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湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学课件 必修二 3-2-1 直线的点斜式方程_图文

湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学课件 必修二 3-2-1 直线的点斜式方程_图文

高中数学高一年级必修二 第三章 第二节(1) 直线的方程 作者:沙市五中高一数学组 理解教材新知 题型一 题型二 第 1 部 分 第 三 章 3.2 3.2. 1 突破 常考 题型 题型三 跨越高分障碍 随堂即时演练 应用落实体验 课时达标检测 3.2.1 直线的点斜式方程 [提出问题] 斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅, 力感十足.若以桥面所在直线为x轴,桥 塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线. 问题1:已知某一斜拉索过桥塔上一点B,那么该斜拉索位 置确定吗? 提示:不确定.从一点可引出多条斜拉索. 问题2:若某条斜拉索过点B(0,b),斜率为k,则该斜拉 索所在直线上的点P(x,y)满足什么条件? y-b 提示:满足 = k. x-0 问题3:可以写出问题2中的直线方程吗? 提示:可以.方程为y-b=kx. [导入新知] 1.直线的点斜式方程 (1)定义:如图所示,直线l 过定点P(x0,y0),斜率为k,则把 y-y0=k(x-x0) 叫做直线l的点 方程________________ 斜式方程,简称点斜式. (2)说明:如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直 线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或______. x=x0 2.直线的斜截式方程 (1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为 y=k x+b 叫做直线l的斜截式方程,简称斜截 (0,b),则方程_________ 式. (2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线 直角 截距 倾斜角是________ 在y轴上的______. 的直线没有斜截式方程. [化解疑难] 1.关于点斜式的几点说明: (1)直线的点斜式方程的前提条件是:①已知一点P(x0,y0) 和斜率k;②斜率必须存在.只有这两个条件都具备,才可以 写出点斜式方程. y-y0 (2)方程 y-y0=k(x-x0)与方程 k= 不是等价的,前者 x-x0 是整条直线,后者表示去掉点 P(x0,y0)的一条直线. (3)当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0, y0)的无数条直线. 2.斜截式与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式, 但有区别,当k≠0时,y=kx+b即为一次函数;当k=0时,y=b, 不是一次函数,一次函数y=kx+b(k≠0)必是一条直线的斜截式 方程.截距不是距离,可正、可负也可为零. 直线的点斜式方程 [例1] ________. (1)经过点(-5,2)且平行于y轴的直线方程为 (2)直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直 线l,则直线l的点斜式方程为________. (3)求过点P(1,2)且与直线y=2x+1平行的直线方程为 ________. [解析] (1)∵直线平行于y轴,∴直线不存在斜率,∴方程 为x=-5. (2)直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由题意知, 直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率k′=tan 135°=-1, 又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4= -(x-3). (3)由题意知,所求直线的斜率为2,且过点P(1,2),∴直线 方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. [答案] (1)x=-5 (2)y-4=-(x-3) (3)2x-y=0 [类题通法] 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点 的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式, 应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时, 直线方程为x=x0. [活学活用] 1.写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5 =4(x-2). (2)∵直线的倾斜角为45°, ∴此直线的斜率k=tan45°=1. ∴直线的点斜式方程为y-3=x-2. (3)∵直线与x轴平行,∴倾斜角为0°,斜率k=0. ∴直线的点斜式方程为y+1=0×(x+1),即y=-1. 直线的斜截式方程 [例2] (1)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-3的直线的 斜截式方程为________. (2)已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2, 直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程. [解析] 3 (1)∵倾斜角 α=150° ,∴斜率 k=tan 150° =- , 3 3 由斜截式可得所求的直线方程为 y=- x-3. 3 (2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2, 又∵l∥l1, ∴l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2, ∴l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y =-2x-2. [答案] 3 (1)y=- x-3 3 [类题通法] 1.斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b=0时, y=kx表示过原点的直线;当k=0时,y=b表示与x轴平行(或重 合)的直线. 2.截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵) 坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数或零,而距离 是一个非负数. [活学活用] 1 2.求倾斜角是直线y=- 3 x+1的倾斜角的 ,且在y轴上 4 的截距是-5的直线方程. 解:∵直线y=- 3 x+1的斜率k=- 3 ,∴其倾斜角α= 1 120° ,由题意,得所求直线的倾斜角α1= α=30° ,故所 4 求直线的斜率k1=tan 30° = ∵所求直线的斜率是 3 . 3 3 ,在y轴上的截距为-5, 3 3 ∴所求直线的方程为y= x-5. 3 两直线平行与垂直的应用 [例3] 当a

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