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不等式的解法举例一 激活学生思维、体现自主探索的课堂教学 人教版

不等式的解法举例一 激活学生思维、体现自主探索的课堂教学 人教版

不等式的解法举例一 激活学生思维、体现自主探索的课堂教学
湖北省通山县第一中学 严加才 课堂教学中,学生的研究性学习过程是学生自主探索、发现、分析、研究的思维过程,是学生利用已有的知识和方法 认识新事物、解决新问题的过程. 研究性教学在展现学生的思维过程的同时,还应展示学生探索发现、产生障碍时克服困 难、走向成功的经历. “探索是发现的生命线”. 通过对问题的探索活动,亲历知识的建构过程,体验探索的艰辛与成功的快乐,感悟数学的 真谛,激发学习热情,初步形成正确的数学观,创新意识和科学研究精神,形成相互协作、相互交流、成果共享的精神. 我 们认为, 这样的学习过程, 学生的收益绝非仅仅是所研究的数学问题本身, 这种研究解决问题的科学方法会使他们终生受益. 通山县第一中学,地处鄂东南山区,受自然环境和经济条件的限制,这里招收的学生大半是特困生和差生. 本节课就 是在这样的学生组成的普通班中进行的. 一.复习回顾 师:解不等式的依据是什么?这些依据对解不等式来说能达到什么目的? 生 1:解不等式的依据是不等式的三条基本性质,即……能使转化前后的不等式(组)是等价的,或者说是同解的. 师:前面,我们学习了几类不等式的解法. 这里,请同学们将下列表格的空白部分填上适当的内容. 不等式类型 解 集

ax ? b ? 0
一元一次不等式 (设 a>0) 一元一次不等式 组(设 a>b)

ax ? b ? 0

?x ? a ? ?x ? b

?x ? a ? ?x ? b

?x ? a ? ?x ? b

?x ? a ? ?x ? b

??0
函数 一元二次不等式 (设 a>0)

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
的图象

ax2 ? bx ? c =0
的实根

ax2 ? bx ? c ? 0
ax2 ? bx ? c ? 0
绝对值不等式 (设 a>0)

| x |? a

| x |? a

师:同学们都进行了严密的思考. 因此表格完成得很好!现在,请同学们思考,在上表的不等式中,若 a<0,问题又 应该如何处理呢?

生 1:在一元一次或一元二次不等式中,若 a<0,则根据不等式的性质,将它转化为 a>0 的形式来解决. 生 2:在绝对值不等式中,若 a<0,则 | x |? a 的解集为 R; | x |? a 的解集为Φ . 师:的确如此!请继续思考:解含绝对值的不等式的关键是什么? (学生思考,回答.) 生 3:是想办法去掉绝对值的符号,等价转化为同解的不等式(组). (完成表格和思考并回答问题的过程,不仅是对解几类不等式知识的简单复习,而且是系统的归纳、整理,还是温故 知新,为下面的进一步学习做好铺垫.) 师:不错!下面请同学们回答几个问题: ⑴不等式 | x |? x 的解集是 ⑵不等式 3≤ |
2

; ; ; ;

x ?1 ? 2 | <5 的解集为 2

⑶不等式 x ? 5x ? 5 ? 1 的解集为 ⑷不等式 5x ? x ? 5 ? 1 的解集为
2

2 ? ?x ? 5x ? 5 ? 1 ⑸不等式组 ? 的解集为 2 ? ?5 x ? x ? 5 ? 1

.

(由于以上两方面的知识是本课新知识的结合处和生长点, 故以上做法为学生顺利完成对新知识的建构做好了充分准 备.) 二.提出问题 师: 同学们回答得很好! 接下来, 结合上述两方面的知识, 同学们能否对上述问题进行改编, 提出更高层次的新题呢? (学生热情顿涨,兴趣盎然,都积极、自觉地支探索、发现……) 生 4:解不等式 x 2 ? 5 | x | ?5 ? 1 生 5:解不等式 5 | x | ? x 2 ? 5 ? 1 生 6:解不等式 | x 2 ? 5x ? 5 |? 1 ⑹ ⑺ ⑻

(编题训练对学生是一个很好莱坞学习环节,有利于加深对数学问题的理解,有利于学生从不同的角度考虑同一数学 问题,培养学生的发散思维和创新思维,体现多题一解的思想.) 三.研究问题 师:同学们的表现真棒!这三个新编的不等式,该怎么解呢? 生 4:因为 x ?| x | ,所以原不等式 ? | x | ?5 | x | ?4 ? 0
2 2 2

?| x | ?1 ? 0 ?| x | ?1 ? 0 或 ? ? (| x | ?1)(| x | ?4) ? 0 ? ? ?| x | ?4 ? 0 ?| x | ?4 ? 0

? 1 ?| x |? 4 .
故原不等式的解集为{x|-4<x<-1 或 1<x<4}. 生 5:本题先将二次项系数化为正,以后的方法和过程与题⑹类似.

原不等式 ? x 2 ? 5 | x | ?6 ? 0 ? (| x | ?2)(| x | ?3) ? 0

?| x | ?1 ? 0 ?| x | ?1 ? 0 或 ? ?? ? | x |? 3 或 | x |? 2 . | x | ? 4 ? 0 | x | ? 4 ? 0 ? ?
故原不等式的解集为{x|x<-3 或-2<x<2 或 x>3}. 师:真不简单!不等式⑻又该如何解呢?请同学们研究一下. (学生思考、回答.) 生 7:依替换思想,由|x|<a(a>0) ? -a<x<a,知-1< x ? 5x ? 5 <1,再转化为等价的二次不等式组即可. 解题过
2

程如下:
2 ? ?1 ? x ? 4 ?x ? 5x ? 4 ? 0 2 x ? 5 x ? 5 原不等式 ? -1< <1 ? ? 2 . ?? ? ? x ? 2或x ? 3 ?x ? 5x ? 6 ? 0

故原不等式的解集为{x|1<x<2 或 3<x<4}. 师:同学们认为他做得怎样? 生(众) :非常棒! (通过一道例题的完整讲述,让学生掌握正确的解题方法和书写格式。而通过类比和延伸是获得知识的途径之一.) 师:问题形成后必须解决之,而采用“化未知为已知”是一种永恒的手法. 大家知道,解含绝对值的不等式的关键是 合理地去掉绝对值的符号. 对于本例,同学们想一想,是否还有其它解法呢? (学生的探索欲望被强化,与此同时大家被卷入了一个新的问题情景,课堂学习气氛更浓,而且一题多解对培养学生 的发散思维、创新思维等大有裨益.) 生 8:利用图象法解. 在同一坐标系中作出函数 y ?| x 2 ? 5x ? 5 | 和 y=1 的图象. 令| x ? 5x ? 5 |=1,解得 x=1,2,
2

3,4. 由图象可知,原不等式的解集是{x|1<x<2 或 3<x<4}. y

1 O 1 2 3 4 x

师:多么形象、直观、实用……(话音未落) (鼓励的语言使学生很有成就感,其他学生都有点迫不及待了,课堂气氛再次活跃起来.) 生 9:可以用平方法. 原不等式 ? ( x ? 5x ? 5) ? 1 ? (但……)
2 2

师:很不错嘛!请继续努力,思维的品质、深度就是在“硬碰硬”中得到培养和发展的. (当学生陷入困境时,教师要重新点燃学生思维的火花,使他们树立探索发现的勇气和信心,使他们的意志和毅力得 以锻炼加强.) 生 9:……(还是不行.)

(面对问题,学生欲语还休,欲罢不能.) 师:展开明显不好,那就开方试试(这不还原了,众生哗然发笑,适当调整了受压抑的气氛.) ,更不好,这也不行, 那也不行,真的不行吗?大家分组讨论试试,看哪个组又快又准. (学生进入问题的情景后,最有价值的工作是开展交流、讨论.) 生 10:移项,右边化为 0,左边运用平方差公式分解因式,得 … ? ( x 2 ? 5x ? 5) 2 ? 1 ? 0 ? ( x 2 ? 5x ? 4)(x 2 ? 5x ? 6) ? 0 ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? 0 . (豁然开朗,压力顿消,喜悦之情溢于言表,思维品质得以升华.) (学生到此又不知怎么解这个不等式,显出困惑、无奈的表情.) 师:这个不等式有何特点? 生 11:啊. 它的特点是四个因式的积小于 0,根据符号法则,可分两种情况,原不等式

?( x ? 1)(x ? 2) ? 0 ?( x ? 1)(x ? 2) ? 0 或? ?… ? ? ?( x ? 3)(x ? 4) ? 0 ?( x ? 3)(x ? 4) ? 0

??

?1 ? x ? 2 ? x ? 2或x ? 1 或? ? 1<x<2 或 3<x<4. ? x ? 4或x ? 3 ?3 ? x ? 4

师:有如释重负之感吧! (笑) ,这是一种什么方法呢?其依据又是什么呢? 生(众) :分类讨论法。其依据是实数的符号法则. 师:还有其它形式的分类讨论吗? 生 12:还可以分成这样的两种:

?( x ? 1)(x ? 3) ? 0 ?( x ? 1)(x ? 3) ? 0 或? ; ? ?( x ? 2)(x ? 4) ? 0 ?( x ? 2)(x ? 4) ? 0
也可以分成

?( x ? 1)(x ? 4) ? 0 ?( x ? 1)(x ? 4) ? 0 或? . ? ?( x ? 2)(x ? 3) ? 0 ?( x ? 2)(x ? 3) ? 0

师:很不错!不等式中的四个因式可以两两组合,依符号法则,转化为一元二次不等式组即可求解. 这三种形式是同 一思路. 对于这个不等式,还有其它解法吗? 生:……(显出茫然的表情.) (教师必须引导、激励学生穷追下去,让他们的思维品质更进一步,培养学生迎难而上的探索精神.) 师:注意不等式的左边是四个因式的乘积. 能否通过判断这四个因式的正负号来解决它呢?这里的 x 是在实数范围 内,如果让 x“跑遍”所有的实数,这四个因式的符号将会怎样变化呢? 生 13: (恍然大悟)可以将实数集分成这样几休区间: (-∞,1) , (1,2) , (2,3) , (3,4) , (4,+∞) ,然后分别讨 论在这五个区间内各因式的符号. 可以列表如下: 根 1 2 1<x<2 + 2<x<3 + + + 3 3<x<4 + + + 4

x<1
各因式符号 因 式

x>4
+ + + + +

x-1 x-2 x-3 x-4

+

积 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

根据上表可得原不等式的解集为{x|1<x<2 或 3<x<4}. 师:多么富有创意的解法! (受鼓励者其得意之情可想而知,其他学生必然会受其感染,这对他们以后在学习中的激励和影响是深远的.) 师:接下来,类比前面的研究方法,请同学们试试依据不等式⑴⑵⑹⑺⑻再设计编者写一些问题来. 生 14:解不等式:1< x ? 5x ? 5 ≤9
2

⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀

生 15:解不等式| x ? 5x ? 5 |<x
2

生 16: x 2 ? 5 | x | ?5 ? x 生 17: x 2 ? 5x ? 5 ?| x | 生 18: | x 2 ? 5x ? 5 |?| x |

…… (学习兴趣盎然,激情四射,虽然这节课接近尾声,但课堂气氛非常活跃、热烈,人人脸上洋溢着丰收的喜悦和成功 的快乐.) 师:很高兴看到大家有这么多的研究成果!同学们真是了不起!学习数学就是要这样深入探索、迎难而上,很多问题 就是通过这样的研究获得解决的,很多分门别类的知识也是这样在探索中发现、形成的. 下面,我们来看看这几个不等式 的最优解法. (教师先总结上例的几种解法,确定最优解法.) (多题一解和一题多解确实会使学生受益非浅,在平时的学习中应该提倡,并让学生去身体力行. 但在考试时,由于 时间的局限性,一题多解肯定是不可能的. 因此,在平时的学习中,还应让学生体会、总结问题的最佳解法. 这样不断积 累、建构,终会出现信手拈来、得心应手之效果.) 生 19:不等式⑼宜直接替换,转化为同解的一元二次不等式组来解. 生 20:不等式⑽有其特殊性,也宜用不等式⑼的解法. 生 21:不等式⑾、⑿宜用分类讨论法。加外⑿因其特殊性,还可以用平方法. 生 22:不等式⒀宜用平方法,但是用列表法等较麻烦,还能有其它较为简便的方法吗? 教师:了不得,同学们通过思考、讨论,一下子就切中了问题的要害. 你们的成功指日可待. 特别是同学 22,能针 对 以上方法 的繁琐 性,提 出一个新 话题, 其思维 深度和继 续探索 的精神 、勇气很 令人佩 服 . 事 实上,对 不等式

( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? 0 ,确有较简便的解法,这正是我们下节课要研究的课题. 祝贺大家取得了成功!我相信,
聪明而又会学习的同学一定会将问题的设计与探究延伸到课下! 四.课堂练习 解不等式 ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀. 师:同学们可以在课后继续讨论,下节课我们接着交流. 四.课堂小结 (教师引导学生自己归纳本节课所学知识.) 1.解各种类型的不等式,关键是等价变形,保证变形前后的不等式(组)的解集相同. 2.解含绝对值的不等式,掌握两种基本类型的解集是基础. 3. (结合例子归纳)本节课涉及的主要数学方法有平方法、图象法、列表法等. 主要数学思想有代换思想、分类讨论、 数形结合、函数与方程、转化与化归等. 4.平时的学习中,同学们应加强多题一解和一题多解的训练与总结. 点评: 本节课通过对例 1 的求解,引导学生进一步探索、研究含绝对值不等式的类型和解法.这里注重营造良好的教学情境,

激发学习学生数学的动机,帮助学生树立信心,让学生体验到解决数学问题的“成就感” ,并在自主探索发现、集体合作 交流、科学研究的过程中掌握数学思想方法,提高分析问题、解决问题的能力. 教材中有关不等式的求解问题,相对而言较为简单,但是高考试题中出现的不等式求解问题往往较难. 因此,在平时 的教学中,注意引导学生细致观察问题的结构特征,让学生自己进行编题训练即变式训练,体会多题一解和一题多解以及 寻找最优解法的妙处,使学生在学习知识的同时,达到举一反三、融会贯通的效果. 这是很值得我们教师研究和尝试的一 种教学方式. 现代教育教学中,提高课堂效率是教师一个永恒的话题. 因此,通过精心设计、组织课堂教学,注意让学生有效地学 习,调动学生的学习积极性,体现主体性,培养学生的发散思维和创新精神,形成独立思考、自主探索的性格,才能使素 质教育真正地落到实处. 思考与讨论 1.数学问题的一题多解与多题一解是否依然需要? 2.本节课只有一个例子(教材第二册(上)P17 例 1) 。教材这样编排的用意何在?能否将这个例子(或者说这种类 型)放到第一册的相关位置中? 3.教材中的解不等式只有这几种较为简单的类型,而高考中有关解不等式的问题明显要求较高,甚至往往是含有参 数的不等式的求解问题,这对矛盾应该如何把握处理呢?


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