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上海市七校2016届高三12月联合调研考试数学(理)试题

上海市七校2016届高三12月联合调研考试数学(理)试题


2015 学年第一学期高三教学调研
数 学 试 卷(理工类)
考生注意:

(2015.12)

1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一. 填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一 律得零分.

1.函数 f ( x) ? x ? ? ?( x ? ?) 的反函数是 f ?? ( x) ? __________ ___. ? 2、已知 a ? ?, b ? ?, a 和 b 的夹角为 ,则 a ? b ? __________ _. ? ? ? 3、幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (?, ) ,则 f ( ) ? _________ . ? ? 4、方程 log? ( x ? ?) ? log? (? ? x) 的解为_______________. 5、若直线 l? 的一个法向量 n ? (?,?) ,若直线 l ? 的一个方向向量 d ? (?,??) ,则 l? 与 l ? 的夹 角? = .(用反三角函数表示). 6、直线 l : x ? ?y ? ? ? ? 交圆 x ? ? y ? ? ? 于 A、B 两点,则 AB ? _______ . 7、已知 ? ? ??, ? ?, 且 tan( ? ?
? ,则 cos? ? . ? ? 8、无穷等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S ? ? ?, S ? ? ? ,则 lim S n ? _______ . )?
n ??

?

9、已知 f ( x) ? kx ? x ? ? 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是

.

10、已知 a、b、c 是 ?ABC 中 ?A、?B、?C 的对边, 若 a ? ?, A ? ??? ,?ABC 的面积为 . ?? ? ,则 ?ABC 的周长为 11 、 奇 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R , 若 f ( x ? ?) 为 偶 函 数 , 且 f (?) ? ? , 则 f (???) ? f (??? ) ? _ _ _ _ _ __ _. _ _ _ 12、 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若 S ? , S ? , S ? 成等差数列, 且 a? ? a? ? a? ? ??? , 若 S n ? ????,则 n 的取值范围为 点 P ,则 PA ? PB 的最大值是 . . 13、设 m ? R, 过定点 A 的动直线 x ? m y ? ? 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? ? ? ? 交于 14、设 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?? ? ? ?, ?? ?.?? ? ?? .给出下列命题: ①对任意的实数 x ,都有 x ? ? ? ?x? ? x ; ②对任意的实数 x, y ,都有 ?x ? y? ? ?x? ? ?y? ; ? ? ?lg ????? ? ????; ③ ?lg?? ? ?lg ?? ? ?lg ?? ? ? ? ?lg ????

④若函数 f ( x) ? ?x?x?? ,当 x ? ??, n?(n ? N * ) 时,令 f ( x) 的值域为 A,记集合 A 中元素
·1·

个数为 an ,则

a n ? ?? ?? 的最小值为 .其中所有真命题的序号为 ? n

.

二.选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是 正确的,选对得 5 分,否则一律得零分.

15、数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n ? ,则 a? 的值为 ( ) A、 ?? B、 ?? C、 ?? D、64 16、 a ? ? 是直线 ax ? ? y ? ?a ? ? 和 ?x ? (a ? ?) y ? a ? ? 平行且不重合的 ( ) A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 ? ? x 的 图 象 右 移 ? (? ? ? ? ) 个 单 位 后 得 到 g ( x ) 的 图 象 . 若 满 足 17 、 将 f ( x) ? s i n ? ? ) f ( x? ) ? g( x? ) ? ? 的 x? , x ? ,有 x? ? x? 的最小值为 ,则 ? 的值为 ( ? ? ? ? ? A、 B、 C、 D、 ?? ? ? ? x e ?m 18、已知函数 f ( x) ? x ,若对任意 x?、x?、x? ? R ,总有 f ( x? )、f ( x2 )、f ( x3 ) 为某一 e ?? 个三角形的边长,则实数 m 的取值范围是 ( ) ?? ? ?? ? A、 ? ,?? B、 ??,?? C、 ??,?? D、 ? , ? ? ?? ? ?? ?
三.解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题共 2 小题,满分 12 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分)

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a? , a? , a? 成等比数列,且该数列的前 10 项和为 100.

(2)若 bn ? an ? ??,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的最小值.

20. (本题共 2 小题,满分 12 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分)

x , ? sin x), n ? (?,?) ,设函数 f ( x) ? m ? n . ? ? ? ?? (1)当 x ? ?? , ? ,求函数 f ( x) 的值域; ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ,求 sin( ?? ? ) 的值. (2)当 f (? ) ? ,且 ? ? ? ? ?
已知 m ? (cos
?

·2·

21. (本题共 2 小题,满分 14 分。第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分)

已知 f ( x) ? kx ? ? ,不等式 f ( x) ? ? 的解集为 (??,?) ,不等式 (1)求集合 A;

x ? ? 的解集 A; f ( x)

(2)设函数 g ( x) ? log? (ax? ? ?x ? ?) 的定义域为 B,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范 围.

22. (本题 3 小题,满分 18 分。第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

已知椭圆 E 的长轴长与焦距比为 ? : ? ,左焦点 F (??,?) ,一定点为 P(??,?) . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)过 P 的直线与椭圆交于 P? , P? 两点,设直线 P? F , P? F 的斜率分别为 k? , k ? , 求证: k? ? k ? ? ? ; (3)求 ?P ?P ? F 面积的最大值.

·3·

23. (本题 3 小题,满分 18 分。第 1 小题 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分)

对定义在 ??,?? 上的函数 f ( x), 如果同时满足以下三个条件: ①对任意 x ? ??,??,总有 f ( x) ? ?, ② f (?) ? ?,

③若 x? ? ?, x? ? ?, x? ? x? ? ?,有 f ( x? ? x? ) ? f ( x? ) ? f ( x? ) 成立, 则称函数 f ( x) 为理想函数. (1)判断 g ( x) ? ? x ? ?( x ? ??,??) 是否为理想函数,并说明理由; (2)若 f ( x) 为理想函数,求 f ( x) 的最小值和最大值; (3)若 f ( x) 为理想函数,假设存在 x? ? ??,??, 满足 f ? f ( x? )? ? x? , 求证: f ( x? ) ? x? .

·4·

2015 学年第一学期高三教学调研(2015.12)
数学试卷参考答案与评分标准(理科)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一 律得零分. 1、 f 7、 ?
??

( x) ? x ? ?( x ? ?) ; 2、 1 ; 3、2 ; 4、4; 5、 arccos

? ?? ;6、2; ??

? ; 8、4 ;9、 (?,?) ;10、20 ;11、-1;12、 n ? ?k ? ?(k ? N * ) ; ?

13、5; 14、①②④. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是 正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、A; 16、C ; 17、B; 18、D 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题共 2 小题,满分 12 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分)

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a? , a? , a? 成等比数列,且该数列的前 10 项和为 100.

(2)若 bn ? an ? ??,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的最小值.
解: (1)设公差为 d (d ? ?) ,由 a? , a? , a? 成等比数列,得 a? ? a?a? ,推出 a? ? ?d ①
?

? a? ? ? 由前 10 项和为 100,得 ?a? ? ?d ? ?? ②,解①②得 ? ?d ? ?

所以: an ? ?n ? ?

(6 分)

(2) 由 bn ? an ? ??, 得 bn ? ?n ? ??, 因数列 ?bn ? 是单调递增, 所以: 当 n ? ? 时, bn ? ? ;

当 n ? ? 时, bn ? ? , 因此: Tn 的最小值为 T? ? ??? (6 分)

·5·

20. (本题共 2 小题,满分 12 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分)

x , ? sin x), n ? (?,?) ,设函数 f ( x) ? m ? n . ? ? ? ?? (1)当 x ? ?? , ? ,求函数 f ( x) 的值域; ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ,求 sin( ?? ? ) 的值. (2)当 f (? ) ? ,且 ? ? ? ? ? x ? 解: f ( x) ? m ? n ? ? cos ? ? ? sin x ? ? ? cos x ? ? sin x ? ? sin( x ? ) ? ? ? ?
已知 m ? (cos
?

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? (1)当 x ? ?? , ? ,得: x ? ? ?? , ? ,得: sin(x ? ) ? ?? ,?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
得 f ( x) ? ??,?? ,所以函数 f ( x) 的值域为 ??,?? (2)由 f (? ) ? 因? (6 分)

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,推出 ? ? ? ? ? ,所以 cos( ? ? ) ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 因 sin( ?? ? ) ? ? sin(? ? ) cos( ? ? ) ? (6 分) ? ? ? ??

?? ? ? ,得 sin(? ? ) ? , ? ? ?

21. (本题共 2 小题,满分 14 分。第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分)

已知 f ( x) ? kx ? ? ,不等式 f ( x) ? ? 的解集为 (??,?) ,不等式 (1)求集合 A;

x ? ? 的解集 A; f ( x)

(2)设函数 g ( x) ? log? (ax? ? ?x ? ?) 的定义域为 B,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范 围.
解: (1)不等式 f ( x) ? ? 的解集为 (??,?) ,等价于 kx ? ? ? ? 的解集为 (??,?) ,

得 k ? ?? ,不等式
解不等式

x x ??, ? ? 等价于不等式 ?x?? f ( x)

x ? ? 得解集: A ? ??,?? ?x??

(7 分)

(2)集合 B ? x ax ? ? ? x ? ? ? ? ,因 A ? B ? ? ,所以不等式 ax? ? ? x ? ? ? ? 在 ??,??
·6·

?

?

? ? 上有解,得 a ? ??( ) ? ? ?( ) 在 ??,?? 上有解, x x ? ? ? ?? 令 y ? ??( ) ? ? ?( )( x ? ??,? ?) ,得 y ? ??, ? ,所以: a ? ? 为所求.(7 分) x x ? ??
22. (本题 3 小题,满分 18 分。第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

已知椭圆 E 的长轴长与焦距比为 ? : ? ,左焦点 F (??,?) ,一定点为 P(??,?) . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)过 P 的直线与椭圆交于 P? , P? 两点,设直线 P? F , P? F 的斜率分别为 k? , k ? , 求证: k? ? k ? ? ? ; (3)求 ?P ?P ? F 面积的最大值. 解: (1)因
?a ? x? y? ? ,又 c ? ? ,得 a ? ?, b ? ? ?? ,所以 E 方程为 ? ? ? (4 分) ?c ? ?? ??

(2)设过 P 的直线为 y ? k ( x ? ?) 交椭圆 E 于 P ? ( x? , y? ), P ? ( x? , y ? )

? y ? k ( x ? ?) ? 由 ? x? y? 得: (? ? ?k ? ) x ? ? ??k ? x ? ???k ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ??

? ? ??k ? x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? , 由题意: ? ? ? ,得 ? ? k ? ,且 ? ? ? ? ? x x ? ???k ? ?? ? ? ? ? ? ?k ? ?
因 k? ? k ? ?

y? y? y ( x ? ?) ? y ? ( x? ? ?) ? ? ? ? x? ? ? x? ? ? ( x? ? ?)(x? ? ?)

而 y? ( x? ? ?) ? y? ( x? ? ?) ? k ( x? ? ?)(x? ? ?) ? k ( x? ? ?)(x? ? ?)

? ???k ? ? ?? ? ? ??k ? ? k ?? x? x? ? ??x? x? ? ??? ? k ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?k ? ? ?k ? ?
所以: k? ? k ? ? ? 得证.

(6 分)
?k ?? k
?

(3)由(2)点 F 到直线 P ?P ? 的距离为 d ? 所以: ?P ?P ? F 的面积 S ?

且 P? P? ? ? ? k ? x? ? x? ,

? P? P? ? d ? ? k x? ? x ? ? ? k ( x? ? x ? ) ? ? ? x? x ? ?
·7·

? ?k (

? ?? k ? ? ??? k ? ? ?? ? ? ?k ? ? ?k ? ? k ? ) ? ? ? ? ?? k ? ?? ? ? ?k ? ? ? ?k ? (? ? ? k ? ) ? (? ? ? k ? ) ?

? ? ? ? ? 令 ? ? ?k ? ? t (? ? t ? ?) 得: S ? ?? ? ??( ) ? ? ? ? ? ?( ? ? ) t t ? t ?
? ? 所以当 ? 时, S 取最大值为 ? ? (8 分) t ??
23. (本题 3 小题,满分 18 分。第 1 小题 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分)

对定义在 ??,?? 上的函数 f ( x), 如果同时满足以下三个条件: ①对任意 x ? ??,??,总有 f ( x) ? ?, ② f (?) ? ?,

③若 x? ? ?, x? ? ?, x? ? x? ? ?,有 f ( x? ? x? ) ? f ( x? ) ? f ( x? ) 成立, 则称函数 f ( x) 为理想函数. (1)判断 g ( x) ? ? x ? ?( x ? ??,??) 是否为理想函数,并说明理由; (2)若 f ( x) 为理想函数,求 f ( x) 的最小值和最大值; (3)若 f ( x) 为理想函数,假设存在 x? ? ??,??, 满足 f ? f ( x? )? ? x? , 求证: f ( x? ) ? x? . 解: (1) g ( x) ? ? x ? ?( x ? ??,??) 为理想函数, 理由:因 g ( x) ? ? x ? ?( x ? ??,??) 为单调递增函数,且 g (?) ? ?, ,所以 g ( x) ? ? 满足 条件①;因 g (?) ? ? 满足条件②;当 x? ? ?, x? ? ?, x? ? x? ? ?时,

g ( x? ? x? ) ? g ( x? ) ? g ( x? ) ? ? x? ? x? ? ? x? ? ? x? ? ? ? ? x? ? ? (? x? ? ?) ? ? 满 足 条 件
③,所以 g ( x) ? ? x ? ?( x ? ??,??) 为理想函数
(2)由条件① f (?) ? ?,

?

?

(6 分)

由条件③ f (? ? ?) ? f (?) ? f (?) 得 f (?) ? ?,
所以 f (?) ? ?, 得 f ( x) 的最小值为 0

因 x ? ??,?? ,得 ? ? x ? ??,?? ,则 f (? ? x) ? ?
由 f (?) ? f ?(? ? x) ? x? ? f ( x) ? f (? ? x)

所以 f ( x) ? f (?) ? f (? ? x) ? ? ,又 f (?) ? ?, 得 f ( x) 的最大值为 1 (6 分) (3)反证法:假设 f ( x? ) ? x? ,则 f ( x? ) ? x? 或 f ( x? ) ? x? . 不妨设 f ( x? ) ? x? ,令 f ( x? ) ? x? ? t (? ? t ? ?) , 则 f [ f ( x? )] ? f ( x? ? t ) ? f ( x? ) ? f (t )
·8·

因 ? ? t ? ? ,所以 f (t ) ? ? ,得 f [ f ( x? )] ? f ( x? ) 又 f ? f ( x? )? ? x? , 所以 x? ? f ( x? ) ,即 f ( x? ) ? x? 与假设矛盾, 所以 f ( x? ) ? x? 成立. (6 分)
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