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2017-2018学年11月温州中学高三数学模拟考试(期中)

2017-2018学年11月温州中学高三数学模拟考试(期中)

绝密★考试结束前

2017-2018 学年 11 月温州中学高三数学模拟考试(期中)

数学试题卷
命题:徐进光、刘旭飞 校 稿:潘克亮

本试卷分第(Ⅰ)卷(选择题)和第(Ⅱ)卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式: 球的表面积公式: S ? 4πR 2 ,其中 R 表示球的半径; 球的体积公式: V ? πR3 ,其中 R 表示球的半径; 棱柱体积公式: V ? Sh ,其中 S 为棱柱的底面面积, h 为棱柱的高; 棱锥体积公式: V ?
4 3

1 Sh ,其中 S 为棱柱的底面面积, h 为棱柱的高; 3
1 3

台体的体积公式:V ? h S1 ? S1S2 ? S2 体的高. 第Ⅰ卷(选择题 注意事项: 共 40 分)

?

?

其中 S1 , S2 分别表示台体的上底、下底面积,h 表示台

1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|y=ln(2-x 2 )},N={x| A. ?1?
2

1 ? e x ?1 ? e 2 , x ? Z },则 M ? N ? () e
C. ??1,0,1? D. ?

B. ??1,0?
2

2.已知 z ? m ?1 ? (m ? 3m ? 2)i ( m ? R, i 为虚数单位) ,则“ m ? ?1 ”是“ z 为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
·1·

C.充分必要条件 3.下列函数中周期为 ? 且为奇函数的是 A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin( x ?

D.既不充分也不必要条件 ( )

?
2

) B. y ? cos( 2 x ?
D. y ? cos( x ?

?
2 )

)

?
2

)

?

2

4.如图 1,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别是 AB1 、

D1 A1 B1
E

BC1 的中点.下列结论中,正确的是
A. EF ? BB1 C. EF ? BD

(

)

C1

B. EF // 平面 ACC1 A1 D. EF ? 平面 BCC1 B1

5.P 为△ABC 部一点, 且满足 | PB |? 2 | PA |? 2 ,?APB ?

5? , A 6
图1

D B

F
C

??? ? ??? ? ??? ? ? 且 2PA ? 3PB ? 4 PC ? 0 ,则 ?ABC 的面积为(
A.

) D.

9 8

B.

4 3

C. 1

6 5
a2 ? 7 .若 x

6 .设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 9 x ?

f ( x ) ? a ? 1对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围是(
A. a ? 0 B. a ?

).

8 5

C . a ? ? 或a ?

8 7

8 5

D. a ? ?

8 7

7. 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠成一个四面体 ABCD , 当该四面体的体积最大时, 直线 AB 与

CD 所成的角为(
A. 90 0 B. 600

) C. 450 D. 300

8.在 ?ABC 中,已知 tan A ? ( A.1 )

1 3 , tan B ? ,且 ?ABC最大边的长为 17 ,则 ?ABC的最小边为 4 5
D.3
2

B. 5 C. 2

9.设实数 a 使得不等式 | 2 x ? a | ? | 3x ? 2a |? a 对任意实数 x 恒成立,则满足条件的 a 所组成的集 合是( )

A. [ ? , ]

1 1 3 3

B. [ ?

1 1 , ] 2 2

C. [ ?

1 1 , ] 4 3

D. [?3,3]

·2·

10 . 设 f ( x) , g ( x) 都 是 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 , 定 义 函 数 ( f ? g )(x) : 任意x ? R ,

?e x , x ? 0, ? x , x ? 0, , g ( x) ? ? ,则 ( f ? g )(x) ? f ( g ( x)) .若 f ( x) ? ? 2 ?ln x, x ? 0. ? x , x ? 0.
A. ( f ? f )(x) ? f ( x) C. ( g ? f )(x) ? g ( x) B. ( f ? g )(x) ? f ( x) D. ( g ? g )(x) ? g ( x)

(

)

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 注意事项: 1.黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题 7 小题,11-14 题每题 6 分,15-17 每题 4 分,共 36 分,把答案填在题中的横 线上. 11. 若正项等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 3 ,a3a5 ? 1 , 则公比 q ? ,an ? . 12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为,表面积是.

? x ? y ? ?1, ? 13 . 已 知 实 数 x , y 满 足 条 件 ? x ? y ? 4, 若 存 在 实 数 a 使 得 函 数 ? x ? 2 y ? 0, ?
z ? ax ? y(a ? 0) 取到最大值 z (a) 的解有无数个,则 a ? , z (a) =.
14.一个口袋里装有大小相同的 6 个小球,其中红色、黄色、绿色的球各 2 个,现从中任意取出 3 个小球,其中恰有 2 个小球同颜色的概率是.若取到红球得 1 分,取到黄球得 2 分,取到绿球得 3 分,记变量 ? 为取出的三个小球得分之和,则 ? 的期望为.
0 15 . 在 ?ABC 中 , C A? 2 , C B? 6 ,? A C B . 若 点 O 在 ?ACB 的 角 平 分 线 上 , 满 足 ?6 0
? ? ?
? 1 1 ? n ? ? ,则 OC 的取值范围是. 4 20

OC ? mOA? nOB, m, n ? R ,且 ?
2

16.已知 F 为抛物线 y ? x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OAOB ? 2 (其中 O 为坐标原点) ,则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是.

·3·

17. 已知双曲线 C1 :

x2 y2 抛物线 C2 : y 2 ? 2 px? p ? 0? ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

的焦点与双曲线 C1 的一个焦点重合,C1与C2 在第一象限相交于点 P,且 F1F2 ? PF2 ,则双曲 线的离心率为.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ?

3 sin 2 x ? cos2 x ? m , 2

(1)求函数 f ?x ? 的最小正周期与单调递增区间; (2)若 x ? ?

? 5? 3? ? , ? 时,函数 f ?x ? 的最大值为 0,求实数 m 的值. ? 24 4 ?

19. (本小题满分 15 分)

D , 在 四 棱 锥 P? A B C 中

AD // BC ,

P M
C

?ABC ? ?APB ? 90? ,点 M 是线段 AB 上的一点,
且 PM ? CD , AB ? BC ? 2 PB ? 2 AD ? 4 BM . (1)证明:面 PAB ? 面 ABCD ; (2)求直线 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值.

A D

B

·4·

20. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b , (a, b ? R ) 3

(1)当 a ? 3 时, 若 f ?x ? 有 3 个零点, 求 b 的取值范围; (2)对任意 a ?[ ,1] , 当 x ? ?a ? 1, a ? m? 时恒有 ? a ? f ??x ? ? a , 求 m 的最大值, 并求此时

4 5

f ?x ? 的最大值。

21. (本小题满分 15 分) 已知椭圆的焦点坐标为 F1 (-1,0),F2 (1,0),过 F2 垂 直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两点,且|PQ|=3, (1) 求椭圆的方程; (2) 过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N, 则△ F 1 MN 的内切圆的面积是否存在最大值?若 存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 15 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 S n ? 2an ? (1)求证 {an ?

3 , n? N* . n 2

1 } 为等比数列,并求出数列 {an } 的通项公式; 2n

( 2 ) 设 数 列 {

1 } 的 前 n 项 和 为 Tn , 是 否 存 在 正 整 数 ? , 对 任 意 Sn
·5·

若存在, 求出 ? 的最小值, 若不存在, 请说明理由。 m, n ? N * , 不等式Tm -?Sn ? 0恒成立?

·6·

数学试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1-5 BCBBA 6-10 DBCAA 1.B 2.C 3. B 【解析】 B. 根据函数的周期为 ? 可知选项 C,D 错误, 又因为选项 A 中 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? cos 2 x 2?

为偶函数,而选项 B 中 y ? cos? 2 x ?

? ?

??

? ? ? sin 2 x 为奇函数,所以选 B. 2?

4. B 【解析】 试题分析: 如图, 取 BB1 的中点 M , 连接 ME , MF ,

D1 A1 C1 B1
E D A B F
C

延长 ME 交 AA1 于 P ,延长 MF 交 CC1 于 Q ,∵ E 、 F 分别

是 AB1 、 BC1 的中点,∴ P 是 AA1 的中点, Q 是 CC1 中点, 从而可得 E 是 MP 中点, F 是 MQ 中点,所以 EF // PQ , 又 PQ ? 平面 ACC1 A1 ,EF ? 平面 ACC1 A1 , 所以 PQ // 平 面 ACC1 A1 ,选 B.
5.A. 【 解 析 】 如 图 所 示 , 作 PD ? 2 PA , PE ? 3PB ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? PF ? 4 PC ,∴ PD ? PE ? PF ? 0 ,∴ P 为 ?DEF 重心,
∴ S?PDE ? S?PEF ? S?PDF ,∴ S?PAC ? ? 同 理

S ?P
B ?

A

?

1 BS ? 6
C

, P

1 1 1 S? S P D F ? P D ? F 2 4 8 1 S ?PBC S ?PEF , D E ? 12

, ∴

S?P : A
?APB ?

S

: P S? B ?

| 2 |P A ?| , 2 4 , : 2∵ C|: P B 3? P 又A

5? 1 5? 1 4?2?3 9 ? ,∴ S ?ABC ? S ?PAB ? ? ,故选 A. ,∴ S ?PAB ? ? 2 ?1 ? sin 6 2 6 2 4 8

·7·

6 . D 因 为 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 0; 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?9 x ?

a2 a2 a2 ? 7] ? 9 x ? ? 7 , ? 7 ? a ? 1 对一切 x ? 0 因此 0 ? a ? 1 且 9 x ? ?x x x

成立所以 a ? ?1 且 2 9 x ?

a2 8 8 ? 7 ? a ? 1 ? ?6a ? 7 ? a ? 1 ? a ? ? ,即 a ? ? . 7 x 7

7.B 【解析】法一:取 BD, AC , BC 的中点,分别为 O, M , N ,则 ON , MN 所成的角即为所求的 角 。 当 该 四 面 体 的 体 积 最 大 时 , 即 面 ABD 垂 直 于 面 B C D。 设 正 方 形 边 长 为 2 , 则

O M ? M N ? O N?1 ,所以直线 AB 与 CD 所成的角为 60 。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 法二: AB ? CD ? AB ? ( BD ? BC ) ? ? 2 1 3 ? tan A ? tan B a t 8. C 【解析】 在 ?ABC 中, 即n tan? A ? B ? ? ? 4 5 ?1, 1 ? tan A tan B 1 ? 1 ? 3 4 5
所以 c ? 17 ,因为 tan B ? tan A ,则角 A 所对的边最小。由 tan A ?

0

? C ? ?1 , 所以 C ? 135 ,

1 17 可知 sin A ? ,由正 4 17

弦定理

a c c 17 17 ? ,得 a ? sin A ? ? ? ? 2。 sin A sin C sin C 17 2 2

9. A【解析】令 x ?

1 2 a ,则有 | a |? ,排除 B、D。由对称性排除 C,从而只有 A 正确。 3 3 3 4 1 ka ,则原不等式为 | a | ? | k ? 1 | ? | a | ? | k ? |?| a |2 ,由此易知原不等 2 2 3

一般地,对 k∈R,令 x ?

4 ?5 k? ?2 k ? 3 3 ? 3 4 3 4 1 ? 式等价于 | a |?| k ? 1 | ? | k ? | , 对任意的 k∈R 成立。 由于 | k ? 1 | ? | k ? |? ?1 ? k 1 ? k ? 4 , 2 3 2 3 ? 2 3 ?3 ? 5 k k ?1 ? 2 ?
所以 min{| k ? 1 | ?
k?R

3 4 1 1 | k ? |} ? ,从而上述不等式等价于 | a |? 。 2 3 3 3
·8·

10.A 试题分析:从 A 开始判断, ( f ? f )( x) ? f ( f ( x)) ? ?

? f ( x), f ( x) ? 0
2 ? f ( x), f ( x) ? 0

,当 x ? 0 时,

f ( x) ? x ? 0 , ( f ? f )( x) ? f ( x) ? x ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 0 , ( f ? f )( x) ? f ( x) ? x2 ,当

x ? 0 时 ( f ? f )( x) ? f 2 ( x) ? 0 ? 02 ,因此对任意的 x ? R ,有 ( f ? f )( x) ? f ( x) ,A 正确下面的
B、C、D 不再考虑了,选 A
二、填空题:本大题 7 小题,11-14 题每题 6 分, 15-17 每题 4 分,共 36 分. 11.
2? 2 ,2 2 2 n

2 试题分析: 因为 a3a5 ? a4 所以 a4 ? 1 , 因为 a2 ? a4 ? 3 , 所以 a2 ? 2 , 因为 q 2 ? a4 ? 0 , ? 1,

a4 1 ? , a2 2

? 2? 2 n?2 ,所以 an ? a2 q ? 2?? q ? 0 ,所以 q ? ? 2 ? ? 2 ? ?
案应填:
2? 2 ,2 2 . 2 n

n?2

?2

2?

n 2

,所以答

12.5,14+ 19 . 试题分析:由三视图可知该几何体为长方体截去两个三棱锥后剩下的部 分,如图.根据三视图可知,长方体的长、宽、高分别为 2,1,3,所 以 几 何 体 的 体 积

1 1 V ? 2 ? 1? 3 ? 2 ? ? ?1?1? 3 ? 6 ? 1 ? 5 3 2









S ?2

1 ?3 ? 2

2 ?

3?

2 ?

1 1 9 1? 2 ? 3? 1? 2 2

? 2

1

?. 2

?

2 ?= 1 ? 4

? 1 9

13. ? 1 ;1 14. 0.6 15. ? 6

? 3 3 3? , ?. 4 ? ? 4

试题分析:如下图,以 C 为坐标原点, CB 所在直线作 x 轴建立平面直角坐标系.
·9·

则可知 B(6,0), A(1, 3) , 直线 CO : y ?

? ? ? 3 3 C ?mO A nO ?B 由O x ,可设 ( x, x) ,其中 x ? 0 , 3 3

得, (? x, ?

3 3 3 x) ? m(1 ? x, 3 ? x) ? n(6 ? x, ? x) , 3 3 3

( 1 ? x) ? n( 6 ? x ) ?? x ? m x 1 1 ? 所以 ? 3 3 3 , 所 以 n ? 4 x ? 9 . 由 ? 4 ? n ? ? 20 可 得 : x ?m ( 3 ? x) ? n( ? x) ?? 3 3 ? 3
?
? 1 x 1 3 9 1 2 3 3 3 3 ? ? ? ,即 ? x ? ,所以 OC ? 1 ? x ? x ?[ , ]. 4 4x ? 9 20 8 8 3 3 4 4

16.

2 4
2

17. e ? 2 ? 3 【解析】设点 P?x0 , y0 ? , F ?c,0? ,过点 P 做抛物线 C2 : y ? 2 px? p ? 0? 准线的垂 线,垂足为 A,连接 PF2 。根据双曲线的定义和 F 1F2 ? PF 1 ? 2c ,可知 PF 2 ? 2c ? 2a 。由抛物 线的定义可知 PA ? x0 ? c ? 2c ? 2a ,则 x0 ? c ? 2a 。在 Rt?F1 AP 中,

F1 A ? ?2c ? ? ?2c ? 2a ? ? 8ac ? 4a 2 ,即
2 2 2

y0 ? 8ac ? 4a2 ,由题意可知

2

p 2 ? c ,所以 y0 ? 2 px0 ? 4c?c ? 2a? ,所以 8ac ? 4a 2 ? 4c?c ? 2a ? , 2

2 2 2 化简可得 c ? 4ac ? a ? 0 ,即 e ? 4e ? 1 ? 0?e ? 1? ,解得 e ? 2 ? 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.
·10·

18. (1) T ? ? ,单调递增区间为 ?? ? k? , ? k? ? , k ? Z ; (2 ) m ? . 2 3 ? 6 ? 【解析】 试题分析: (1)化简 ( ,求出 ( 在最小正周期,解不等式,求出函数的递增区间即可; (2) f x) f x) 根据 x 的范围,求出 2 x ? 试题解析: (1) f ?x ? ?

? ?

?

?

1

?
6

的范围,得到关于 m 的方程,解出即可.

3 3 1 ? cos2 x ?? 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? m ? sin 2 x ? ? m ? sin? 2 x ? ? ? m ? 2 2 2 6? 2 ?
……5 分

则函数 f ?x ? 的最小正周期 T ? ? , 根据 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,得 ?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? , k ? Z ,
……7 分

所以函数的单调递增区间为 ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z . 3 ? 6 ?

(2)因为 x ? ? 则当 2 x ?

3 ? ? ?? 4 ? ?5 ? , ? ? ,所以 2 x ? ? ? , ? ? , 6 ?4 3 ? ? 24 4 ?
?

……9 分

?

?

6 2 3 1 1 即 1 ? m ? ? 0 ,解得: m ? . 2 2

,x ?

?

时,函数取得最大值 0,

……11 分 ……14 分

考点:三角函数中的恒等变换;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 19.本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识.同时考查空间想象能力和运算求 解能力.满分 15 分. 【解析】 (1)由 AB ? 2 PB ? 4 BM ,得 PM ? AB , 又因为 PM ? CD ,且 AB ? CD ,所以 PM ? 面 ABCD ,……5 分 且 PM ? 面 PAB .所以,面 PAB ? 面 ABCD 。……7 分 (2)过点 M 作 MH ? CD ,连结 HP , 因为 PM ? CD ,且 PM ? MH ? M , 所以 CD ? 平面 PMH ,又由 CD ? 平面 PCD , 所以平面 PMH ? 平面 PCD ,平面 PMH ? 平面
D ·11· A
N

P

M

B

H

C

PCD ? PH , 过点 M 作 MN ? PH , 即有 MN ? 平面 PCD , 所以 ?MCN 为直线 CM 与平面 PCD
所成角.……10 分 在 四 棱 锥 P? ABCD 中 , 设 AB ? 2t , 则 CM ?

15 3 7 5 t , PM ? t , MH ? t , 2 10 2

∴ PH ?

4 5 7 3 t , MN ? t 5 16 7 5 MN 7 5 ,即直线 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .……15 分 ? 40 CM 40

从而 sin ?MCN ?

20. f ??x ? ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ------------------------2 分
(1) a ? 3 ,

f ??x ? ? ??x ? 3??x ? 9? , f ?x ? 极小值 ? f (3) ? ?36 ? b , f ?x ? 极大值 ? f (9) ? b

由题意:

?b ? 0 ? 0 ? b ? 36 ----------------6 分 ? ?? 36 ? b ? 0
?4 ? ? ?

(2) a ? ? ,1? 时,有 2a ? a ? 1 ? 2 , 由 5

f ?? x ? 图示, f ?? x ? 在 ?a ? 1, a ? m?上为减函数

? f ??a ? m? ? f ??a ? 1? 易知 f ??a ? 1? ? 2a ?1 ? a 必成立;--------8 分
只须

f ??a ? m? ? ?a
可得 ?



1 2m ? 1 ? a m2

?4 ? a ? ? ,1? ?5 ?

2 ? m ? 2 ------------------------10 分 5

又 m ? 1 ?1 ? m ? 2 m 最大值为 2------------------------12 分 此时 x ?

?a ? 1, a ? 2? ,

有 2a ? a ? 1 ? 3a ? a ? 2

? f ?x ? 在 ?a ? 1,3a ?内单调递增,在 ?3a, a ? 2?内单调递减,
? f ?x?max ? f ?3a? ? b ----------------------------------------15 分
21. (1)设椭圆方程为

x2 y 2 2b 2 ? =1 ( a>b>0 ) , 由焦点坐标可得 c=1 ……… 1 由 PQ|=3 ,可得 =3, a 2 b2 a x2 y 2 ? =1…………………6 分 4 3
·12·

解得 a=2,b= 3 ,故椭圆方程为

(2)设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,不妨 y1 >0, y2 <0,设△ F1 MN 的内切圆的径 R,

1 (MN+ F1 M+ F 1 N)R=4R 2 1 因此 S? F1MN 最大,R 就最大, S AMN ? F1 F2 ( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 , 2
则△ F1 MN 的周长=4a=8, S? F1MN ? 由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,

…………………8 分

? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得 (3m2 ? 4) y 2 +6my-9=0, ?1 ? ? 3 ?4
得 y1 ?

?3m ? 6 m2 ? 1 ?3m ? 6 m2 ? 1 , , y ? 2 3m2 ? 4 3m2 ? 4

…………………10 分

则 S? AMN ?

12 m 2 ? 1 1 2 AB( y1 ? y2 )= y1 ? y2 = ,令 t= m ? 1 ,则 t≥1,…………………12 分 2 3m 2 ? 4

则 S? AMN

12 m2 ? 1 12t 12 1 ? ? 2 ? ,令 f(t)=3t+ ,当 t≥1 时, f(t)在[1,+∞)上单调递 2 t 3m ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t

12 12 3 =3,即当 t=1,m=0 时, S? AMN ≤ =3, S? AMN =4R,∴ Rmax = , 3 3 4 9 这时所求内切圆面积的最大值为 π . 16 9 故直线 l:x=1,△AMN 内切圆面积的最大值为 π …………………15 分 16 3 3 n ? 2) , ………2 分 22.1.证明? S n ? 2an ? n , ? S n ?1 ? 2an ?1 ? n ?( 2 2 1 3 1 1 2 an ?1 ? n ) (n ? 2) 作差得 an ? 2an ?1 ? n (n ? 2), 变形得an - n ? ( 2 2 2 1 ………4 分 ? {an ? n } 为首项为 1,公比为 2 等比数列 2 1 ? an ? 2n-1 + n ,n ? N * ………6 分 2 1 3 1 n-1 * n 2? an ? 2 + n ,n ? N 代入 S n ? 2an ? n , 得 S n ? 2 ? n , ………8 分 2 2 2
增,有 f(t)≥f(1)=4, S? AMN ≤

? Sn -Sn -1 ? 2n ?

1 1 1 1 2n n ?1 n ?1 ( 2 ? ) =2 + ? 0, ? { S } 为递增数列,令 b = = n n 2n 2n ?1 2n Sn 22n ? 1

·13·

? bn =

2n 2n = ………10 分 22n ? 1 (2n -1 )(2n +1 )

2n 2n-1 1 1 ? bn ? n ? ? n-1 ? n (n ? 2) n n n-1 (2 -1 )(2 ? 2)(2 -1 )(2 ? 1 ) 2 -1 2 -1

2 2 4 14 当n ? 1时,T1 =b1 = ,当n ? 2时,T2 =b1 +b 2 = + = 3 3 15 15 2 4 1 1 1 1 当n ? 3时,Tn =b1 +b 2 +? +b n ? + + ? + - +? ,………13 分 3 15 3 7 7 15 19 1 19 = - n ? 15 2 ? 1 15
19 T 38 ? m ? 15 ? ? 1,? 存在?min =1 3 Sn 45 2
?











? =1









m, n ? N * , 不等式Tm -?Sn ? 0恒成立 ………15 分
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