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从调和点列到调和四边形

从调和点列到调和四边形


2010年第7期

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从调和点列到调和四边形
武炳杰
(复旦大学数学科学学院2009级,200433) 中图分类号:0123.1 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2010)07—0015—04

定义l

如果A、C、B、D依次为直线上

性质2若点P在00之外,过P作00 的两条切线与00切于点M、Ⅳ,则MN是P 的极线. 性质3若过00外一点P作一直线与 00交于点R、S,线段RS与P的极线交于点 Q,则(P、S,Q、R)为调和点列. 性质4假设A、B、C、D是反演圆上四 点,AB和CD(或其延长线)交于点P,AC和 no(或其延长线)交于点Q,AD和BC(或其

的四个点,满足历CA=一面DA(有向线段),则称
(A、B,C、D)为调和点列.如果不在这条直线 上有一点X,则称X(ABCD)(包含XA、XB、 XC、XD这四条直线)为调和线束当且仅当 (A、占,C、D)为调和点列. 特别的,若C为AB的中点,则可以认为 D是无穷远点. 引理1 和的. 引理2 在△ABC中,x、y、Z分别为 对于任意一条直线截一个线束 于四点,则这四点调和当且仅当此线束是调

延长线)交于点R,则点P的极线为衄.
同理,点尺的极线为PQ. 于是,点Q的极线为PR. 本文运用配极与调和点列的性质,给出 一些最新国内外数学竞赛试题的另解.
例1

BC、CA、AB上一点,YZ交BC的延长线于点
x’,则(B、x,C、x 7)为调和点列当且仅当朋、 BY、CZ三线共点. 引理3 即能成立. 命题1 命题2 命题3 (A、曰,C、D)为调和点列. XC为/_AXB的内角平分线. A、C、B、D依次分别为直线上的

已知PA、PB是由Go外一点P引

出的两条切线,肘、Ⅳ分别为线段AP、AB的 中点,延长MN交00于点C,点Ⅳ在M与C 之间,PC交00于点D,延长ND交PB于点 Q.证明:四边形MNQP为菱形.【l (2007,泰国数学奥林匹克) 证明 如 图1,由于PA、 PB为O 0的 切线,故AB 为点P对00 的极线- 设PC交 AB于点E.故由配极性质3知(P、E,D、C)为 调和点列. 由于MN//PB,以J7v为透视中心,由(P、 E,D、C)为调和点列可以得到(P、B,Q、∞) 为调和点列(注:∞表示无穷远点).
图1


四个点,则以下两个命题成立时,第三个命题

XC上肋.

定义2在平面上取定一个以0为圆 心、r为半径的圆.对于不同于0的任一点 P,作一直线Z通过P的反演像P’(即0、P、 P’三点共线,且OP?OP’=r2)且垂直于射线 OP.则称直线Z为点P的极线,P为直线z的 极点. 性质1 若点A在占的极线上,则点B 在A的极线上.
收稿日期:2009—12—28惨回日期:2010一05—24

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中等数学

所以,Q为PB的中点. 而尸B=PA,M、N、Q为PA、AB、PB的中 点,故四边形MNQP为菱形. 例2 已知00外一点X,由X向00引

首先证明:点x、l,在直线EF上. 不妨设肼与EF交于点X’. 么FXB=么DXB. 由引理2知(日、C,D、r)为调和点列,再 由引理3知BX’J_CX’,故x 7即为O肘上的 点X. 同理,点y也在直线EF上. 其次证明:Ⅳ、D、,三点共线. 由于(B、C,M、∞)为调和点列,由配极 性质l,以点A为透视中心知(Z、N,F、E)为 调和点列,故由配极性质3知点JI、r在Z关于 O,的极线上.而点Ⅳ也在A关于o,的极线 上,由配极性质1知,AZ为点』\r关于o,的


由于△BFI丝△BDI,对称地得到

两条切线,切点分别为A、B,过点x作直线,

与00交于两点C、D,且满足cA上BD.若“
与BD交于点F、CD与AB交于点G,BD与 GX的中垂线交于点Ⅳ,证明:X、F、G、日四点 共圆.[2】 (第15届日本数学奥林匹克(2005)) 证明 由配极性质3可知(X、G,D、C) 为调和点列,而cA_LBD,故由引理3得
Z GFD=Z DFX.

如图2,设

△卯X的外接圆
与BF交于点日7. 则GH’=XH7,即 点日’在GX的中 垂线上.从而, H7=H.因此,X、 F、G、H四点共圆.
图2

极线,故Mj-AZ.从而,Ⅳ,上BC.
所以,Ⅳ、D、,三点共线. 由引理2知(T、D,C、B)为调和点列,且

Ⅳ,上BC,由极线的定义知,M为点r关于
O肘的极线,从而,由配极性质3知(r、Ⅳ,X、 y)为调和点列.

因为M上BC,所以,由引理3知
£YDN=[XDN. 由角平分线定理得 sin么DYX NY—DY—sin么DXY’
NX XD

例3设E、F分别为△ABC内切圆o, 与边AC、AB的切点,M为BC的中点,AM与 EF交于点J『\r,以BC为直径的oM分别交B, 与a于点X、y.证明:

丝一丝
NY‘’AB’

另一方面,
1 1

(2007,罗马尼亚国家队选拔考试) 证明如图3,过点A作BC的平行线与 EF交于点Z,BC与EF交于点z
Z A

÷么ABC=么DBI=么CYX=÷么DYX,
二 二

士usin么DYX sin么ABC AC 双sin么DXY—sin么ACB—AB‘ 从而得证.
定义3

三角形的陪位中线为三角形

的中线以该角角平分线为对称轴翻折后的 直线. 引理4过点B、c作△ABC的外接圆 切线,设交点为D,则AD为三角形的一条陪 位中线. 定义4如果圆内接四边形ABCD满足 AB?CD=AD?BC,则称其为调和四边形.
图3

引理5

设圆内接四边形ABCD,AC与

BD交于点s,过A、C的切线交于点E,过

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B、D的切线交于点F则以下六个命题等价: 命题1
AB?CD=BC?DA.

么CMN=么FDB. 从而,么XMN=么EDC. 由正弦定理得 sin么MCX sin么XMN NC—sin么MXC‘ sin[CMN。
NX

命题2点E在BD上. 命题3点F在AC上. 命题4 对边的交点. 命题5(,、.s,C、A)为调和点列. 命题6(E、S,8、D)为调和点列. 例4 o,为△ABC的内切圆,D、E、F 分别为0,与边BC、CA、AB的切点.记o,与 AD交于点肘,Ⅳ为△CDM的外接圆与DF 的交点,CN与AB交于点G.证明:
CD=3FG.

.s至少是△ABD、△BCD、

△ABC、△ACD中至少一对的陪位中线与

故NX=NC

甘五—面2五—獗‘
sin么FDA sin么BDF 另一方面,由陪位中线的定义知,DA为 △DEF的陪位中线,故 sin么FDA MF FD sin么EDA—ME—ED sin么DEF sin么BDF —sin么OFE— sin[CDE‘ 例5在凸四边形ABCD中,记0为AC 与BD的交点.如果BO为△ABC的陪位中 线,DO为△ADC的陪位中线,证明:AO为 △ABD的陪位中线. (2006,罗马尼亚国家队集训测验题) 证明

证明

如图4,记EF与CG交于点x,


EF与BC交于点r

如图5,设瓦为过点D作△ADC

外接圆的切线与AC的交点,疋为过点曰作 △ABC外接圆的切线与AC的交点.

图4

对△BCG与截线DNF应用梅涅劳斯定 理得

-。’一●…
口F GN CD. FG NC DB

1’

从而,CD=3GF甘CN=3NG.


囝5

而由引理2知(T、D,C、B)为调和点列, 以点F为透视中心,由引理1知(C、G,,v、J]|f)

因为BO为△ABC的陪位中线,所以, (咒、0,C、A)为调和点列. 同理,(正、0,C、A)也为调和点列. 由调和点列第四点的唯一确定性可知 五=疋(设其为r). 另一方面,BD是r关于△ADC外接圆 的极线,也是关于△ABC外接圆的极线.所 以,A、B、C、D四点共圆.故四边形ABCD为 调和四边形.

为调和点列,故而NC=篙.
结合式①可得原题等价于证明Ⅳ为XC
的中点. 由么MEX=么MDF=么MCX,知肘、E、 c、x四点共圆.故 么MXC=么MEA=么ADE。

么MCX=么肋啊=么ADF, 万方数据

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中等数学

因此,AO为△ABD的陪位中线. 例6在等腰△ABC中,AB=AC,M为 BC的中点.请在三角形形内找出满足 么BPM+么CPA=7c 的点尸的轨迹. (2006,罗马尼亚国家队选拔考试) 证明 如图6,设 AP与BC交于点s. 因么SPC


于是,四边形PBDC为调和四边形. 从而,可以设A’为过点曰、C作四边形外 接网的切线的交点,由调和四边形的性质可 知点A’在PD上. 如果A 7=A,则点P的轨迹为与AB、AC 分别切于点曰、C的圆在△ABC内部的圆弧. 如果A’和A不是同一点,则A’亦为A肘

=兀一么C以
=么BPM. 所以,PS为△BPC的 陪位中线. 下面证明:点P的 轨迹为使BC成为点A 极线的圆在△ABC内 的圆弧及线段AM(不

与PD的交点.而A为朋与AM的交点,所
以,点P的轨迹为线段AM(不包括点A、M). 利用本文中的引理和性质还可解决许多

几何问题,比如,文[3]中测试一的第3题, 文[4]中第四天第1题,文[5]中决赛第二轮 的第6题,文[6]中的第4题等.
图6

参考文献:
[1]2007泰国数学奥林匹克[J].房林峰译.中等数学, 2009(增刊). [2]第15届日本数学奥林匹克(2005)[J].中等数学, 2006(增刊). [3]2008蒙古国家队选拔考试[J].李涛译.中等数学, 2009(增刊). [4]2008罗马尼亚国家队选拔考试[J].李建泉译. 中等数学,2009(增刊). [5]第38届奥地利数学奥林匹克[J].李建泉译.中等 数学,2008(增刊).

包括点A、JIf). 设AP与△BPC的外接圆交于点D. 由陪位中线性质知 SB PB sin[BPS PB sin£CPM sC Pc sin[CPs PC sin[BPM
P8 PC CM BM PB PC PB。 PCo‘

另一方面,由正弦定理得 SB DB sin么SDB sC DC sin[sDC DB sin么PCB DB

2丽’盂Z孺石 。。DC

PB PC。

[6]第2l届北欧数学竞赛[J].李建泉译.中等数学, 2008(增刊).

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本刊编辑部

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从调和点列到调和四边形
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 武炳杰, WU Bing-jie 复旦大学数学科学学院,200433 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2010(7)

参考文献(6条) 1.房林峰 2007泰国数学奥林匹克 2009(增刊) 2.第15届日本数学奥林匹克(2005) 2006(增刊) 3.李涛 2008蒙古国家队选拔考试 2009(增刊) 4.李建泉 2008罗马尼亚国家队选拔考试 2009(增刊) 5.李建泉 第38届奥地利数学奥林匹克 2008(增刊) 6.李建泉 第21届北欧数学竞赛 2008(增刊)

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