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拉普拉斯方程课件_图文

拉普拉斯方程课件_图文

2.3 拉普拉斯方程和分离变量法
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中,静电场是由带电导体决定的. 例如:① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。
② 电子光学系统的静电透镜内部,电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。
这些问题的特点是: 自由电荷只出现在一些导体的表面上,在空间
中没有其他自由电荷分布。

如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界, 则V 内部自由电荷密度ρ=0,电势所满足的泊松方程化 为比较简单的情形:
?2? ? 0 拉普拉斯方程。
注意:求解区域内ρ=0,产生电场的电荷全部分布 于V 的边界上,他们的作用通过边界条件反映出来。所 以,这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的 解。

二、分离变量法
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐 标相互分离,即将场量分解为单一坐标函数的乘积 的形式,求出通解。然后再根据给定的边界条件求 出实际问题的特解。
不同坐标系中拉氏方程的通解不同。

拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式

1、直角坐标

?2? ? ?2? ? ?2? ? ?2? ? 0
?x2 ?y 2 ?z 2

=0 (1)若 ? ? ?(x, y) ?2? ? ?2? ? ?2? ? ?2? ? 0

d2X dx 2

? ?X

?0

?x 2

?y 2

?z 2

d 2Y ? ?Y ? 0
dy 2

?(x, y) ? (a ? bx)(c ? dy)

?
? ? (amemx ? bme?mx )(cm cosmy ? dm sin my) m?1

(2)若 ? ? ?(x),与 y, z 无关。

d 2? ? 0
dx 2

? ? Ax ? B

2. 球坐标中的通解:

? ? ( R,?

,?)

?

n,m

(anm R n

?

bnm R n?1

)Pnm

(cos?

) cos

m?

? ?

n,m

(cnm R n

?

dnm R n ?1

)Pnm (cos?

) sin

m?

anm, bnm, cnm, dnm为积分常数,在具体问题中由边界条件确 定。

?若问题具有轴对称性,电势不依赖于Φ ,通解为

? ? ?

n

(an Rn

?

bn R n ?1

)Pn

(cos

?

)

其中 Pn (cos? ) -----为勒让德函数

P0?cos? ? ? 1,

P1?cos? ? ? cos?,

P2 ?cos?

?

?

1 2

(3 cos 2

?

?1)

P3 ?cos ?

?

?

1 2

(5 cos 2

?

?

3 cos ?

)

?若问题具有球对称性

? ?a? b
R

3. 平面极坐标系(二维问题):
?二维问题的解:
? ? ( A0 ? B0 ln r)(C0 ? D0? )
? ? ( Anrn ? Bnr?n )(Cn cos n? ? Dn sin n? )
n
?若二维问题又具有轴对称性,则电势与θ 无关



?

?

? (r )



1 r

? ?r

(r

??
?r

)

?

0

? ? A ? B ln r

三. 分离变量法的解题步骤:
① 根据界面的形状选择适当坐标系。 ② 建立坐标系,写出场量所满足的方程,写出通解。
③ 写出边界条件和衔接条件(即:不同区域分界面上 的边值关系)。 ④ 根据定解条件,求出通解中的积分常数。
⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式,得到实际 问题的解。
关键步骤: ① 充分利用对称性,写出简单的通解。 ② 正确写出边界条件,不能有遗漏。

四.应用举例

1、两无限大平行导体板,相距为 l ,两板间电势 差为V (与 x?, y, z无关),一板接地,求两板间的
电势? 和 E 。

解:(1)边界为平面,故

Z

应选直角坐标系

V

下板 ? ? 0,设为参考点

S1

(2)定性分析:因在 z ? l l

O

y

? ? V (常数),可考虑

? 与 x, y 无关。

x

(3) 列出方程并给出解:

?2? ? 0

d 2?
d z2 ? 0

方程的解: ? ? Az ? B (0 ? z ? l)

(4) 定常数: ?(z ? 0) ? 0 B ? 0

?(z ? l) ? V Al ? V A ? V
l

电势:? ? V z (0 ? z ? l)
l

(5)

? E

?

???

?

? d?
dz

? ez

?

?V l

? ez

E ? V ? 常数 l

例 2 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带 电荷Q,同心地包围一个半径为R1的导体球(R1 <R2)。使这个导体球接地,求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。

解:以球心为原点建立球坐标系,导体壳外和壳内

的电势均满足方程 ?2? ? 0 ,问题具有球对称

性,电势 ? 不依赖于角度θ和φ。设导体壳外

和壳内的电势分别为

?1

?

a

?

b, R

(R

?

R3 )

?2

?

c

?

d, R

(R2

?

R

?

R1 )

边界条件为:

(1)内导体接地 ?2 R?R1 ? ?1 R?? ? 0 (2)整个导体球壳为等势体 ?2 R?R2 ? ? 1 R?R3
(3)球壳带总电荷Q,因而

? ? ? ??1 dS ? ??2 dS ? Q

R?R3 ?R

R?R2 ?R

?0

由这些边界条件得 a ? 0,b ? Q ? Q1 ,

c ? ? Q1 ,d ? Q1

4??0 4??0

4? ?0 R1

4? ?0

其中

Q1

?

R1?1

R3?1 ? R2?1

?

R3?1

Q

利用这些值,得电势的解

?1

?

Q ? Q1 ,
4? ?0 R

(R

?

R3 )

?2

?

Q1
4? ?0

????

1 R

?

1 R1

????,

(R2

?

R

?

R1 )

导体球上的感应电荷为

? ? ?0 R ? R1

??2
?R

dS

?

Q1

3.如图所示的导体球(带电Q)和不带电荷的导体球壳,用分 离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。

解:(1)边界为球形,选球坐标系,

电荷分布在有限区,选 ? ? 0 r ??
(2)设球壳内为I区,壳外为II区。

球壳内: ?2?1 ? 0
球壳外 ?2?2 ? 0

II

电荷在球上均匀分布,场有球对称

性,? 与 ? ,? 无关

???? 2

?

C

?

d R

?
????1

?

a

?

b R

(R ? R3 ) (R1 ? R ? R2 )

Q
R3
I O R1
R2

(3)确定常数

① R??

?1 2

?

?

0

?

C

?

0



R ? R1 ,

?? 0

??1
?R

??

?

2

?

d R

? Q ? ??0

S1

??1
?R

R ? R1

dS

?

?? 0

b R12

? 4? R12

b? Q
4?? 0

③ 导体壳为等势体

?2 S3 ? ?1 S2

d ?a? Q 1

R3

4??0 R2

? ? ④ 在导体壳上 Q ? S2 ?2dS ? S3 ?3dS ? 0

? n R? n

?2

?

?? 0

??1
?n

S2

?3

?

?? 0

??2
?n

S3

? ? ?

S2

?0

??1
?n

dS

?

S3

?0

??2
?n

dS

?

0

? ? ?0[

??1 dS ?
S2 ?R

??2 dS] ? 0
S3 ?R

dS

dS

? ? ?b

?d

?0

R S2 2

R S3 2

?b4? ? d 4? ? 0 ? d ? b ? Q 4??0

a? Q ( 1 ? 1 )

(4)

?21

?

Q
4?? 0 R

R3 ? R ? ?

4? ?0 R3 R2

?2 1

?

Q
4??0 R

?

Q
4? ?0

1 ( R3

?

1 )
R2

R1 ? R ? R2

(5)球壳上的感应电荷

? ? 壳外面

Q?

?

?

? S3 0

?? 2
?n

dS

?

Q
4?

1 dS ? Q S3 R 2

? ? 壳内面

Q??

?

?

? S2 0

??1
?n

dS

?

S2

??1
?R

dS

?

?Q

Q? ? Q?? ? 0 以上结果均与高斯定理求解一致。

例4:电容率为 ? 的介质球置于均匀外电场E0中,求电势。
解: 以介质球的球心为坐标原点,以E0方向为极轴建立 球坐标系。
设球的半径为R0, ,球外为真空。介质球的存在使空 间分为两均匀区域—球外区域和球内区域。两区域内 部都没有自由电荷,因此电势均满足拉普拉斯方程。

以 ?1 代表球外区域的电势,?2 代表球内的电势。
两区域的通解为:

? ?1 ?

n

(an R n

?

bn R n ?1

)Pn

(cos?

),

(R

?

R0 )

? ?2 ?

n

(cn R n

?

dn R n ?1

)Pn

(cos?

),

(R

?

R0

)

无穷远处,

?1 ? ?E0R cos? ? ?E0RP1(cos? ),

因而 a1 ? ?E0,an ? 0 (n ? 1)

R ? 0 处,?2 应为有限值,因此

dn ? 0

在介质球面上(R=R0),

?1 ? ?2 ,

?0

??1
?R

?

?

??2
?R

比较Pn的系b数1 ,?得??:??2??00 E0 R03,

c1

?

?
?

3? 0 ? 2? 0

E0

bn ? cn ? 0, (n ? 1)

所有常数已经定出,因此本问题的解为

?1

? ?E0R cos?

? ? ??0 ? ? 2?0

E0R03 cos?
R2

?2

?

?

?

3? 0 ? 2?0

E0R cos?

在球内总电场作用下,介质的极化强度为

? P内

?

?
? e? 0 E

?

(?

?

?0

? )E

?

? ??0 ? ? 2?0

?
3? 0 E0

介质球的总电偶极矩为

p?

?

4?
3

? R03 P

?

? ??0 ? ? 2?0

?
4? ?0 R03 E0

球外区域电势 ?1的第二项就是这个电偶极矩

所产生的电势
1 p?

?

? R

4??0 R3

?

? ??0 ? ? 2?0

E0 R03 R2

cos?

例5半径 a,带有均匀电荷分布? 的无限长圆柱导体,
求导体柱外空间的电势和电场。

解:电荷分布在无限远,电势零点可选在有限区,为简单可

选在导体面 r = a 处,即 (?(r ? a) ? 0) 选柱坐标系。

对称性分析:
① 导体为圆柱,柱上电荷均匀
分布,? 一定与 ? 无关。
② 柱外无电荷,电场线从面上 发出后,不会终止到面上,只
能上终电止场到只无沿穷e?r远方,向且,在可导认体为面?
与z无关,? ? ?(r)

y
r oθ
x z

?2? ? 0 ? 1 d (r d? ) ? 0 r d? ? C

r dr dr

dr

d? ? C dr
r

?(r) ? C ln r ? D 当 r = a 时,?(a) ? 0 D ? ?C ln a

?(r) ? ?C ln a ? C ln r ? C ln r

a

?

?

?? 0

d?
dn

r?a

?

?? 0

Ca r

1 a

r?a

?

? C?0
a

C ? ? a? ?0

? (r) ? ? a? ln r ?0 a

E ? ???

?

d?
dr er

?

a? ?0

er r

在导体面上
? ?? E(a) ? ?0 er

6*.均匀介质球(介电常数?为?1 )

的中心置一自由电偶极子 p f ,球
外充满另一种介质(介电常数
为荷分? 2布)。,求空间各点电势和束缚电

?2
?1 p
z

解:

(1)

?


1

?

的边界为球面,故选
2

球坐标系,电荷分布在有限区,选

R0

?r?? ?0

(2)设球内电势为

?

,球外电势为
1

?2 ,球外无自由电荷分布,

电势满足 ?2?2 ? 0 。但球内有自由偶极子,不满足拉普拉斯

方程,但满足泊松方程。考虑偶极子使介质极化,极化电荷分

布在偶极子附近和球面上。?偶极子? 在介质中产生的电势

?0

?

Pf ? R
4? ?R 3

??

所以 ?1 ? ?0 ? ?1?

?0

?

p f ?R
4? ?1 R 3

?1? 满足 ?2?1? ? 0 (R ? R0 )

还可设 ?2 ? ?0? ? ?2? 为简单令 ?0? ? ?0

? 考虑轴对称:?????1? ? ? ???? 2? ?

n n

(an R n

?

bn R n?1

)

Pn

(cos

?

)

(cn R n

?

dn R n?1

) Pn

(cos?

)

(3)确定常数 ?1 ? ?0 ? ?1? ? 2 ? ? 0 ? ? 2?



R→0,?
?

1?

有限
?

? bn

?0

? ?1

?

p f ?R
4? ?1 R 3

?

n

an R n Pn (cos? )

R→∞ ?2 ? 0 ? Cn ? 0

? ?2

?

p f ?R
4??1R3

?

n

dn R n ?1

Pn (cos? )

② 边值关系

??1
?

R0

? ?2

R0

? ?1? R0

? ? 2?

R0

???
?

1

??1
?R

R0

?

?

2

?? 2
?R

R0

并注意到 p f ? R ? p f R cos? ? p f R p1(cos? )

? ? n

an R0n Pn (cos? ) ?

n

dn R n ?1
0

Pn (cos?

)

?

p f cos? 2? R03

? ?1

?

nan

Rn?1 0

Pn

(cos?

)

? ? ? ?2 pf cos?
2??1R03

??2

n

(n

?

1)

dn Rn?2
0

Pn (cos? )

比较 Pn (cos? ) 的系数,得

n ?1

a1 ? d1 / R03

?

pf
2? R03

? ?1a1

?

?

?2 pf 2??1R03

??2

2d1 R03

d1

?

(?1 ? ? 2 ) p f 2??1(?1 ? 2? 2 )

a1

?

d1 R03

n ?1

??an

?

dn

/

R 2n?1 0

???n?

1an

R n?1 0

?

?? 2 (n

? 1)d n

/

R n?2 0

(4)电势解为

?
??1
? ?

?

?? p f ?R

4? ?1
?

R3 ?

??? 2
?

?

p f ?R
4? ?1 R 3

??

? (?1 ? ? 2 ) p f ?R

?

2? ? (? 1 (?1 ?

? 2? 2

?

2

)

? p

)1 R? 03 f ?R

2??(?1 ? 2? 2 )1 R3

?

?? 3 p f ?R
4? (?1 ? 2? 2 )R3

R ? R0 R ? R0

(5)球面上束缚(极化)电荷分布

n
?

?
P

(E2

?

E1)

?

?

P

?? ?0

? ? 0 (E2n ? E1n ) ?

f
??

0

(? f
?? 2
?R

? 0)

R?R0

?

?

0

??1
?R

R?R0

?P

?

6? 0 (?1 ? ? 2 ) p f 4??(?1 ? 2? 2 )1 R03

cos?


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