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广西桂林市第十八中学高三上学期第一次月考——数学理数学(理)

广西桂林市第十八中学高三上学期第一次月考——数学理数学(理)

广西桂林市第十八中学

2017 届高三上学期第一次月考

数学(理)试题

注意:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间:120 分 钟. 答卷前,考生务必将条形码、姓名和考号张贴和填写答题卷指定的位置.
2、选择题答案用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案;不能答在试题卷上.
3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答,答案必须写在答题卷各题目指定 区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再 写上新的答案.

第Ⅰ卷
一、 选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
? ? 1.已知全集,集合 A ? x | x2 ? 2x ? 0 , B ? ?x | y ? lg(x ?1)? 则集合

A.

B.

C.

D.

2.已知复数满足,则复数在复平面上对应的点在

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

3.已知函数若,则实数

D. 第四象限

A.

B.

C.

D.

4.设等比数列的前项和为,则“且”是“数列单调递增”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2

5.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是

A.

B.

C.

D.

6.设点是双曲线

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0) 的右焦点,点

2 正视图
2

侧视图

到渐

2

俯视图

近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为,则

双曲线的

渐近线方程为

A.

B.

C.

D.

7.如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成

绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,…,A14.图(2)的程序框图给出了茎叶图中成绩在一定范围内的考试次数.执行该程序框 图,则输出的结果是

A.

B.

C.

D. 8.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4
个红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,4 个红包中有两个 2 元,两个 3 元(红包中金 额相同视为相同的红包),则甲乙两人都抢到红包的情况有

A. 9 种 C.24 种

B.18 种 D. 36 种

9.将函数

y

?

sin

? ??

x

?

? 2

? ??

cos

? ??

x

?

? 2

? ??

的图象向右平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则



取值不可能是

A.

B.

C.

D.

10.已知数列满足

a1

?1, an

?

an?1

?

(1)n (n? N*) 4

,设

Sn

?

a1

?

4a2

?

42

a3

?

? 4n?1an ,则

A.

B.

C.

D.

11.已知点是抛物线上不同的两点,为抛物线的焦点,且满足,弦的中点到直线:的距离记为,若,

则的最小值为

A.

B.

C.

D.

?1

12.已知函数

f

?x?

?

? ?

2

x2 ?1, x ? 0
,若函数有且只有两个零点,则实数的取值范围为

??? ln ?1? x?, x ? 0

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第题为必考题,每个试题考生都必须作答.第题为选考题,考生 根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.

?x ? 5 ? 0,

13.若满足约束条件

? ?

x

?

y

?

4

?

0,

则的最小值为



??2x ? y ? 5 ? 0,

14.的展开式中常数项为

. (结果用数字表示)

15.若曲线在点处的切线的斜率为,则直线与曲线所围成的封闭图形的面

积为



16. 若实数a,b 分别满足a3 ? 3a2 ? 5a?1 ? 0,b3 ? 3b2 ? 5b ? 5 ? 0, 则a ? b ?



三、 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
的内角的对边分别为,已知.

P

N (Ⅰ)求;

(Ⅱ)若,的面积为,求.

A

B

D

M

C

18.(本小题满分 12 分) 在研究塞卡病毒(Zika virus)某种疫苗的过程中,为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现 Z 症 状的情况,做接种试验.试验设计每天接种一次,连续接种 3 天为一个接种周期.已知小白鼠接种 后当天出现 Z 症状的概率为假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关. (Ⅰ)若出现 Z 症状即停止试验,求试验至多持续一个接种周期的概率; (Ⅱ)若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状,则这个接种周期结束后终止试验,试验至 多持续 3 个周期.设接种试验持续的接种周期数为,求的分布列及数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥中,平面,, 四边形是边长为 2 的菱形,, 分别为和的中点.. (Ⅰ)证明:平面平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值.
20.(本小题满分 12 分) 已知两点,动点满足 | OF1 ? OP | ? | OF2 ? OP |? 4. (Ⅰ)求动点的轨迹的方程; (Ⅱ)设曲线上的两点在轴上方,且若以为直径的圆恒过点求直线的方程.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)若在上存在极值,求实数的取值范围; (Ⅱ)证明:当时, (x ?1)(x ? e?x ) f (x) ? 2(1? 1). e
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂

C

黑. 如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何
如图,已知是的弦,是上一点. (Ⅰ)若,,,求圆的半径; (Ⅱ)点在上,且,线段交于. 证明:.

O

D A
E

PB

证明选讲

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,曲线的参数方程为

?? x ?

?

3

3 cos?
(为参数),以原点为极点,轴的正半轴

?? y ? 3 sin?

为极轴,建立极坐标系,已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为.

(Ⅰ)求点到直线的距离;

(Ⅱ)设点在曲线上,求点到直线的距离的最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数. (Ⅰ)当时,求不等式的解集; (Ⅱ)当时,,求实数的最小值.

参考答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C C B D B C B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 14.

15.

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.

17.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得 2sin C cos B ? 2sin A ? 3 sin B

11 12 DC
2分

即: 2sin C cos B ? 2sin(C ? B) ? 3 sin B

3分

?2sin C cos B ? 2sin C cos B ? 2 cos C sin B ? 3 sin B ? cos C ? 3 2

0?C ??, ?C ? ? .

6分

6

(Ⅱ)由的面积为,得 1 ab sin C ? 3 ? 1 ? 2? b? 1 ? 3 ? b ? 2 3

2

2

2

...........................................................................................................9 分

由余弦定理得:c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (2 3)2 ? 22 ? 2? 2 3 ? 2? 3 2

?c?2

12分

18.【解析】(Ⅰ)试验至多持续一个接种周期的概

P1 =

1 4

?

3 4

?

1 4

?

3 4

?

3 4

?

1 4

?

1 4

?

3 16

?

9 64

?

37 64

...........................................................................................................5 分

(Ⅱ)随机变量设事件为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次症状”,则

P(?

? 1)

?

P(C)

?

C32

(

1 4

)2

?

3 4

?

C33

(

1 4

)3

?

5 32

,

P(? ? 2) ? [1 ? P(C)]? P(C) ? (1 ? 5 ) ? 5 ? 135 , 32 32 1024

P(? ? 3) ? [1 ? P(C)]?[1 ? P(C)]?1 ? 729 , 9分 1024

所以的分布列为:

1

2

3

...........................................................................................................10 分

的数学期望 E? ?1? 5 ? 2? 135 ? 3? 729 ? 2617 . 32 1024 1024 1024
19.【解析】(Ⅰ)连结,∵四边形是菱形,∴,

12分

又∵,∴是等边三角形,∵是中点, ∴,

∵平

面,平面,

∴,在平面中



平面



平面平面;

(Ⅱ)设

交于点,过作,

以点为坐标原点,分别以

所在直线为轴,轴,轴,如图所示,

建立空间直角坐标系:∵四边形

是边长为的菱形,得

, ,,于是

…6 分

( A (- 1,0,0),B 0,- 3,0),D (0, 3,0),P (- 1,0, 6)

∵是的中点, ∴,∵平面, ∴平面的一个法向量为设平面的法向量

∵ AN = (1 ,2

3 , 6 ), AD = (1, 22

3,

0)

,由

ì??í???

n2 n2

AN AD

= =

0 0

得 ì????í?????

1 2 x1 x1 +

3 2 y1 + 3y1 = 0

6 2 z1 = 0 ,

令,得,,∴,∴ cos

n1, n2

=

n1 ×n2 n1 n2

=

3 3

20.【解析】(Ⅰ)设,则 OF1 ? OP ? (x ? 3, y),OF2 ? OP ? (x ? 3, y).

| OF1 ? OP | ? | OF2 ? OP |? 4 ? (x ? 3)2 ? y2 ? (x ? 3)2 ? y2 ? 4 由椭圆的定义知:动点的轨迹的方程为 .......................................4 分 (Ⅱ)设直线 F1M : x ? my ? 3,且与曲线C的另一个交点为N ?, 5 分

设M (x1, y1), N?(x2, y2 ),由F1M // F2N及椭圆的对称性知:N (?x2, ?y2 ) 6 分

??x ? my ?

? ??

x

2

?

4y2

3 ?4

?

(m2

?

4)

y2

?

2

3my ?1 ? 0, ? ? 16(m2 ?1) ? 0,

?

y1

?

y2

?

2 m2

3m ?4

,

y1 y2

?

?

1 m2 ?

4

,

y1

?

y2

?|

y1

?

y2

|?

4 m2 ?1 m2 ? 4

7分 8分

设R(0, 2), RM ? (my1 ? 3, y1 ? 2), RN ? (?my2 ? 3, ? y2 ? 2), ? RM RN ? (my1 ? 3)(?my2 ? 3) ? ( y1 ? 2)(? y2 ? 2)
? ?(m2 ? 1) y1 y2 ? 3m( y1 ? y2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ?1 ? 0 10分

?m2 ? 1 ? 6m2 ? 8 m2 ? 1 ? m2 ? 4 ? 0 ? m ? ? 4 10 ? 2 , 4

11分

?直线F1M的方程是x ? ?

4 10 ? 2 y ? 4

3.

12分

21.【解析】(Ⅰ)的定义域为. ···············································1 分 所以当时,当时,

所以在上单调递增,在

单调递减,

则 是函数的极大值

点. ···············································································

又在上存在极值,则

m ?1 ? m ?1 ?0 ?m ?1.

故实数的取值范围是. ····················································5 分

(Ⅱ)证明: (x

? 1)( x

?

e?x )

f

(x)

?

2(1 ?

1) e

?

1? e ?1

(x

? 1)(ln x

x

? 1)

?

2ex?1

xex

. ?1

················································································6 分

令 g(x) ? (x ?1)(ln x ?1) ,则g?(x) ? x ? ln x .

x

x2

令?(x) ? x ? ln x,则??(x) ?1? 1 ? x ?1,当x ? 0时,??(x) ? 0,??(x)在(1, ??)上单调递增 xx

所以?(x) ? ?(1) ?1 ? 0,? g?(x) ? 0.? g(x)在(1, ??)上单调递增

所以当时, g(x) ? g(1) ? 2,故 g(x) ? 2 . ························9 分 e?1 e?1



h(x)

?

2e xex

x ?1
?1

,

则h?(

x)

?

2ex?1(1 ? ex ) (xex ?1)2 .

x ?1,?1? ex ? 0,?h?(x) ? 0,则h(x)在(1, ??)上单调递减.

所以, ·······································································11 分

故即 (x ?1)(x ? ex ) f (x) ? 2(1? 1). ····································12 分 e
22. 证明:(Ⅰ)连接OA,设OA=r, 取AB中点F,连接OF,则OF⊥AB,

AB ? 6 2, PA ? 4 2,? AF ? 3 2

? PB ? 2 2, FP ? 2 . ………………………2分
又中,
OF 2 ? OP2 ? FP2 ? 9 ? 2 ? 7, ……………………4分

中, r2 ? OA2 ? AF 2 ? OF 2 ? (3 2)2 ? 7 ? 25,
………………………………6分
(Ⅱ) CA ? CB??CAD ? ?B 又 ?B ? ?E??CAD ? ?E ……………………………………………………………8分
∠ACE为公共角, ∽ …………………………………………………………………10分

23.

解:(Ⅰ)点的直角坐标为

???2

cos

? ??

?

? 3

? ??

,

2

sin

? ??

?

? 3

?? ????

,即

………2分

? ? 由直线l,得 1 ? cos? ? 3 sin? ? 6 . 2

则l的直角坐标方程为: …………………………………………4分

点P到l的距离 ………………………………………………………5分

(Ⅱ)可以判断,直线l与曲线C无公共点,

设 Q(3 3 cos? , 3 sin? ) ………………………………………………………………6分
则点Q到直线的距离为

d?

3

3 cos? ? 3sin? ?12

?

6

cos

????

?

? 6

? ??

?12

2

2

…………………………………8分

所以当时, ………………………………………………10分

24. 解:当 a=时,不等式化为:

(Ⅰ)当x≤-1时, ,得,

所以. ……………………………………………………………………………2分

当时,,得,

所以成立. ……………………………………………………………………4分

当时, ,得≤0, 所以成立.

综上,原不等式的解集为 …………………………………………………6分

(Ⅱ)∵ x ? a ? x ?1 ? (x ? a) ? (x ?1)

∴ 的最大值为 …………………………………………8分 由题意知:≤2a 解得:a≥
所以实数 a 的最小值为 ……………………………………………………………10 分


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