差数 列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问 题; 2.等差数列前 n 项和的最值问题,经常转化为二次函数的最值问题;有时利用数列的单调性(d>0, 递增;d<0,递减) ; 3.证明数列{ an }为等差数列有如下方法:①定义法;证明 an ?1 ? an ? d (与 n 值无关的常数) ;②等 差中项法:证明 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N ) 。 例 1: (2010·浙江 高考文科·T19)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,满足 S 5 S 6 +15=0。 (Ⅰ)若 S 5 =5,求 S 6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。 【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题解决 问题的能力。 【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前 n 项和求解即可。 【规范解答】(Ⅰ)由题意知 S6= 解得 a1=7,所以 S6= -3,a1=7 (Ⅱ)方法一:因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a1 +9da1+10d +1=0. 故(4a1+9d) =d -8. 所以 d ≥8.[ 故 d 的取值范围为 d≤-2 2 或 d≥2 2 . 方法二:因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a1 +9da1+10d +1=0. 看成关于 a1 的一元二次方程,因为有根,所以 ? ? 81d ? 8(10d ? 1) ? d ? 8 ? 0,解得 d ? ?2 2 或
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2

?

-15 =-3, S5

?5a1 ? 10 d ? 5, a6 =S6-S5=-8。所以 ? ? a 1 ?5d ? ?8.

d ?2 2。
要点考向 2:有关等比数列的基本问题 考情聚焦:1.等比数列作为高中数学的重点内容,在历年高考中都有所考查。 2.该类问题有时单独命题,考查等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式;但更多的是与函数的 单调性、不等式结合在一起,在知识交汇点 处命题。 3.选择、填空及解答题中都有可能出现,属中、高档题。

考向链接: (1)证明数列{ an }为等比数列有如下方法: ①定义法:证明

an ?1 ? q(与n值无关的非零常数) 。 an
2 ?

a ②等比中项法: an ? an ?1 ? n ?1 (n ? 2, n ? N ) 。
(2)求一般数列{ an }通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。 例 2: (2010·辽宁高考理科·T6)设{an}是有正数组成的等比数列, S n 为其前 n 项和。已知 a2a4=1,

S3 ? 7 ,则 S 5 ? (
(A)

) (B)

15 2

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式 【思路点拨】列出关于 a1 q 的方程组,解出 a1 q 再利用前 n 项和公式求出 S 5 【规范解答】选 B。根据题意可得:

?a1qa1q 3 ? 1 1 ? ? a1 ? 4, q ? ? a1 (1 ? q 3 ) 2 ? 1? q ? 7 ? 1 4(1 ? ( )5) 31 2 ? S5 ? ? 1 4 1? 2
要点考向 3:等差、等比数列综合问题 考情聚焦:1.等差、等比数列作为高中数学的重点内容,在历年高考中都有所体现。 2.单独考查等差数列或等比数列的问题较少,大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现,在 两知识的交汇点处命题,同时考查其他数学知识、思想方法等。 3.多以解答题的形式出现,属中、高档题目。 例 3: (2010·陕西高考理科·T16) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 且 a1 , a3 , a9 成等比数列 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)求数列 2

? ? 的前 n 项和 S
an
a

n

【命题立意】 本题主要考查等差、 等比数列的通项公式和前n项和公式的应用, 考查考生的运算求解能力. 【思路点拨】已知 ? 关于 d 的方程 ? d ? an ? 2 n ? S n

(1)由题设知公差d ? 0 【规范解答】

由a1 ? 1, a1 , a3 , a9成等比数列得 解得d ? 1, d ? 0(舍去)

1 ? 2d 1 ? 8d ? 1 1 ? 2d

故 ?an ?的通项an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n (2)由(1)知2a n ? 2n , 2(1 ? 2n ) ? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2n ?1 ? 2. 1? 2
2 3 n

【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运 用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 2.数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项,由 S n 求通项,累加法、累乘法等 3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。 4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的 内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.

【高考真题探究】
1. (2010·福建高考理科·T3)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 。若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9

【命题立意】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度,以及一元二次方程最值问题的求解。 【思路点拨】 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? na1 ?

n(n ? 1) d。 2

【 规 范 解 答 】 选 A , 由 a4 ? a6 ? a1 ? a9 ? ?11 ? a9 ? ?6 , 得 到 a9 ? 5 , 从 而 d ? 2 , 所 以

S n ? ?11n ? n(n ? 1) ? n 2 ? 12 n ,因此当 S n 取得最小值时, n ? 6 .=

3 3 ? ,又 a ? b ,故 A ? B ,从 3 2

而 B ? (0 , 60 ) , cos B ?
0 0

6 . 3

2. (2010·辽宁高考文科·T3)设 sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3s3 ? a4 ? 2,

3s2 ? a3 ? 2 ,则公比 q = (
(A)3 (B)4

) (C)5 (D)6

【命题立意】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式,考查等比数列的通项公式。 【思路点拨】两式相减,即可得到相邻两项的关系,进而可求公比 q。

【规范解答】选 B,两式相减可得: 3a3 ? a4 ? a3 ,即4a3 ? a4 ,? q ?

a4 ? 4 。故选 B。 a3

3. (2010·福建高考理科·T11)在等比数列{ an }中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的 通项公式 an = 。

【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前 n 项和公式。 【思路点拨】由前 3 项之和等于 21 求出 a1 ,进而求出通项 an 。 【规范解答】选 A,?S3 ? 21, q ? 4 ,?

a1 ?1 ? q 3 ? 1? q

? 4,? a1 ? 1,? an ? 4n ?1.
n ?1

【方法技巧】另解:? S3 ? a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21,? a1 ? 1 ,? an ? 4 . 4. (2010·辽宁高考文科·T14)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6 =24,则 a9= 【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和公式 【思路点拨】根据等差数列前 n 项和公式,列出关于首项 a1 和公差 d 的方程组,求出 a1 和 d,再求出 a9 .

3? 2 ? 3a1 ? d ?3 ? ? 2 【规范解答】记首项 a1 公差 d,则有 ? ? a1 ? ?1, d ? 2 。 6?5 ?6 a ? d ? 24 ? 1 ? 2
a9 ? a1 ? (9 ? 1)d ? ?1 ? 8 ? 2 ? 15 。
【答案】15 5. (2010·浙江高考文科·T14)在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么,位于下表 中的第 n 行第 n+1 列的数是 。 第1列 第1行 第2行 第3行 1 2 3 ? 第 2 列 第 3 列 ?? 2 4 6 ? 3 6 9 ? ? ? ? ?

【命题立意】 本题主要考察了等差数列的概念和通项公式, 以及运用等差关系解决问题的能力, 属中档题。 【思路点拨】解决本题要先观察表格,找出表中各等差数列的特点。 【规范解答】第 n 行第一列的数为 n,观察得,第 n 行的 公差为 n,所以第 n0 行的通项公式为

a n ? n0 ? ?n ? 1?n0 ,又因为为第 n+1 列,故可得答案为 n 2 ? n 。

【答案】 n ? n
2

6. 010·北京高考文科·T16)已知 {an } 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (2 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 {bn } 的前 n 项和公式 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式等比数列的前 n 项和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目 的关键。 【思路点拨】 (1)由 a3, a6 可列方程解出 a1 , d ,从而可求出通项公式; (2)求出 b2 ,再求出公式。代入等 比数列的前 n 项和公式即可。 【规范解答】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 所以 ? 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 an ? ?10 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 12

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2



(Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ? 24, b1 ? ?8 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n ? 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

【跟踪模拟训练】
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,总分 36 分) 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,a 3=3,则 S4=( (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 ) )

2.设数列{xn}满足 log2xn+1=1+log2xn,且 x1+x2+x3+?+x10=10,则 x11+x12+x13+?+x20 的值为( (A)10×211 (C)11×211 (B)10×210 (D)11×210 )

3.已知正数组成的等差数列{an},前 20 项和为 100,则 a7·a14 的最大值是( (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在

4.已知 {an } 为等 比数列, n 是它的前 n 项和。 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 S 若

5 , S 5 =( 则 4

)

A.35

B.33

C.31

D.29

5. 设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立 的是( ) B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

A、 X ? Z ? 2Y C、 Y 2 ? XZ

6. (2010·潍坊模拟)已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,Sn 是其前 n 项和,且有 S9<S8=S7,则下列说 法不正确的是 A.S9<S10 C.S7 与 S8 均为 Sn 的最大值 B.d<0 D.a8=0 ( )

二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,总分 18 分) 7.将正偶数划分为数组: , (2)(4,6)(8,10,12)(14,16,18,20) , , ,?,则第 n 组各数的和是 (用含 n 的式子表示) 8.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2 009=_______;a2 014=_______. 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜率为_______. .

三、解答题(10、11 题每小题 15 分,12 题 16 分,总分 46 分)

? 10 ? ? 10.数列 ?an ? 的通项 an ? ? n ? 1? ? ? ? n ? N ? 试问该数列有没有最大项?若有, 出最大项和最大项的 求 ? 11 ?
项数;若没有,说明理由
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n

特级教师 王新敞
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11.在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,则 am,am+2,am+1 成等差数列. (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真?并给出证明.
n?2 12.已知数列 {a n } 中,前 n 项和为 S n , a1 ? 5 ,并且 S n ?1 ? S n ? 2a n ? 2 ( n ? N ? ) ,

(1)求 a 2 , a3 的值; (2)设 bn ?

an ? ? ,若实数 ? 使得数列 {bn } 为等差数列,求 ? 的值。 2n

(3)在(2)的条件下,设数列 {

1 1 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? bn ? bn ?1 5

参考答案
一、选择题

1. 【解析】选 C.S4= 2. 【解析】选 B.∵log2xn+1-log2xn=1,

=2×(1+3)=8.

∴{xn}为等比数列,其公比 q=2, 又∵x1+x2+?+x10=10, ∴x11+x12+?+x20=q10(x1+x2+?+x10)=210×10.

3. 【解析】选 A.∵S20= ∴a 1+a20=10, ∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10.

×20=100,

∵an>0,∴a7·a14≤( 4. 【解析】选 C

)2=25.

由 a2 ? a3 ? 2a1 ? a1 ? a4 ? 2a1 ? a4 ? 2 ,又 a4 ? 2a7 ? 2 ?

5 1 得 a7 ? 4 4

1 1 16[1 ? ( )5 ] a 1 a 1 2 3 2 ? 31 所以, q ? 7 ? 4 ? ,? q ? , a1 ? 4 ? ? 16 , S5 ? 3 1 1 a4 2 8 2 q 1? 8 2
5. 【解析】选 D,设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? 0) ,由题意, X ? a1 ? a2 ? ? ? an

Y ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n

Z ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? an? 2 ? ? ? a2n ? a2n?1 ? a2n? 2 ? ? ? a3n

?

Y?X Z?X ? q ,所以 Y (Y ? X ) ? X (Z ? X ) ,故 D 正确。 ?q, Y X

6. 【解析】选 A 由题意知 d<0,a8=0,所以 a10 ? a9 ? a8 ? 0.? S10 ? S9 ? a10 ? S9 . 二、填空题 7. 【解析】前 n ? 1 组共有偶数的个数为 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 故第 n 组共有 n 个偶数,且第一 个偶数是正偶数数列 ?2n?

n(n ? 1) . 2

的第

n(n ? 1) n(n ? 1) ? 1项,即2 ? [ ? 1] ? n2 ? n ? 2 , 2 2
2

所以第 n 组各数的和为 n(n ? n ? 2) ? 答案: n ? n.
3

n(n ? 1) ? 2 ? n3 ? n. 2

8. 【解析】依题意,得 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0. 答案:1 0

9. 【解析】∵a4=15,S5=55.

∴55=

=5a3,∴a3=11.

∴公差 d=a4-a3=15-11=4. a10=a4+6d=15+24=39. ∴P(3,11),Q(10,39)

kPQ= 答案:4

=4.

三、解答题 10. 【解析】方法 1:? an ?1 ? an ? ? n ? 2 ? ?

? 10 ? ? ? 11 ?

n ?1

? 10 ? ? 10 ? 9 ? n ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? ? 11 ? 11
n n

∴当 n<9 时, an ?1 ? an ? 0 ? an ?1 ? an 当 n ? 9 时 an ?1 ? an ? 0 ? an ?1 ? an , 当 n>9 时, an ?1 ? an ? 0 ? an ?1 ? an ,

故 a1 ? a2 ? ? ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? ? ,

? 10 ? ∴数列 ?an ? 中最大项为 a9 或 a10 .其值为 10 ? ? ? ,其项数为 9 或 10 ? 11 ?

9

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? 10 ? 方法2 ? an ? ? n ? 1? ? ? ? n ? N ? ? , ? 11 ?
n n ?1 ? ? 10 ? ? 10 ? ?? n ? 1? ? ? ? ? n ? 2 ? ? ? ?an ? an ?1 ? n ? 9, ? ? 11 ? ? 11 ? ?? ?? ?? n n ?1 ?n ? 10. ?an ? an ?1 10 10 ? ? n ? 1? ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? ? 11 ? ?

n

? n ? N ? ,? n ? 9或10.
? 10 ? ∴数列 ?an ? 中最大项为 a9 或 a10 .其值为 10 ? ? ? ,其项数为 9 或 10 ? 11 ?
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11. 【解析】 (1)在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. (2)设数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 由题意知:2am+2=am+am+1, 即 2a1qm+1=a1qm-1+a1qm. ∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0,

12. 【解析】 (1)由 S n ?1 ? S n ? 2a n ? 2 n ? 2 ( n ? N ? )得

S n?1 ? S n ? 2a n ? 2 n? 2 即 a n ?1 ? 2a n ? 2 n ? 2 ( n ? N ? )
∵ a1 ? 5 ∴ a 2 ? 2a1 ? 2
1? 2

? 10 ? 8 ? 18

a3 ? 2a 2 ? 2 2? 2 ? 36 ? 16 ? 52
(2)由条件 b1 ?

a1 ? ? 5 ? ? ? 2 2 a 2 ? ? 18 ? ? ? 4 22 a3 ? ? 52 ? ? ? 8 23

b2 ? b3 ?

∵ {bn } 为等差数列 ∴ 2b2 ? b1 ? b3 即2?

18 ? ? 5 ? ? 52 ? ? ? ? 4 2 8

解得 ? ? 0

∴ bn ?

an 2n

且 b1 ?

5 9 , b2 ? 2 2

∴ b2 ? b1 ? 2 , 即数列 {bn } 是公差为 d ? 2 ,首项为 b1 ? (3)由(2)得 bn ? ∴

5 4n ? 1 (n? N? ) ? (n ? 1) ? 2 ? 2 2

5 的等差数列 2

1 4 1 1 ? ? ? bn ? bn ?1 (4n ? 1)( 4n ? 5) 4n ? 1 4n ? 5 1 1 1 ? ??? b1b2 b2 b3 bn bn ?1

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 ) ??? ( ? ) 5 9 9 13 4 n ? 1 4n ? 5 1 1 1 = ? ? 5 4n ? 5 5 1 ∴ Tn ? 5
=( ? ) ? ( ?

【备课资源】

4.已知数列前 n 项和 Sn=(k-2)+kan,其中 n∈N*,k>1. (1)证明:{an}是等比数列; (2)当 a1<a2<?<an<?时,试确定 k 的取值范 围. 【解析】 (1)Sn=(k-2)+kan,Sn+1=(k-2)+kan+1, 所以 an+1=Sn+1-Sn=kan+1-kan,


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