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金融经济学第五章之三 投资组合理论_图文

金融经济学第五章之三 投资组合理论_图文

金融经济学

第五章之三

投资组合理论

一、现代投资组合理论的起源及基本思想
? 马科维茨(H. Markowitz, 1927~) 《证券组合选择 理论》 ? 瑞典皇家科学院决定将 1990年诺贝尔奖授予纽约 大学哈利.马科维茨(Harry Markowitz)教授,为了表彰 他在金融经济学理论中的先 驱工作—资产组合选择理论。
2

主要贡献
? 发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操 作的选择资产组合理论:均值方差方法 Mean-Variance methodology. ? 这个理论演变成进一步研究金融经济学的基 础;这一理论通常被认为是现代金融学的发 端。 ? 马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM 理论中的无套利均衡思想相结合,酝酿了一 系列金融学理论的重大突破。
3

证券投资理论的发展
? 西方投资管理经历了三个发展阶段:投机阶段、 职业化阶段和科学化阶段。 ? 1952年,Harry Markowitz发表的“投资组合 选择”作为投资学或金融经济学产生的标志。 ? 1963年,Willian Sharpe提出了单指数模型。 ? 1964年,Sharpe,Lintner, Mossin分别独立 地提出了资本资产定价模型(CAPM)。 ? 1973年,Black和Scholes提出了第一个完整的 期权定价模型即Black-Scholes公式。 ? 1976年,Ross提出了套利定价理论(APT)。
4

5

投资组合理论的基本思想
投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题,此外投 资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。 ——“nothing ventured, nothing gained” ——"for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“ ——“Don’t put all eggs into one basket”

6

7

8

9

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11

12

13

14

案例

15

16

17

问题
? 对于休曼埃克斯组织来说,选择糖凯恩公司股票 是否比选择国库券要好? ? 若糖凯恩公司股票的收益状况如下:
糖生产的正常年份 股市的牛市 概率 收益率 0.5 7% 股市的熊市 0.3 -5% 异常年份 糖的生产危机 0.2 20%

则情况又如何?
18

? 贝斯特凯迪公司股票的期望收益和标准差? ? 糖凯恩公司股票的期望收益和标准差? ? 糖凯恩公司股票和贝斯特凯迪公司股票的协方差 和相关系数? ? 休曼埃克斯组织不同投资选择的期望收益和标准 差?

19

证券
贝斯特凯迪公司股 票

期望收益(%)
10.05

标准差(%)
18.9

糖凯恩股票
国库券

6
5

14.75
0

两只股票的协方差为-240.5,相关系数为-0.86
资产组合 期望收益(%) 标准差(%)

全部投资于贝斯特 凯迪公司股票
一半投资于国库券 一半投资于糖凯恩 股票

10.50
7.75 8.25

18.90
9.45 4.83

20

(二)资产组合理论
? 基本假设 (1)投资者仅仅以期望收益率和方差(标 准差)来评价资产组合(Portfolio) (2)投资者是不知足的和风险厌恶的,即 投资者是理性的。 (3)投资者的投资为单一投资期,多期投 资是单期投资的不断重复。 (4)投资者希望持有有效资产组合。
21

2.1 组合的可行集和有效集
? 可行集与有效集
? 可行集:资产组合的机会集合(Portfolio opportunity set),即资产可构造出的所有组合 的期望收益和方差。 ? 有效组合(Efficient portfolio ):给定风险水 平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下 具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。 ? 有效集( Efficient set) :又称为有效边界 ( Efficient frontier),它是有效组合的集合 (点的连线)。
22

两种风险资产构成的组合的风险与收益
? 若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系 数,则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望 收益和方差为 rp ? w1r1+w2 r2
2 2 2 ?p =w12? 12 ? w2 ? 2 ? 2 w1w2? 12 2 2 = w12? 12 ? w2 ? 2 ? 2 w1w2? 1? 2 ?12

由于w1+w2 ? 1,则 rp ( w1 ) ? w1r1+(1 ? w1 )r2
2 ? p ( w1 )= w12? 12 ? (1 ? w1 ) 2 ? 2 ? 2 w1 (1 ? w1 )? 1? 2 ?12

由此就构成了资产在给定条件下的可行集!
23

? 注意到两种资产的相关系数为1≥ρ 12≥-1 ? 因此,分别在ρ 12=1和ρ 12=-1时,可以得 到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。 ? 其他所有的可能情况,在这两个边界之中。

24

2.2 两种完全正相关资产的可行集
组合的风险-收益二维表示
收益rp

.

风险σp

25

两种资产完全正相关,即ρ12 =1,则有

? p ( w1 )=w1? 1 ? (1 ? w1 )? 2
rp ( w1 ) ? w1r1+(1 ? w1 )r2 当w1=1时,? p=? 1,rp ? r1 当w1=0时,? p=? 2,rp ? r2 所以,其可行集连接两点 (r1,? 1)和(r2,? 2)的直线。
26

? 命题1:完全正相关的两种资产构成的可行集是 一条直线。 ? 证明:由资产组合的计算公式可得
? p ( w1 ) ? w1? 1 ? (1 ? w1 )? 2
w1 ? (? p-? 2 ) /(? 1 ? ? 2 ) rp (? p ) ? w1r1 ? (1 ? w1 )r2 ? ((? p-? 2 ) /(? 1 ? ? 2 ))r1 ? (1 ? (? p-? 2 ) /(? 1 ? ? 2 )) r2 r1 ? r2 r1 ? r2 ? r2 ? ?2 ? ?p ?1 ? ? 2 ?1 ? ? 2 故命题成立,证毕。
27

则 从而

两种资产组合(完全正相关),当权重w1从1 减少到0时可以得到一条直线,该直线就构成 了两种资产完全正相关的可行集(假定不允许 买空卖空)。
收益 Erp

(r1 , ? 1 )

(r2 , ? 2 )

风险σp

28

2.3 两种完全负相关资产的可行集
? 两种资产完全负相关,即ρ12 =-1,则有
2 ? p ( w1 )= w12? 12 ? (1 ? w1 ) 2 ? 2 -2 w1 (1 ? w1 )? 1? 2

? | w1? 1 ? (1 ? w1 )? 2 | rp ( w1 ) ? w1r1+(1 ? w1 ) r2

?2 当w1 ? 时,? p ? 0 ?1 ? ? 2 ?2 当w1 ? 时,? p ( w1 )=w1? 1 ? (1 ? w1 )? 2 ?1 ? ? 2 ?2 当w1 ? 时,? p ( w1 )=(1 ? w1 )? 2 ? w1? 1 ?1 ? ? 2
29

命题2:完全负相关的两种资产构成的可行集是两条 直线,其截距相同,斜率异号。 证明: ?2

当w1 ?

?1 ? ? 2 ? p ( w1 ) ? w1? 1 ? (1 ? w1 )? 2,则可以
得到w1 ? f (? p ),从而
? p+? 2 ? p+? 2 rp (? p ) ? r1+(1 ? )r2 ?1 ? ? 2 ?1 ? ? 2
r1 ? r2 r1 ? r2 ? ?p ? ? 2 ? r2 ?1 ? ? 2 ?1 ? ? 2



30

同理可证

?2 当w1 ? 时, ?1 ? ? 2 ? p ( w1 ) ? (1 ? w1 )? 2 ? w1? 1,则
r1 ? r2 r1 ? r2 rp (? p ) ? ? ?p ? ? 2 ? r2 ?1 ? ? 2 ?1 ? ? 2 命题成立,证毕。
31

两种证券完全负相关的图示
收益rp

(r1 , ? 1 )

r1 ? r2 ? 2 ? r2 ?1 ? ? 2

(r2 , ? 2 )
风险σp

32

2.4 两种不完全相关的风险资产的组合的 可行集
当1 ? ? ? ?1时 rp ( w1 ) ? w1r1+(1 ? w1 )r2
2 ? p ( w1 )= w12? 12 ? (1 ? w1 )2 ? 2 ? 2w1 (1 ? w1 )? 1? 2 ?12

尤其当?=0时
2 ? p ( w1 )= w12? 12 ? (1 ? w1 )2 ? 2

这是一条二次曲线, 事实上,当1 ? ? ? ?1时,可行集都是二次曲线。
33

总结:在各种相关系数下、两种风险资产 构成的可行集
收益Erp

(r1 , ? 1 )
ρ =1

r1 ? r2 ? 2 ? r2 ?1 ? ? 2

(r2 , ? 2 )

ρ =0
风险σp

ρ =-1
34

由图可见,可行集的弯曲程度取决于 相关系数?12。随着?12的增大,弯曲程 度增加;当?12=-1时,呈现折线状, 也就是弯曲度最大;当?12=1时,弯曲 度最小,也就是没有弯曲,则为一条 直线;当1 ? ?12 ? ?1,就介于直线和折 线之间,成为平滑的曲线,而且?12 越 大越弯曲。
35

3种风险资产的组合二维表示
? 一般地,当资产数量增加时,要保证资产之间两 两完全正(负)相关是不可能的,因此,一般假 设两种资产之间是不完全相关(一般形态)。
收益rp 4 2 3

1

风险σp

36

n种风险资产的组合二维表示
? 类似于3种资产构成组合的算法,我们可以得到一 个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。
收益rp

37

风险σp

总结:可行集的两个性质
1. 在n种资产中,如果至少存在三项资 产彼此不完全相关,则可行集合将 是一个二维的实体区域 2. 可行区域是向左侧凸出的
? 因为任意两项资产构成的投资组合都 位于两项资产连线的左侧。 ? 为什么?
38

不可能的可行集
收益rp B A

风险σp
39

2.5 风险资产组合的有效集
? 在可行集中,有一部分投资组合从风险水平和收 益水平这两个角度来评价,会明显地优于另外一 些投资组合,其特点是在同种风险水平的情况下, 提供最大预期收益率;在同种收益水平的情况下, 提供最小风险。我们把满足这两个条件(均方准 则)的资产组合,称之为有效资产组合; ? 由所有有效资产组合构成的集合,称之为有效集 或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集 中产生,而对所有不在有效集内的其它投资组合 则无须考虑。

40

? 整个可行集中,G点为最左边的点,具有最小标准差。从 G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S (具有最大期望收益率),这一边界线GS即是有效集。 例如:自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资 组合如P,与可行集内其它点所对应的投资组合(如A点) 比较起来,在相同风险水平下,可以提供最大的预期收益 率;而与B点比较起来,在相同的收益水平下,P点承担 的风险又是最小的。
41

总 结
A、两种资产的可行集
? ? ? ? 完全正相关是一条直线 完全负相关是两条直线 完全不相关是一条抛物线 其他情况是界于上述情况的曲线

B、两种资产的有效集
? 左上方的线

C、多个资产的有效边界
? 可行集:月牙型的区域 ? 有效集:左上方的线
42

2.6 马克维茨的数学模型*
? 均值-方差(Mean-variance)模型是由哈 里· 马克维茨等人于1952年建立的,其目的是寻 找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合, 投资者是理性的:害怕风险和收益多多益善。 因此,根据上一章的占优原则这可以转化 为一个优化问题,即
(1)给定收益的条件下,风险最小化 (2)给定风险的条件下,收益最大化

43

?? 11 ... ? 1n ? ?和 若已知资产组合收益c、方差 ? 协方差矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 1n ? ? nn ? ? 组合各个资产期望收益向量 r =(r1 , r2 ,..., rn )T ,求解组合中资产权重 向量w=(w1 , w2 ,..., wn ), 则有
min s.t.

??w w ?
i ?1 j ?1 n i j

n

n

ij

? w r ? c,
i ?1 n i i

?w
i ?1

i

?1
44

? 对于上述带有约束条件的优化问题,可以引 入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化问题。 构造拉格朗日函数如下

L ? ?? wi w j? ij ? ? (? wi ri ? c) ? ? (? wi ? 1)
i ?1 j ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

? 上式左右两边对wi求导数,令其一阶条件 为0,得到方程组
45

和方程

n ? ?L ? ?w ? ? w j? 1 j ? ? r1 ? ? ? 0 ? 1 j ?1 n ? ?L ? ? w j? 2 j ? ? r2 ? ? ? 0 ? ? ?w2 j ?1 ? ? ? n ? ?L ? ?w ? ? w j? nj ? ? rn ? ? ? 0 ? n j ?1

? n ? ? wi ri ? c ? i ?1 ? n ? wi ? 1 ? ? ? i ?1
46

? 这样共有n+2方程,未知数为wi(i=1, 2,…,n)、λ和μ,共有n+2个未知量,其解 是存在的。 ? 注意到上述的方程是线性方程组,可以通过 线性代数加以解决。 ? 例:假设三项不相关的资产,其均值分别为1, 2,3,方差都为1,若要求三项资产构成的 组合期望收益为2,求解最优的权重。

47

?1 由于 ? ? ? ?0 ? ?0

0 1 0

0? 0? ? 1? ?

r =(11 , 2, 3)T , c ? 2

3 ? ?L ? ?w ? ? w j? 1 j ? ? r1 ? ? ? w1 ? ? ? ? ? 0 ? 1 j ?1 3 ? ?L ? ? w j? 2 j ? ? r2 ? ? ? w2 ? 2? ? ? ? 0 ? ? ?w2 j ?1 3 ? ? ?L ? ? w j? 3 j ? ? r3 ? ? ? w2 ? 3? ? ? ? 0 ? ? ?w3 j ?1 ? 3 ?? wi ri ? w1 ? 2w2 ? 3w3 ? 2 ? i ?1 ? 3 ?? wi ? w1 ? w2 ? w3 ? 1 ? ? i ?1

48

? ?0 ? ? 1/ 3
w1 ? 1/ 3 w2 ? 1/ 3 w3 ? 1/ 3
由此得到组合 的方差为

1 ? ? 3
2

课外练习:假设三项不相关的资产。其均值 分别为1,2,3,方差都为1,若要求三项资 产构成的组合期望收益为1,求解最优的权 重。
49

(三)最优风险资产组合
1. 由于假设投资者是风险厌恶的,因此,最 优投资组合必定位于有效集边界上,其他 非有效的组合可以首先被排除。 2. 虽然投资者都是风险厌恶的,但程度有所 不同,因此,最终从有效边界上挑选那一 个资产组合,则取决于投资者的风险规避 程度。 3. 度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效 边界共同决定了最优的投资组合。
50

理性投资者对风险偏好程度的描述——无差异曲线

同一条无差异曲线, 给投资者所提供的效用(即满足程度) 是无差异的,无差异曲线向右上方倾斜, 高风险被其具有的 高收益所弥补。对于每一个投资者,无差异曲线位置越高,该 曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。
51

不同理性投资者具有不同风险厌恶程度
由无差异曲线族的陡峭程度来反映。无差异曲线越陡峭,投资者越厌恶风险。

图 a 代表的投资者与图 b 代表的投资者相比,风险水平增加相同幅度, 图 a 代表的投资者要求收益率的补偿要远远高于图 b 所代表的投资者。 因此,图 a 对应的投资者更加厌恶风险。

最优组合的确定

? 最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切 点O处。由G点可见,对于更害怕风险的投资者, 他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。
53

资产组合理论的优点
? 首次对风险和收益进行精确的描述,解决对 风险的衡量问题,使投资学从一个艺术迈向 科学。 ? 分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。 单个资产的风险并不重要,重要的是组合的 风险。 ? 从单个证券的分析,转向组合的分析

54

资产组合理论的缺点
? 当证券的数量较多时,计算量非常大, 使模型应用受到限制。 ? 解的不稳定性。 ? 重新配置的高成本。 ? 因此,马克维茨及其学生夏普就可是 寻求更为简便的方法,这就是CAPM。
55

风险资产与无风险资产间的配置 3.1 资本配置线(CAL)
? 在前面,我们讨论了由风险资产构成的组合, 但未讨论资产中加入无风险资产的情形。 ? 假设无风险资产的具有正的期望收益,且其 方差为0。 ? 将无风险资产加入已经构成的风险资产组合 (风险基金)中,形成了一个无风险资产+ 风险基金的新组合,则可以证明:新组合的 有效前沿将是一条直线。
56

? 命题3:一种无风险资产与风险组合构 成的新组合的有效边界为一条直线。
证明:假定风险组合(基金)已经构成, 其期望收益为E(rp ),方差为? p,无风险资产 的收益为rf ,方差为0。y为风险组合的投 资比例, 1 ? y为无风险证券的投资比例, 则组合的期望收益E(rc )为 E(rc ) ? yE(rp )? (1 ? y )rf ? rf ? y[E(rp )? rf ] (1)
57

一种风险资产与无风险资产构成的组合, 其标准差是风险资产的权重与标准差的乘 积。

组合的标准差为

? c ? y? p

(2)

资本配置线(Capital allocation line, CAL)

由(1)和(2)可得 ( E[rp ] ? rf ) ?c ?c E[rc ] ? E[rp ] ? (1 ? )rf =rf ? ?c ?p ?p ?p 可以发现这是一条以rf 为截距,以 命题成立,证毕。 E[rp ] ? rf

?p

为斜率的直线。

报酬与波动率比率(Reward-tovariability ratio)

假定E (rp ) ? 15%,? p ? 22%, 无风险收益率rf ? 7%, 求资本配置线的表达式?
资产组合的期望收益率: E (rc ) ? rf ? y[ E (rp ) ? rf ] ? 7 ? y (15 ? 7) 资产组合的标准差: (1)
E ( rc ) ? rf

? c ? y? p ? 22 y

(2)

S?

?c

由( 1)有y ? ? c / ? y , 代入(2)有:

?c 8 E (rc ) ? rf ? [ E (rp ) ? rf ] ? 7 ? ? c ?p 22
59

60

假如借款利率和贷款利率不同,rf ? 7%, r ? 9%, 则投资者的资本配置线如何?
B f

61

假定风险资产组合的期望收益为E(rp ),方差 为? p,无风险资产的收益为rf ,方差为0,y为 风险资产组合的投资比例, 1 ? y为无风险证券 的投资比例,若投资者从给定收益率分布的资 1 U ? E (r ) ? A? 2 , A表示风险厌恶系数 2 则投资者投资在风险资产组合的比例y为多少?

产组合中获得的效用可以由下面的效用函数表述:

62

? 投资者试图通过选择风险资产的最优配置y来 使自己的效应最大化 用数学语言可以表述为:
1 2 MaxU ? E (rc ) ? A? c y 2 E (rc ) ? rf ? y[ E (rp ) ? rf ] s.t 2 2 2 ?c ? y ? p

y* ?

E (rp ) ? rf
2 A? p

63

继续前面的例子[rf ? 7%, E (rp ) ? 15%,? p ? 22%], 若A =4, 则投资者的最优解?
y ?
*

E (rp ) ? rf
2 A? p

0.15 ? 0.07 ? ? 0.41 2 4 ? 22

64

6.3.2 总结与思考

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

为什么可 以分步进 行?

75

3.3分离定理
? 无论投资者的偏好如何,资产配置线上的点就是 最优投资组合,形象地,该直线将无差异曲线与 风险资产组合的有效边界分离了。 ? 分离定理(Separation theorem):投资者对 风险的规避程度与该投资者风险资产组合的最优 构成是无关的。 ? 所有的投资者,无论他们的风险规避程度如何不 同,都会将切点组合(风险组合)与无风险资产 混合起来作为自己的最优风险组合。因此,无需 先确知投资者偏好,就可以确定风险资产最优组 合。 ? 风险厌恶较低的投资者可以多投资风险资产,少 投资无风险证券,反之亦反。
76

分离定理对组合选择的启示
? 若市场是有效的,由分离定理,资产组合选择问 题可以分为两个独立的工作,即资本配置决策 (Capital allocation decision)和资产选择决 策(Asset allocation decision)。 ? 资本配置决策:考虑资金在无风险资产和风险组 合之间的分配。 ? 资产选择决策:在众多的风险证券中选择适当的 风险资产构成资产组合。 ? 由分离定理,基金公司可以不必考虑投资者偏好 的情况下,确定最优的风险组合。
77

假定风险资产A的期望收益为E(rA ),方差 为? A,风险资产B的期望收益为E(rB ),方差 为? B,A和B的相关系数为?。无风险资产的收 益为rf ,方差为0。w A、w B 和w f 分别为风险资 产A、B以及无风险证券的投资比例,若投资者 从给定收益率分布的资产组合中获得的效用可 以由下面的效用函数表述: 1 U ? E (r ) ? A? 2 , A表示风险厌恶系数 2 则投资者投资于各个资产的最优比例为多少?

78

练习
期望收益(%) 标准差(%)

股票基金A
股票基金B 国库券

10
30 5

20
60 0

基金 A 和基金 B 的相关系数为 -0.2 ,投资者的风险厌恶程度 A=5,则投资者应在股票基金 A 、B和国库券中各投资多少?

79

具有无风险资产限制的 最优资产组合
? 不存在无风险资产时的资产组合选择 ? 无风险资产存在但不能借入时的资产组合选 择 ? 借贷利率不同情况下的资产组合选择

80

?不存在风险资产

81

?存在风险资产但不能借入

82

? 无风险借贷利率不相等条件下
? 个人如果要借款投资于风险资产组合,必须付出比国 库券利率高的利率。例如,经纪人索要的保证金贷款 利率就高于国库券利率。
CAL1 E(r) B Q P CAL2

r r

2 f

高风险忍耐 的投资者

A
1 f

F

低风险忍耐 的投资者

中风险忍耐 的投资者


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