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2016年全国普通高考重庆适应性测试(第三次)数学(理科)试题有答案

2016年全国普通高考重庆适应性测试(第三次)数学(理科)试题有答案

全国普通高考适应性测试(第三次)

理科数学试题

(满分150分 考试时间120分钟) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一 项是符合

题目要求的.

1.设全集U=R,集合M={x|y= 3-2x},N={y|y=3-2x},

则图中阴影部分表示的集合是( )

3 A.{x|2<x≤3}

3 B.{x|2<x<3}

3 C.{x|2≤x<2}

3 D.{x|2<x<2}

第 1 题图

2i

2.已知复数z=1+1-i,则1+z+z2+…+z2 016为(

)

开始

A.1+i B.1-i C.i D.1

3.若 (1? 3x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3x3 ? a4 x4 ? a5x5 ,

则| a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? | a4 | ? | a5 | 的值等于(

)

A.1024

B. 243

C. 32

D. 24

4.若某程序框图如图所示,则输出的n的值是( )

A. 43

B. 44

C.45

D.46

5.给出下列四个结论:①“若am2<bm2,则a<b”的逆命题是真命题;

②若x,y∈R,则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件;

③函数y=loga(x+1)+1(a>0且a≠0)的图象必过点(0,1); ④已知ξ服从正态分布N(0,σ2),且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)=0.2.

其中正确的结论是( )

A.①②

B.①③

C.②③

D.③④

6.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,

俯视图是半径为1的半圆,则其侧视图的面积是( )

p=1,n=1
n=n+1
p=p+2n?1

p>2016?

输出 n
结束
第 4 题图

1

3

A.2 B. 2

C.1 D. 3

??x-2y+1≥0 7.已知实数x、y满足:?x<2
??x+y-1≥0

,z=|2x-2y-1|,则z的取值范围是(

第 6 题图

) 5
A.[3,5]

B.[0,5]

C. [0,5)

5 D. [3,5)

8.某中学学生社团活动迅猛发展,高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科 技社”、“十年

国学社”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一

个社团且只能

参加一个社团,且同学甲不参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为( ) A.72 B.108 C.180 D.216

9.若sin

2α=

5 5 ,sin

(β-α)=

1100,且α∈??π4,π??,β∈??π,32π??,则α+β的值是(

)





5π 7π

5π 9π

A. 4

B. 4

C. 4 或 4

D. 4 或 4

10.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的

值为( )

A.1

1 B.2

5 C. 2

2 D. 2

x2 y2 11.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点O为坐标原点,点P在

双曲线右支上,

△ PF1F2内切圆的圆心为Q,圆Q与x轴相切于点A,过F2作直线PQ的垂线,垂足为B,则 |OA|与|OB|

的长度依次为( )

A.a,a

B.a, a2+b2

a 3a C.2, 2

a D.2,a

12.设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使f(x0)=-x0,则称x0是f(x)的一

个“次不动

5 点”,也称f(x)在区间D上存在“次不动点”,若函数f(x)=ax2-3x-a+2在区间[1,4]上存在

“次不动点”, 则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,0)

B.??0,12??

C.??12,+∞??

D.??-∞,12??

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题线上.

13.已知向量
OA

?

AB,OA

?

3

,则 OA?OB

=

.

? 14.设等差数列{an} 的前n项和为 Sn ,若 a5 ? a3 ?

2 (2x ? 1) dx ,则 S9

0

2

S5

= ____________.

15.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:

千元)的数

10

10

10

10

据资料,算得 ?xi=80,?yi=20,?xiyi=184,?x2i =720. 家庭的月储蓄y对月收入x的

i=1

i=1

i=1

i=1

线性回归方 程为y=bx+a,若该居民区某家庭的月储蓄为2千元,预测该家庭的月收入为________
_千元.

n
?xiyi-n x y
i=1

(附:线性回归方程y=bx+a中,b= n

,a= y -b x .)

?x2i -n x 2

i=1

16.已知 P 点为圆 O1 与圆 O2 的公共点,O1 : (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? b2 ,O2 : (x ? c)2 ? ( y ? d )2 ? d 2 ,若

ac ? 9, a ? c ,则点 P 与直线 l :3x ? 4y ? 25 ? 0 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 bd



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 b ? 2 3 , A? 3C ? p . c3

(I)求 sin B 的值;

(II)若 b ? 3 3 ,求△ABC的面积.

18.(本小题满分12分)

某市积极倡导学生参与绿色环保活动,其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组

对1月-12月(一年)内空气质量指数 API 进行监测,下表是在这一年随机抽取的100天的统计
结果:

指数API [0,5 (50,10 (100,15 (150,20 (200,25 (250,300] >300

0] 空气质 优

0]

0]

0]

0]



轻微污 轻度污 中度污 中重度污 重度污染











天数

4

13

18

30

9

11

15

(I)若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失 P (单位:元)与空气质量指数 API (记为 t )

的关系为: ?0, 0 ? t ? 100

,在这一年内随机抽取一天,估计该天经济损失

P ? ??4t ? 400,100? t ? 300

??1500,t ? 300

P??200,600? 元的概率;

(II)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节,其中有8天为重度污染,完成 2?2 列联表, 并判断是否有 95% 的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关?
非重度污染 重度污染 合计

供暖季

非供暖季节

合计

100

下面临界值表供参考.

P(K 2 ? k) 0.15

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

参考公式:
K2 ?

n(ad ? bc)2

,其中 n ? a ? b ? c ? d .

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

10.828

19.(本小题满分12分)
在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 平面 PDC , PD ? DC ,底面 ABCD 是梯形, AB / /DC , AB ? AD ? PD ?1, CD ? 2 . (I)求证:平面 PBC ? 平面 PBD ; (II)设 Q 为棱 PC 上一点, PQ ? ?PC ,

试确定 ? 的值使得二面角 Q ? BD ? P 为 60 .

20.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系

xOy

中,已知椭圆 C



x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? b

的离心率

? 0)

e?

1 2

,直线

l : x ? my ?1 ? 0(m?R) 过椭圆 C 的右焦点 F ,且交椭圆 C 于 A , B 两点.

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1 ,设直线 l1 与定直线 l2:x ? 4 交于点 P ,试探索当 m 变化 时,直线 BP
是否过定点? 21.(本小题满分12分)
已知函数 f (x) ? ex , g(x) ? mx ? n .

(I)设 h(x) ? f (x) ? g(x) .

① 若函数 h(x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n的值;网]

② 当 n ? 0 时,若函数 h(x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围;

(II)设函数
r(x) ?

1

? nx ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r(x) ? 1.

f (x) g(x)

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作

答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,AB是⊙O的直径,C,F为⊙O上的点,CA是∠BAF的角平分

线,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点,作CM⊥AB,垂足为点M.

求 证 : (Ⅰ)DC是 ⊙O 的 切 线 ;

(Ⅱ) AM · MB=DF · DA.

23.(本小题满分10分)选修4-4;坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中,直线 l 的参数方程为 ? ??x ? 1?

(t为参数).在极坐标系(与直角坐
2t 2

?

? ??

y

?1?

2t 2

标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C的方程为

? sin2 ? ? 4 cos? .

(I)求曲线C的直角坐标方程;

(II)设曲线C与直线 l 交于点A、B,若点P的坐标为 (1,1) ,求|PA|+|PB|的值.

24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数f(x)=|x-4|+|x+5|.

(I)试求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范围;

(II)若关于x的不等式f(x)<a的解集不是空集,求实数a的取值范围.

全国普通高考适应性测试(第三次)

理科数学参考答案

(满分150分 考试时间120分钟) 一、选择题:BDACC BCCAD AD 11.如图,由题意知,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=|PC|+|CF1|,|PF2|=|PD|+| DF2|,又|CF1|=|F1A|,|DF2|=|F2A|,∴|PF1|-|PF2|=|F1A|-|F2A|=|OF1|+| OA|-(|OF2|-|OA|)=2|OA|=2a,∴|OA|=a,延长F2B交F1P于E,可得|PF2| =|PE|,在△EF1F2中由中位线定理可求得|OB|=a.
5 12.设g(x)=f(x)+x,依题意,存在x∈[1,4],使g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+2=0.
1 当x=1时,g(1)=2≠0;
5
当x≠1时,由ax2-2x-a+2=0,得a= 4x ? 5 . 2(x2 ?1)

1
记h(x)= 4x ? 5 (1<x≤4),则由h′(x)= ?2x2 ? 5x ? 2 =0得x=2或x=2(舍去).

2(x2 ?1)

(x2 ?1)2

当x∈(1,2)时,h′(x)>0;

当x∈(2,4)时,h′(x)<0,即函数h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数,

1 因此当x=2时,h(x)取得最大值,最大值是h(2)=2,故满足题意的实数a的取值范围是

??-∞,12??.

故选D.

二、填空题:

13.9

14.9

15.8

16. 2

16.设

a b

?

c d

?

k

则圆 O1

: (x ? a)2

? (y

? ka)2

?

k 2a2

, a2

? 2(x ?

2ky)a

? (x2

?

y2)

?

0

圆 O2 : (x ? c)2 ? ( y ? kc)2 ? k 2c2 , c2 ? 2(x ? 2ky)c ? (x2 ? y2 ) ? 0 [:学.科.网]

故 a, c 是关于 m 的方程 m2 ? 2(x ? 2ky)m ? (x2 ? y2 ) ? 0 的两根

因此由韦达定理得 ac ? x2 ? y2 ? 9 ,所以点 P 在圆 x2 ? y2 ? 9 上,其到直线 l 距离就是点 P 与

直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值,为 d ? | 3? 0 ? 4 ? 0 ? 25 | ? 3 ? 2. 5
17.(I)因为 A ? B ? C ? p , A? 3C ? p ,所以 B ? 2C .

又由正弦定理,得 b ? c , b ? sin B , 2 3 ? 2sin C cosC ,

sin B sin C c sin C

3

sin C

化简得, cosC ? 3 .因为 C ? ?0, p ? ,所以 sin C ? 1? cos2 C ? 1? 1 ? 6 .

3

33

所以 sin B ? sin 2C ? 2sin C cosC ? 2 ? 6 ? 3 ? 2 2 . 33 3

………………………6分

(II)因为 B ? 2C ,所以 cos B ? cos 2C ? 2cos2 C ?1 ? 2? 1 ?1 ? ? 1 .

3

3

因为 A ? B ? C ? p ,所以

sin A ? sin(B ? C) ? sin B cosC ? cos Bsin C ? 2 2 ? 3 ? (? 1) ? 6 ? 6 . 3 3 33 9

因为 b ? 2 3 , c3

b?3

3

,所以

c

?

9 2



所以△ABC的面积 S ? 1 bcsin A ? 1 ? 3 3 ? 9 ? 6 ? 9 2 . ………………………12分

2

2

29 4

18.(I)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失P∈(200,600]元”为事件A

由200<4t﹣400≤600,得150<t≤250,频数为39,∴
P( A) ?

39

.………5分

100

(II)根据以上数据得到如表:

非重度污染 重度污染 合计

供暖季

22

8

30

非供暖季

63[XK]

7

70

合计

85

15 100

K2的观测值
K2

100(63?8 ? 22? 7)2 ?

≈4.575>3.841.

85?15?30? 70

所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.………12分

19.(I)∵ AD ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC , DC ? 平面 PDC ,∴ AD ? PD,

AD ? DC ,

在梯形 ABCD 中,过点作 B 作 BH ? CD 于 H ,在 ?BCH 中,

BH ? CH ? 1? ?BCH ? 45? ,

又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1? ?ADB ? 45? ,

∴ ?BDC ? 45? ? ?DBC ? 90? ? BC ? BD ,①

∵ PD ? AD ,PD ? DC ,AD DC ? D ,AD ? 平面 ABCD ,DC ? 平面 ABCD ,

∴ PD ? 平面 ABCD ,

∵ BC ? 平面 ABCD ,∴ PD ? BC ,②[:网] 由①②,∵ BD PD ? D ,BD ? 平面 PBD ,PD ? 平面 PBD ,∴ BC ? 平面 PBD , ∵ BC ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PBD ;………6分 (II)以 D 为原点, DA , DC , DP 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐
标系(如图)

则 P(0, 0,1) , C(0, 2, 0) , A(1, 0, 0) , B(1,1, 0) ,

令 Q(x0 , y0 , z0 ) ,则 PQ ? (x0, y0, z0 ?1), PC ? (0, 2, ?1) , ∵ PQ ? ?PC ,∴ (x0,y0, z0 ?1) ? ?(0, 2, ?1) ,∴ Q ? (0, 2?,1? ?) , ∵ BC ? 平面 PBD ,∴ n ? (?1,1,0) 是平面 PBD 的一个法向量,

设平面 QBD 的法向量为 m ? (x,y,z) ,则 ??m ? DB ? 0 ? ??m ? DQ ? 0

,即

?x ? y ? 0 ??2? y ? (1? ?)z ? 0



?x ? ?y ,

?

? ??

z

?

2? ? ?1

y

不妨令 y ? 1,得 m ? (?1,1,

2?


)

? ?1

∵二面角 Q ? BD ? P 为 60? ,∴ m?n

cos(m, n) ?

?

mn

,解得

2

?1

2 ? 2 ? ( 2? )2 2

? ?1

? ?3? 6 ,

∵ Q 在棱 PC 上,∴ 0 ? ? ??,故 ? ? ? ? 6 为所求.………12分

20.(I)由题设,得

?c ? ?c ?? a

? 1, ? 1 , 解得
2

?c ??a

? ?

1, 从而
2,

b2

?

a2

?

c2

?

3



所以椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 . 43

………………………4分

(II)令 m ? 0 ,则 A(1,3) , B(1,? 3) 或者 A(1,? 3) , B(1,3) .

2

2

2

2



A(1,3 2

)



B(1,?

3 2

)

时,

P(4,3) 2

;直线

BP

:

y

?

x

?

5 2



A(1,?

3 2

)



B(1,3 2

)

时,

P(4,?

3) 2

,直线

BP

:

y

?

?x

?

5 2

所以,满足题意的定点只能是 (5 ,0) . 设为D点 .下面证明P,B,D三点共线. 2

设 A(x1 ,y1) , B(x2 ,y2 ) ,由于 PA 垂直于 y 轴,所以点 P 的纵坐标为 y1 ,从而只要证明

P(4,y1) 在直线 BD 上.

?x ? my ?1 ? 0 ,



? ?

x

2

?? 4

?

y2 3

? 1,

得 (4 ? 3m2 ) y2 ? 6my ? 9 ? 0 ,

D

? 144(1?

m2 )

?

0 ,? y1

?

y2

?

?6m 4 ? 3m2



y1 y2

?

?9 4 ? 3m2

.①

∵ kDB

? kDP

?

y2 ? 0

x2

?

5 2

?

y1 ? 0 4? 5
2

?

my2

y2 ?1? 5
2

?

y1 3
2

?

3 2

y2

?

y1 (my2

?

3 2

(my2

?

3) 2

3) 2

?

y1 +y2

?

2 3

my1 y2

my2

?

3 2



①式代入上式,得 kDB ? kDP ? 0 , 所以 kDB =kDP .

∴点

P(4

,y1

)

恒在直线

BD

上,从而P,B,D三点共线.即直线

BP

恒过定点

(

5 2

,

0)



………………12分

21.(I)①由题意,得 h?(x) ? ( f (x) ? g(x))? ? (ex ? mx ? n)? ? ex ? m ,

所以函数 h(x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ?1? m ,

又 h(0) ? 1? n ,所以函数 h(x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1? n) ? (1? m)x ,

将点 (1, 0) 代入,得 m ? n ? 2.
……………3分

②当 n ? 0 ,可得 h?(x) ? (ex ? mx)? ? ex ? m ,因为 x ? ?1 ,所以 ex ? 1 , e

1)当 m ? 1 时, h?(x) ? ex ? m ? 0 ,函数 h(x) 在 (?1, ??) 上单调递增,而 h(0) ? 1, e

所以只需 h(?1) ? 1 ? m ? 0 ,解得 m ? ? 1 ,从而 ? 1 ? m ? 1 .

e

e

e

e

2)当 m ? 1 时,由 h?(x) ? ex ? m ? 0 ,解得 x ? ln m?(?1, ??) , e
当 x ?(?1, ln m) 时,h?(x) ? 0 ,h(x) 单调递减;当 x ?(ln m, ??) 时,h?(x) ? 0 ,h(x) 单

调递增.

所以函数 h(x) 在 (?1, ??) 上有最小值为 h(ln m) ? m ? mln m ,

令 m ? mln m ? 0 ,解得 m ? e ,所以 1 ? m ? e . e
综上所述, m ?[? 1 , e) . e
……………6分:网]

n

(II)由题意, r(x) ?

1? f (x)

nx g(x)

?

1 ex

x

?

m x?

n

?

1 ex

?

4x , x?4

m



r(x)

?

1 ex

?

4x x?4

? 1等价于 ex (3x

?

4)

?

x

?

4

?

0



令 F (x) ? ex (3x ? 4) ? x ? 4 ,

则 F(0) ? 0 ,且 F?(x) ? ex (3x ?1) ?1, F?(0) ? 0 ,

令 G(x) ? F?(x) ,则 G?(x) ? ex (3x ? 2) ,

因 x ? 0 , 所以 G?(x) ? 0 , 所以导数 F?(x) 在[0, ??) 上单调递增,于是 F?(x) ? F?(0) ? 0 ,

从而函数 F(x) 在[0, ??) 上单调递增,即 F(x) ? F(0) ? 0 .
……………12分 22.(Ⅰ)连结OC,则∠OAC=∠OCA. 又∠OAC=∠FAC,所以∠FAC=∠OCA,所以OC∥A D,因为CD⊥AD,所以CD⊥OC,即CD是⊙O的切线.
(Ⅱ)连结BC. 在Rt△ ACB中,CM2=AM · MB.因为CD是⊙O的切线,所以CD2=DF·D A.又Rt△ AMC≌Rt△ ADC,所以CM=CD, 所以AM · MB=DF · DA.
23.(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为 y2 ? 4x ..???4分

(Ⅱ)将 ?

2 带入 y2 ? 4x 得 t2 ? 6 2t ? 6 ? 0 ,

??x ? 1? 2 t

?

? ??

y

?

1?

2t 2

所以| PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2) ? 4t1t2 ? 4 6 .???10分

??-2x-1,x≤-5, 24.(I)f(x)=|x-4|+|x+5|=?9,-5<x<4,
??2x+1,x≥4.

?1 -2x-1,x≤-2,

? 又|2x+1|=

1

?2x+1,x>2,

所以若f(x)=|2x+1|,则x的取值范围是(-∞,-5]∪[4,+∞)..???5分

(II)因为f(x)=|x-4|+|x+5|≥|(x-4)-(x+5)|=9,∴f(x)min=9.

所以若关于x的不等式f(x)<a的解集非空,则a>f(x)min=9,

即a的取值范围是(9,+∞)..???10分


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