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专题2.8 欲证不等恒成立,结论再造是利器-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(原卷版)

专题2.8 欲证不等恒成立,结论再造是利器-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(原卷版)

专题 08 欲证不等恒成立,结论再造是利器
【题型综述】
利用导数解决不等式恒成立问题的策略: 利用导数证明不等式,解决导数压轴题,谨记两点: (Ⅰ)利用常见结论,如: , x ? ln ? x ? 1? , 等;

(Ⅱ)利用同题上一问结论或既得结论.

【典例指引】
例 1.已知 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) ,直线 l 与函数 f ( x), g ( x) 的图像都相 切,且与函数 2 2

f ( x) 的图像的切点的横坐标为 1.
(I)求直线 l 的方程及 m 的值; (II)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g '( x)(其中g'(x)是g(x)的导函数) ,求函数 h( x) 的最大值. (III)当 0 ? b ? a 时,求证: f (a ? b) ? f (2a ) ?

b?a . 2a

例 2.设函数 f ? x ? ? aln ? x ? 1? , g ? x ? ? e ?1 ,其中 a ?R, e ? 2.718 …为自然对数的底数.
x

(Ⅰ)当 x ? 0 时, f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求证:

1095 10 2000 ? e? (参考数据: ln1.1 ? 0.095 ). 1000 1791
. 对一切 恒成立,求 的最大值; 对一切正整数 都成立 ?若存在,求 的最小值;

例 3.设 (l)若

(2)是否存在正整数 ,使得 若不存在,请说明理由.

【同步训练】
1.已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ?
x

[来源:学*科*网 ]

a 2 x ? x, (其中 a ? R , e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 ……) . 2

(1)令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? ? x ? ,若 h ? x ? ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;

?i? (2)在(1)的条件下,设 m 为整数,且对于任意正整数 n , ? ? ? ? m ,求 m 的最小值. i ?1 ? n ?
n
[来源:学_科_网]

n

2.设函数 f ? x ? ? e ? ax ? a ? a ? R ? .
x

(1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 的图象与 x 轴交于 A ? x1 ,0? , B ? x2 ,0? 两点,且 x1 ? x2 ,求 a 的取值范围; (3)令 a ? 0 , ?x ? R, f ? x ? ? 2a ,证明: 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ln ? n ? 1? n ? N * . 2 3 n

?

?

3.已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? alnx . 2

(1)若函数 f ? x ? 有两个不同的零点,求实数 a 的取值范围;

n2 ? n ? 2 ? ln? 4? ? n ln ? ( 2 ) 当 x ? 1 时 , f ? x ? ? 0 恒 成 立 的 a 的 取 值 范 围 , 并 证 明 ln 2? ln 3 4

? n ? 2, n ? N ? .
*

4.已知函数 f ? x ? ?

xlnx 与 g ? x ? ? a ? x ?1? . x ?1

(1)若曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? g ? x ? 恰好相切于点 P ?1,0 ? ,求实数 a 的值; (2)当 x ? 1, ?? ? 时, f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 (3)求证: ln ? 2n ? 1? ?
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

?

a 的取值范围;

? 4i
i ?1

n

4i . n? N* 2 ?1

?

?

5.已知函数 (Ⅰ)若函数 (Ⅱ)当 与

, 的图像在点

. 处有相同的切线,求 的值;

时,

恒成立,求整数 的最大值; .

(Ⅲ)证明:

6.已知函数 f ? x ? ?

lnx ? 1 ( e 是自然对数的底数) , h ? x ? ? 1 ? x ? xlnx ex

(1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 A 1, f ?1? 处的切线方程; (2)求 h ? x ? 的单调区间; (3)设 g ? x ? ? xf ? ? x ? ,其中 f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,证明:对任意 x ? 0 , g ? x ? ? 1 ? e
?2

?

?

7.设函数 f ? x ? ? x ? bln ? x ? 1? ,其中 b ? 0 .
2

(1)当 b ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程; (2)讨论函数 f ? x ? 的单调性;
* (3)当 n ? N ,且 n ? 2 时证明不等式: ln ??

?? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? 1?? ? 1??? ? 1? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ? n 2 n ?1 ?? 2 ?? 3 ? ? n ? ? 2 3

8.已知函数 f ? x ? ? alnx ? ? a ? 1? x ? (1)当 a ? -

1 . x

3 时,讨论 f ? x ? 的单调性; 2 1 (2)当 a ? 1 时,若 g ? x ? ? ? x ? ? 1 , 证明:当 x ? 1 时, g ? x ? 的图象恒在 f ? x ? 的图象上方; x
(3)证明:

ln2 ln3 lnn 2n2 ? n ?1 ? ? ? ? ? n ? N*, n ? 2 . 22 32 n2 4 ? n ? 1?

?

?

9.已知函数 f ? x ? ? ax ? lnx ?1 . (1)若函数 f ( x) 在区间 1, ? ?? 上递增,求实数 a 的取值范围; (2)求证: ln ? n ? 2 ? ? 1 ?

?

1 1 1 ? ?? ? n? N* . 2 3 n ?1

?

?

10.已知函数 f ? x ? ?

1? x ? lnx (其中 a ? 0 , e ? 2.7 ). ax

(1)若函数 f ? x ? 在 1, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围 ; (2)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (3)当 a ? 1 时,求证:对于任意大于 1 的正整数 n ,都有 lnn ?

?

?1 ?

? ?

1 1 1 ? ?? ? . 2 3 n

[来源:Zxxk.Com]

11.已知函数 f ? x ? ? lnx ? kx ? k. (Ⅰ)若 f ? x ? ? 0 有唯一解 ,求实数 k 的值;
x 2 (Ⅱ)证明:当 a ? 1 时, x f ? x ? ? kx ? k ? e ? ax ? 1.

?

?

(附: ln2 ? 0.69,ln3 ? 1.10, e ? 4.48, e ? 7.39 )
2

3 2

12. 已知函数 f ? x ? ? lnx ?

ax . x ?1

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 有极值, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 f ? x ? 有两个极值点(记为 x1 和 x2 )时,求证: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

x ?1 ? ? f ? x ? ? x ? 1? ?. x ?

13.已知 (1)求函数 在区间 (2)对一切实数 (3)证明:对一切 , 上的最小值; 恒成立,求实数 的取值范围; 恒成立.
[来源:学&科&网]

14.已知函数 f ? x ? ? lnx ? a ?1 ? x ? , a ? R . (I )求 f ? x ? 的单调区间; (II)若对任意的 x ? ? 0, ??? , 都有 f ? x ? ? 2a ? 2 ,求实数 a 的取 值范围.


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