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江苏省海安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(创新班)(精编含解析)

江苏省海安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(创新班)(精编含解析)

2017~2018 年度第二学期期中学业质量监测 高一创新班数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上.

1. 已知集合 【答案】[1,2]

,则

______.

【解析】分析:根据一元二次不等式,求解集合 ,再利用补集的运算即可求解 .

详解:由集合

或,

所以

,即



点睛:本题主要考查了集合的运算,其中正确求解集合 是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.

2. 设 是虚数单位,若复数 满足 数 的模 =______. 【答案】1 【解析】分析:利用复数的运算法则,以及模的计算公式,即可求解.

,则复

详解:由

,则

,所以



点睛:本题主要考查了复数的运算法则和复数模的计算,其中熟记复数的运算公式和模的计算公式是解答

的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.

3. 函数

的定义域为______.

【答案】 【解析】分析:根据函数的解析式,得到解析式有意义所满足的条件,即可求解函数的定义域.

详解:由函数 实数 满足

可知,

,即

,解得



即函数的定义域为 . 点睛:本题主要考查了函数的定义域的求解,其中根据函数的解析式得到满足条件的不等式是解答的关键, 着重考查了推理与运算能力.

4. 若

,则

的值为______.

【答案】 【解析】分析:根据三角函数的诱导公式,即可求解对应的函数值.

详解:由







点睛:本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用问题,其中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键,着

重考查了推理与运算能力,属于基础题.

5. 已知

,且



,则 的值为______.

【答案】 【解析】分析:利用两角和与差的正切函数公式,即可化简求值.

详解:由







点睛:本题主要考查了三角函数的化简求值问题,其中把角转化为

式是解答的关键,着重考查了转化意识和推理、运算能力.

和熟记两角和与差的正切公

6. 已知双曲线 同,则双曲线的方程为______.

的一条渐近线方程是 y= x,它的一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相

【答案】

【解析】分析:先由双曲线的渐近线方程为

,易得 ,再由抛物线

的焦点为 ,可得

双曲线 ,最后根据双曲线的性质列出方程组,即可求解 的值,得到双曲线的方程.

详解:由双曲线的渐近线方程为

,得 ,

因为抛物线

的焦点坐标为 ,得 ,

又由

,联立可得

,所以双曲线的方程为



点睛:本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质的应用,其中熟记圆锥曲线的几何性质是

解答的关键,着重考查了推理与运算能力.

7. 由 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数. 【答案】156

【解析】分析:可分当末位为 和末位不为 两种情况分类讨论,再根据分类计数原理求得结果.

详解:可分为两类:

(1)当末位为 时,可以组成

个;

(2)当末位是 或 时,则首位有四种选法,中间可以从剩余的 个数字选取两个,

共可以组成

种,

由分类计数原理可得,共可以组成

个没有重复数字的四位偶数.

点睛:本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理的应用,着重考查了分类的数学思想方法,对于数字

问题是排列中常见到的问题,条件变换多样,把排列问题包含数字问题时,解答的关键是看清题目的实质,

注意数列字 的双重限制,即可在最后一位构成偶数,由不能放在首位.

8. 用数学归纳法证明:“



第一步需验证的不等式为:“______.”



,其中 ,且

”时,

【答案】 【解析】分析:由题意

时,

,即可得到第一步需要验证的不等式.

详解:由题意可知,当 时,

,所以第一步需验证的不等式为“

”.

点睛:本题主要考查了数学归纳法的应用,其中熟记数学归纳法的基本步骤是解答的关键,着重考查了分

析问题和解答问题的能力.

9. 已知函数

有且只有一个零点,则实数 b 的取值范围是______.

【答案】

【解析】分析:函数有零点是函数图象的交点,利用函数



范围.

详解:由题意,函数

有一个零点,

即函数



的图象只有一个交点,

如图所示,直线

与半圆相切的直线方程为



又过 点的直线为



所以满足条件的 的取值范围是 或

,即



的图象,即可求出参数的取值

点睛:本题主要考查了函数零点的应用问题,其中解答中把函数有零点转化为函数图象得交点是解答的关 键,着重考查了转化与化归思想和数形结合思想,以及分析问题和解答问题的能力.
10. 设 x,y,z 均是不为 0 的实数,9x,12y,15z 成等比数列,且 , , 成等差数列,则 的值是______. 【答案】

【解析】试题分析:由于 数列,

成等比数列,

,得

,又因为

成等差





. 考点:等差数列和等比数列的性质.

11. 设 满足约束条件

则目标函数 的取值范围为______.

【答案】

【解析】试题分析:可行域为一个三角形 ABC 及其内部,其中

,因此当 时 过点

C 时, 取最大值 1,当 时 与直线

相切时 取最小值 ,当 时 ,综上目标函数

的取值范围为 考点:线性规划 12. 如图,在△ABC 中,边 BC 的四等分点依次为 D,E,F.若 ______.

,则 AE 的长为

【答案】

【解析】分析:用



表示出 得出

,从而得到 的长.

详解:因为

,

所以

,所以

所以



,在根据 和 的关系计算

因为



所以 所以

, ,

所以

,所以



所以

,所以

,即



点睛: 本题考查了平面向量的基本定理,及平面向量的数量积的运算问题,对于平面向量的计算问题,

往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数 量积的坐标运算公式、向量夹角公式、模公式及

向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.

13. 设函数 在 上存在导数 ,对任意的 有

,且在



.若

,则

实数 的取值范围______.

【答案】

【解析】令 数性质知:

,所以 在 R 上上递增 .

,则 为奇函数 .

时,

,由奇函

则实数 的取值范围是 点睛:利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅

助函数常根据导数法则进行:如

构造



构造



构造



构造



14. 设 是三个正实数,且

,则 的最大值为______.

【答案】 .

【解析】分析:由已知条件可得 是方程 等式,即可求解.

的正根,求出 ,打入 变形化简利用基本不

详解:由

,所以



所以 是方程

的正根,所以



所以

所以 的最小值为 .

,当且仅当 等号成立,

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明,证明过程或演算步骤.

15. 如图,在正三棱柱 证:

中,已知 , 分别为 , 的中点,点 在棱 上,且

.求

(1)直线 ∥平面 ;

(2)直线 平面 .

【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而 线线平行的寻找与论证,往往需要利用平几知识,如本题利用平行四边形性质:连结 ,可先证得四边形

是平行四边形,进而证得四边形

是平行四边形,即得

,(2)证明线面垂直,一般利

用线面垂直判定与性质定理,经多次转化论证,而在寻找线线垂直时,不仅可利用线面垂直转化,如由

平面 试题解析:

,得

,而且需注意利用平几中垂直条件,如本题中利用正三角形性质得

(1)连结 ,因为 , 分别为 , 的中点,

所以





所以四边形

是平行四边形,…………………2 分

所以



,又





所以





所以四边形

是平行四边形,…………………4 分

所以

,又因为





所以直线 平面 .…………………………………………………7 分

(2)在正三棱柱

中,

平面 ,

又 平面 ,所以





是正三角形,且 为 的中点,所以



平面





,……………9 分

所以 平面



又 平面

,所以

,……………………………………11 分





平面 ,



所以直线 平面 .…………………………………………………14 分 考点:线面平行判定定理,线面垂直判定与性质定理 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

16. 已知向量



(1)求角 的大小;

共线,其中 A 是△ABC 的内角.

(2)若 BC=2,求△ABC 面积 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

【答案】(1) (2)△ABC 的面积最大值 ,等边三角形.

【解析】分析:(1)由 ,得

,利用三角恒等变换的公式,求解

,进而求解角 的大小;

(2)由余弦定理,得

和三角形的面积公式,利用基本不等式求得

面积最大,得到三角形形状.

,即可判定当 时

详解:(1)因为 m//n,所以

.

所以

,即





. 

因为

, 所以

.



,.

(2)由余弦定理,得







,(当且仅当 时等号成立)

所以

.

当△ABC 的面积取最大值时, .又 ,故此时△ABC 为等边三角形 点睛:本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题,对于解三角形问题,通常利 用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系,利用“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求 角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经 常利用三角形内角和定理,三角形面积公式,结合正、余弦定理解题.

17. 已知椭圆 :



)的离心率为 ,椭圆 与 轴交于 两点,且

(1)求椭圆 的方程;

(2)设点 是椭圆 上的一个动点,且点 在 轴的右侧,直线

与直线 交于

径的圆与 轴交于 ,求点 横坐标的取值范围及 的最大值.

. 两点,若以 为直

【答案】(1)

(2)

2

试题解析:(1)由题意可得, ,





, 解得 , 椭圆 的标准方程为

.

(2)设

,,



所以

,直线 的方程为

,同理得直线 的方程为

, 直线 与直线 的交点为



直线 与直线 的交点为



线段 的中点



所以圆的方程为

,令 ,



, 因为

,所以



所以



因为这个圆与 轴相交,该方程有两个不同的实数解,

所以

,解得



设交点坐标

,则



),

所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为 2.

考点:直线与圆位置关系,两直线交点

18. 如图,一个角形海湾 AOB,∠AOB=2θ(常数 θ 为锐角).拟用长度为 l(l 为常数)的围网围成一个养

殖区,有以下两种方案可供选择:

方案一 如图 1,围成扇形养殖区 OPQ,其中 =l;

方案二 如图 2,围成三角形养殖区 OCD,其中 CD=l;

(1)求方案一中养殖区的面积 S1 ;

(2)求证:方案二中养殖区的最大面积 S2=



(3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由.

【答案】(1) (2)见解析(3)为使养殖区面积最大,应选择方案一. 【解析】分析:(1)设 ,利用弧长公式得 ,再利用扇形的面积公式,即可求解 ;

(2)设

,由余弦定理和基本不等式得

,再利用三角形的面积公式,即可证得



(3)由(1)(2)得

,令

,求得 ,求得函数 的单调性,得





,作出相应的选择.

详解:解:(1)设 OP=r,则 l=r·2θ,即 r= , 所以 S1= lr= ,θ∈(0, ).

(2)设 OC=a,OD=b.由余弦定理,得 l2=a2+b2-2abcos2θ,所以 l2≥2ab-2abcos2θ.

所以 ab≤

,当且仅当 a=b 时“=”成立.

所以 S△OCD= absin2θ≤

= ,即 S2= .

(3) - = (tanθ-θ),θ∈(0, ),.

令 f(θ)=tanθ-θ,则 f ?(θ)=( )?-1= . 当 θ∈(0, )时,f ?(θ)>0,所以 f(θ)在[0, )上单调增,所以,当 θ∈(0, ),

总有 f(θ)>f(0)=0.所以 - >0,得 S1>S2. 答:为使养殖区面积最大,应选择方案一.(没有作答扣一分) 点睛:本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式,及导数在函数中的综合应用,其中正确理解题 意,利用扇形的弧长公式和面积公式建立函数关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能 力,以及推理与运算能力.

19. 已知函数 (1)设 .

(a > 0,b,c ).

①若 ②若

, 在 处的切线过点(1,0),求 的值; ,求 在区间 上的最大值;

(2)设 在 , 两处取得极值,求证:



不同时成立.

【答案】(1)① 或 ②0(2)见解析 【解析】(1)根据题意,在①中,利用导数的几何意义求出切线方程,再将点

代入即求出

的值,在②中,通过函数的导数来研究其单调性,并求出其极值,再比较端点值,从而求出最

大值;(2)由题意可采用反证法进行证明,假设问题成立,再利用函数的导数来判断函数的单

调性,证明其结果与假设产生矛盾,从而问题可得证.

试题解析:(1)当 时,

.

①若 ,则



从而



故曲线

在 处的切线方程为

将点 解得

代入上式并整理得 或.

. ,

②若 ,则令

,解得 或

.

(ⅰ)若 ,则当

时,



所以 为区间 上的增函数,

从而 的最大值为

.

(ii)若 ,列表:

所以 的最大值为

.

综上, 的最大值为 0.

(2)假设存在实数 ,使得



同时成立.

不妨设 ,则

.

因为 , 为 的两个极值点,

所以

.

因为 ,所以当

时,



故 为区间 上的减函数,

从而

,这与

矛盾,

故假设不成立.

既不存在实数 , , ,使得



同时成立.

点睛:此题主要考查了有关函数导数的几何意义、以及导数在判断函数单调性、求函数的最值等

方面的知识和运算技能,属于中高档题型,也是高频考点.利用导数求函数单调区间的一般步骤:

1.确定函数的定义域;2.求导数;3.在函数的定义域内解不等式



;4.根据 3 的结

果确定函数的单调区间.

20. 已知 是数列 的前 n 项和, ,且



(1)求数列 的通项公式;

(2)对于正整数

,已知

成等差数列,求正整数 的值;

(3)设数列 前 n 项和是 ,且满足:对任意的正整数 n,都有等式

成立.求满足等式 的所有正整数 n.

【答案】(1)

(2)

(3)1 和 3.

【解析】试题分析:(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系,再根据等比数列定义判断,最后根

据等比数列通项公式求结果,(2)根据等差数列化简得

,再根据正整数限制条件以及指数

性质确定不定方程正整数解,(3)先根据定义求数列 通项公式,再根据等差数列求和公式求 ,根据

数列相邻项关系确定 递减,最后根据单调性求正整数解.

试题解析:(1)由



,两式作差得

.

,即



,所以

, ,则

为 的等比数列,所以



(2)由题意

,即



所以

,其中





所以 (3)由





,所以







; 得, , ,

,所以数列 是首项为 公比

所以 所以 又因为

,即





,得 ,所以



从而





当 时 ;当 时 ;当 时 ;

下面证明:对任意正整数 都有 ,



当 时,

,即



所以当 时, 递减,所以对任意正整数 都有



综上可得,满足等式 的正整数 的值为 和 .


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