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微分几何_2.6____曲面上的测地线_图文

微分几何_2.6____曲面上的测地线_图文

第六节 曲面上的测地线

平面上的直线(1)任一点的切向量平行;(2)曲率为0; (3)直线段是连接点与点之间的最短线段。
曲面上的测地线相当于平面上的直线。

6.1 曲面上曲线的测地曲率

一、测地曲率的定义
给定曲面S:r? ? r?(u1,u2 ), (c)是曲面上的一曲线:u ? u? (s)

在曲线上一点 P 有:

?r??? n??

?
?? ?

n? ?

?

cos?

? ?n

令 n???? ? ?? ,则 n?,??,?? 是两两正交的单位向量且成右手系,

n?, ??,??,?? 都在 P 点的法面上。

定义:曲线(c)在

P

点的曲率向量

??? r

?

k??在??

上的投影(即在

S上P点的切平面上的投影)

kg

?

?r??? ?? ?

?
k? ?

??

称为曲线在 P 点的测地曲率。

二、性质

命题1:k 2 ? kg2 ? kn2

证明:

kg

?

k????? ?

?
k? ?

(n????)

?

?
k (? ,

n?,??)

?

k (??,

?
?,

n?)

?

k (???

?
?)

?

? n

?

k???

? n

? kg ? k cos(900 ?? ) ? ?k sin?

于是

kn2

?

k

2 g

?

k2

cos2 ?

?k2

sin2 ?

?

k2

注意: n?, ??,??,?? 都在 P 点的法面上。

测地曲率的几何意义:曲面 S上的曲线(C),它在 P 点的测地

曲率绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线 (c* )的曲率。

证明:过(C)的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线,于是得
到一柱面,这个柱面和S在P点的交线是 (c* ) ,(C)和(c* ) 都是

柱面取上??的为曲柱线面。上在P这点个的柱法面向上量用,梅由尼于埃柱定面理垂。

(c)

直于切平面,所以柱面上任一点的法向量平

行的向面法于 法 量 就截切向是?面?平量切与也面向柱在??,量面切应又的平??在P交面与在切线上法切平就,向平面是所量面上法以上,??截柱,而线面所所(在确(以cC*定P)柱)的的点面,法平的在因截面切P此,柱??面在(c?*?)

??
方向的法

曲率 kn ? ?k*, kn ? k* (k*为(c*)在P点的曲率 ),

法由向于量?和n 柱? k面c在o?snP?点?,k的c其法o中s向?k?量为k(????C???)之?在间kP的g.点角的,曲即率,? 为(C)的主

推论:曲面上的直线的测地曲率为0。
这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还 是直线,所以曲率为0。
习题3。

三、测地曲率的计算公式

? ?
(rij ?

?ikj

? rk

? ? Lij n)

kg

?

k (??,

?
?,

n?)

?

(??,

?
k? ,

n?)

?

?? ??? ? (r , r , n)

k

? ? r???

? ru

du ds

?

? rv

dv ds

?

? du1 r1 ds

?

? r2

du2 ds

?

i

? dui ri ds

?

i

dui ? ds ri

? ? ? ? ? ?r???

i

dui ? ds

j

du j ds

? rij

?

i

d 2u ds2

i

? ri

?

i, j

dui ds

du j ds

? rij

?

k

d 2uk ds2

? rk

? ? ? ?

k

d 2uk ( ds2

?

i, j

dui ds

du j ds

?ikj

? )rk

?

i, j

Lij

dui ds

du j ds

? n

? ? ? ? kg ? (
i

dui ds

? ri ,

k

(

d 2uk ds2

?

i, j

dui ds

du j ds

?ikj

? )rk

?

i, j

Lij

dui ds

du j ds

n?, n?)

? ?

(

du1 ds

? r1,

(

d 2u2 ds2

?

i, j

?i2j

dui ds

du j ds

? )r2

,

n?)

? ? ( du2 ds

? d 2u1 r2 , ( ds2

?

i, j

?i1j

dui ds

du j ? ? ds )r1, n)

? kg

? ( du1 ds

? r1,

(

d 2u2 ds2

?

i, j

?i2j

dui ds

du j ds

? )r2

,

n?)

? ?

((

d 2u1 ds2

?

i, j

?i1j

dui ds

du j ? du2 ds )r1, ds

?? r2 , n)

? kg

?

[(

du1 ds

(

d 2u2 ds2

?

i, j

?i2j

dui ds

du j )
ds

? ?
(r1,

?
? r2 ,

( du2 ds

(

d 2u1 ds2

n?)

?

? (r1

?

? r2

)

? ?i1j
?i, j ? ? r1 ? r2
g

dui ds

du j ds

? )](r1,

? r2

,

n?)

?

1 g

(r?12

? r?22

?

? (r1

?

? r2

)

2

)

? 1 (EG ? F 2) ? g g

? ? kg ?

du1 d 2u2 g[( ds ( ds2

?

i, j

?i2j

dui ds

du j ) ? ( du2 ds ds

d 2u1 ( ds2

?

i, j

?i1j

dui ds

du j )]
ds

? ? kg ?

du1 d 2u2 g[( ds ( ds2

?

i, j

?i2j

dui ds

du j du2 )?(
ds ds

d 2u1 ( ds2

?

i, j

?i1j

dui ds

du j )]
ds

这就是测地曲率的一般计算公式。

特别地,当曲面上的坐标网为正交网时,F=0,代入上式并 整理得

kg ?

g [ du

d 2v

? dv

d 2u

?

Ev

( du )3 ? Gu

du 2 ()

dv

ds ds2 ds ds2 2G ds G ds ds

? Gv du ( dv )2 ? Eu ( du )2 dv ? Ev du ( dv )2 ? Gu ( dv )3 ] 2G ds ds 2E ds ds E ds ds 2E ds

角为下面? 给,出则一dd个r?s简?单??一? 点r?uE的c形os式? 。? 设r?Gv曲s线in的? ?切r?方u dd向us 与? r?uv-线ddvs所成的

du ? 1 cos? , dv ? 1 sin? ,

ds E

ds G

d 2u ds2

?

d (cos?
E
d?

)

d?
ds

?

d (cos?
E du

)

du ds

?

d (cos?
E dv

)

dv ds

? ? sin?
E

d?
ds

? cos?

?(? 1 2

E

?

3 2

Eu

)

du ds

? cos?

?(? 1 2

E

?

3 2

Ev

)

dv ds

? ? sin? d? ? Eu cos? du ? Ev cos? dv
E ds 2E E ds 2E E ds

?

d 2u ds2

?

? sin?
E

d?
ds

?

Eu cos2 ?
2E2

?

Ev sin? cos?
2E EG

同理

d 2v ? cos? d? ? Gu sin? cos? ? Gv sin 2 ?

ds2 G ds 2G EG

2G 2

代入前面的 kg 的计算公式可得

kg

?

d?
ds

?

Ev 2E G

cos?

?

Gu 2G E

s in ?

? d? ? 1 ? ln E cos? ? 1 ? ln G sin? ,

ds 2 G ?v

2 E ?u

这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为

kg

?

d?
ds

? kgu

cos?

? kgv

sin? ,

其中 k gu , k gv 分别为 u?线?和0和v9线0 的测地曲率。事实上,对于u

线和 v 线来说,分别有

0 ,代入测地曲率的计算公式



kgu

?? 1 2G

? ln E , ?v

kgv

?

1 2E

? ln G . ?u

6、2 曲面上的测地线 一、定义:曲面上的一条曲线,如果它的每一点处的测地曲率

为 0,则称为测地线。 二、性质1)如果曲面上有直线,则必为测地线。

2)命题3:曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是,除

了曲率为 0 的点外,曲线的主法线重合于曲面的法线。

证明:设曲线(c)为测地线(不是直线),则



kg

?

?k sin?

,?

?

?
?(? ,

n?)

??

?0



?

k

?

0, kg

?

0,



?
??

?n?

,所以主法线重合于法线。

反之,若主法线重合于法线,则

?
??

?n?

,得

?

?0



?

kg ? ?k sin 0 ? 0, (k ? 0)
所以曲线是测地线。

推论:如果两曲面沿一曲线相切,并且此曲线是其中一个曲 面的测地线,则它也是另一个曲面的测地线。
证明:因为这两个曲面沿曲线相切,所以曲面沿曲线的法线 重合,又此曲线的主法线只有一条,所以此曲线的主法
线同时与两个曲面沿此曲线的法线重合,由命题知推论成立。
例:球面上的大园一定是测地线,因为大园的主法线 重合于 法线。

三、测地线的方程

?

设(C)为测地线,则它的主法线重合于法线,即 ?

?

?n?,



n?

?

? rl

,

(i ? 1,2)

?

?
?

?

? rl ,

?
??

? rl

?

0,

?

?
k? ?

? rl

?

0

?

?r??? r?l

?

0

? ? ? ?r??? r?l ?

k

(

d 2uk ds2

?

i, j

dui ds

du j ds

?ikj

? )rk

?

? rl

?

i, j

Lij

dui ds

du j ds

?? n ? rl ? 0

? ? ?

k

d 2uk gkl ( ds2

?

i, j

dui ds

du j ds

?ikj ) ? 0

又 g = det(gkl) 不为0,于是得到测地线方程为

? d 2uk
ds2

?

i, j

?ikj

dui ds

du j ds

?0

, k ? 1,2

特别地,当坐标曲线正交时,由刘维尔公式也得到曲面上 测地线的微分方程为

d? ? 1 ? ln E cos? ? 1 ? ln G sin? ? 0,

ds 2 G ?v

2 E ?u

du ? 1 cos? ,
ds E

dv ? 1 sin? ,
ds G

若给出了初始条件:u(s0 ) ? u0, v(s0 ) ? v0,? (s0 ) ? ?0
则有唯一解 u ? u(s),v ? v(s),? ? ? (s).

例题1,2。

四、定理:过曲面上任一点,给定曲面上一个切方向,则存 在唯一一条测地线切于此方向。

证明:设测地线方程为

? d 2uk
ds2

?

i, j

?ikj

dui ds

du j ds

?0

, k ? 1,2

即满一足个上点述(u方1(程s0的), u曲2 (线s0都)) 是和测一地个线切,方给向出(了( dd初usk始)0条, ( d件dusk:)0s)=s0 ,

由常微分方程理论,方程组有唯一解,即存在唯一一条测地线

(C):uk ? uk (s) , k ?1,2

过已知点并切于定方向。

6.3 曲面上的半测地坐网
一、定义:曲面上的一个坐标网,其中一族是测地线,另一族是 这族测地线的正交轨线,则这个坐标网称为半测地坐标网。
极坐标网是它的特例。
二、命题4:给出曲面上的一条曲线,则总存在一个半测地坐标
网,它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线。
证明:由定理1,过曲面上给定的曲线(C)上的每一点,沿着 (C),在切平面上对应于垂直于(C)的方向,存在唯一条测
地线(c* ) ,然后再作这一族曲面的正交轨线,则这族测地线和 它的正交轨线组成了曲面上的一个半测地坐标网,并且 (c* ) 的
正交轨线族中包含了(C)。
三、在前一节习题6(5)中提到,对于曲面上的半测地坐标网,
有 ? ? ds2 ? du2 ? Gdv2 ,我们现在证明这个结论。

首先,由于半测地坐标网是正交的,所以 F=0 ,
? ? ds2 ? Edu2 ? Gdv2

半测地坐标网中有一簇坐标曲线是测地线,不妨设为 u 线,dv =0,

即 u2 ? 常数, du2 ? 0, 它满足测地线微分方程 ds

? ? d 2u2
ds2

?

i, j

?i2j

dui ds

du j ds

?0

?

i, j

?i2j

dui ds

du j ds

?0

?

?121

du1 ds

du1 ds

?0

但 du1 ? 0, ds

? ?121 ? 0

由P165,当坐标曲线正交时,

?121

?

?

Ev 2G

?

Ev ? 0,

即 E 与 v 无关,只与 u 有关,可设 E ? ?(u) ? 0,

在曲面上引进新参数 u,使得 du ? ?(u)du, 从而第一基本形式
变为
? ? ds2 ? Edu2 ? Gdv 2 ? du ? G(u , v)dv2.

6.4 曲面上测地线的短程性
定理2:若给出曲面上充分小的邻域内的两点 P 、Q 则过这两点 在小邻域内的测地线是连结这两点的曲面上的曲线中弧长最短的 曲线。 证明:设(C)是曲面上连结 P,Q 的一条测地线,在曲面上选

取半测地坐标网,使曲面上包含(C)在内的一测地线族为u-线,

它的正交轨线为v-线,于是曲面的第一基本形式为
? ? ds2 ? du2 ? Gdv2

不妨设曲线(C)的方程为 v=0 ,P和Q的坐标分别为(u1,0).(u2,0)

(u1<u2) ,于是沿测地线(C)由P到Q的弧长为 s(PQ) (c) ? u2 ? u1,
又在这个小邻域内连结P和Q的任意曲线(c~) 的方程为 v = v(u) ,

于是沿(c~) ,从 P到Q的弧长为

? ? ds2 ? du2 ? Gdv2 ? ds ?

du2 ? Gdv2 ?

1? G

dv du

2 du

? ? ?

s ? u2

(c~)

u1

1? Gv?2 du ?

u2 u1

du

?

u2

?

u1.

线,只而有且当是v?过?P0,时Q,的上u式-线等,号即才(成C立),,但表此示时此时v 为(c~常)(数C),重即合为,u-

所以(C)是连结 P,Q的最短线。

由这个定理,我们又称测地线为短程线。

注意:定理若不是限制在一个小邻域内则不一定成立。

如球面上的大园是测地线,所以球面上不是直径两端的两点, 连结它们的大园弧有两段,显然长的不是连结它们两点的最
短线,而短的是。

6.5 高斯-崩涅 (Gauss-Bonnet)公式
在平面上,三角形的内角和等于180度, 但在曲面上的情形可能不大一样,如图: 这一节就是把平面上的结果推广 到曲面上去。

在曲面S上给出了一个由k条光滑曲线段 所围成的曲线多边形,它围成了一个单连
通的曲面域G。多边形的边缘记为 ?G 。

设曲面的高斯曲率和测地曲第分别为 K,kg ,曲面的面积元
素和弧长元素为 d? , ds ,则的下面的高斯-崩涅公式成立。

k

?? Kd? ? ? kgds ? ?(? ??i ) ? 2?

G

?G

i?1

其中? i 是 ?G 的第 i 个内角的角度,? ??i 是外角的角度。

引理:若在曲面上引进半测地坐标网,有 ds2 ? du2 ? Gdv2

? ? 则

kgds ? d ???arctan(

G

dv du

)???

?

G u dv

证明:由于坐标网正交,F=0,由刘维尔公式

kg

?

d?
ds

?1 2G

? ln E cos?
?v

?

1 2E

? ln G sin? ,
?u

kg

ds

?

d?

?

1 2

1 G

Gu

sin

?ds,

又 du ? 1 cos? ? cos? ? cos?ds ? du
ds E

dv ? 1 sin? ? sin?ds ? Gdv,? tan? ? G dv

ds G

du

? ? arctan?? G dv ??, 代入即得结论 。
? du ?

定理证明: 在曲面上引进半测地坐网并由引理得

? ? kgds ? d ???arctan(

G

dv du

)???

?

G u dv

两边沿边缘积分

? ? ? kgds ? ? (

?G

?G

G

)u

dv

?

d
?G

???arc

tan(

G

dv du

)???

??

(*)

对第二个积分用格林公式

? P(u,
?G

v)du

?

Q(u,

v)dv

?

??
G

?? ?

?Q ?u

?

?P ?v

??dudv ?

? ?? 令 P ? 0,Q ? ?( G )u , ? ( G )u dv ? ? ( G )uu dudv

?G

G

又面积元素 d? ? EG? F2 dudv ? Gdudv

并由第五节习题6(5)(P144)知

? ? K ? ? ( G)uu ? ? G

G uu ? K

G

因此第二个积分为 ? ? ( G)u dv ? ?? ? ( G)uu dudv ? ?? Kd?

?G

G

G

的对c角o于s为?(??*r?)u,?式??且中?由r?的u于?第ddrsE三??个r?ru?u积??r?r分?uud?u,d1?可s,r?v设d所v?以?GE的为d切单ud?向位sF量向dv量???,dd和us u-线所成

ds2

?

du2

? Gdv2

? 1? ??

du

?2 ?

?

G??

dv

?2 ?

? ds ? ? ds ?

sin? ? ?

1? cos2 ? ? ?

? ? 1?

du ds

2

??

G dv ? tan? ? ?
ds

G dv du

其中正负号的产生是由沿边界积分时有两种不同的方向,如果我

们采用逆时针方向时,可只取正号,即

tan? ? G dv ? ? ? arctan?? G dv ??

du

? du ?

? ? 这时第三个积分变为

d
?G

???arc

tan(

G

dv du

)???

?

d?
?G

(*)式变为 ? kgds ? ?? Kd? ? ? d?

?G

G

?G

当?G 绕转一周后, ? 的增量是2? ,即边
界曲线的切向量转过了2? ,它等于 ? d?(即分 ?G
段曲线所转过的角之和)加上所有外角。即

? d? ? (? ??1) ? (? ??2) ?? ? (? ??k ) ? 2?

?G

k

? d? ? 2? ? ?(? ??i )

?G

i ?1

于是(*)式变成了

k

? kgds ? ?? Kd? ? ?(? ??i ) ? 2?

?G

G

i?1

推论1:如果 ?G 为一条光滑的曲线,则外角为0,有

? kgds ? ?? Kd? ? 2?

?G

G

推论2:如果?G 是一个测地三角形,即三条边由三条测地线组成
?? 的三角形,则有 Kd? ? 2? ?(? ??1) ? (? ??2 ) ? (? ??3)
G

? 2? ? 3? ? (?1 ? ?2 ? ?3) ? S(?) ? ? ,

其中 S(?) ? ?1 ? ?2 ? ?3 表示三角形的内角和。

故当

??? 0 K ??? 0

?? 0
? ?? Kd? ???? 0

?? ? ? S(?)??? ?

?

G

?

??? 0

??? 0

??? ?

特别地,当曲面为平面,K=0 ,多边形的边界为直线(平面

上的测地线)所组成时,得到平面上的多边形的外角和公式为

k
? (? ??i ) ? 2?
i ?1
对于平面上的三角形有 (? ??1) ? (? ??2 ) ? (? ??3) ? 2? ,
即三角形内角和为 S(?) ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ? .

6.6 曲面上向量的平行移动
在前面我们看到曲面上的测地线相当于平面上的直线,这 里简单对比一下:

平面直线
1)曲率为0; 2)两点间最短距离是直线段; 3)给定一个方向和一点决定 一条直线;

曲面上的测地线
1)测地曲率为0; 2)两点间(小范围)最短距离 是测地线;
3)给定一个方向和一点决定 一条测地线;

但直线还有一个性质就是直线上任一点处的切向量都是平
行的,这个性质是否也可以推广到测地线上去呢?另一个问题 是,欧氏空间中的平移具有两条基本的性质:保持线性关系和 保持内积,我们希望曲面上的平移至少保持两个性质。这一节 就讨论这个问题。

一、曲面上的向量及平行移动

1 、曲面上的向量:曲面上给定点处切于该曲面的向量,也就 是给定点的切平面上的向量。

2 、绝对微分及勒维-基维塔平移

a?? da?
a?? da? n?
M?

设曲面上一曲线(C):
ui ? ui (t) , i ?1,2
? 沿它上面的点M,给出一向量 a(t)

?

它在点 M 处切于曲面,且沿此曲

a

M

(c)
微分da? ,从点

M



? 线给出一向量场。 当 a(t) 从M 点按通常意义下的移动到邻近


a??

Mda??

时,得一增量,其主要部分等到于 ,一般来说,这个向量不在点 M 的

切 切平平面面上和,沿因曲此面它的不法再向是量曲n?面方在向M上点的的两切个向分量量,。现在分解它为

a?? da?

a??

? da

n?

M?

Da?

为沿a?法? d线a?方在向n?的方分向量上为的射?n?影,,则且?

? n

为积单,位?n?向?量[n?,? (所a??以d它a?)就]n?是它们的内
? [n?? a?? n?? da?]n? ? (n?? da?)n?

? a

M

(c)

即设切线分量为
??

(?a??

? ?da?)t

?

?

?(a

??da)t

??(n

? d?a)n??

a

?
?

d?a

? (?a ? da)t ? a ? da ? (n ? da)n

这实际上就是 a ? da 到点 M 的切平面上的投影向量。

我们称点

M

处的向量

(a?

?

? da)t

? 和向量 a

的差为?向量

a?

从点 M 沿曲线(C)移动到 M? 的绝对微分,记为 Da ,即:

? ? ? ? ? ? ??

Da

?

(a

?

da)t

?

a

?

da

?

(n ? ?

da)n

分 当da?向投量影从到点点MM沿处曲的线切移平动面到上的M部? 时分,,D因a此等还到是于曲把面它上的的通向常量微。

点 M?当时D,a?微? 0?分时da?,沿表法示线向量n? 的a? 方从向点,M换沿言(之C,)把的向方量向移a??动da?到

投影到点M 的切平面时,我们得到向量

a?

,这时称向量

a??

? da

是向量

? a



M

点沿(C)的方向到邻近点 M ?

经过平行移动而

得到的向量。

? 与向量a?这?a?样d?a?d定a?称义与为的沿a?平曲沿移线曲概在线念勒与u维i 所?—u取基i (的t)维曲是塔线勒意维u义i —?下u基的i (维t平) 塔行有平向关行量,移,因动即此。称a

意义下特的别平地移,一在致平,面这上是向由量于的在勒平维面—上基维Da?塔?平da行? ,移所动以和勒通常
维—基维塔平行移动是平面上通常平移在曲面上的推广。

3、绝对微分及平行移动的分析表达式
?

? ??r?ij ?

?ikj

? rk

?

? Lij n,

?

k

? 以 r?1沿,dr?曲2a?为?线(基(da向C1r?1)量a??上(建at)1的d立?r?1每坐a)1?(个标t()d点r系?1a?2,,r?2a由并?2(?t于设)ar?22ada??r?为(2t))切的a向i坐(t量)标r?i,为在a这1(t个), 切a2 平(t)面上,

?

da1r?1

?

a1(r?11du1

?

? r12du

2

)

?

da2

? r2

?

a2

(r?21du1

?

? r22du

2

)

? ? ? da? ? da1r?1 ? a1( ?1k1r?k du1 ? ?1k2r?k du2 )

k

k

? ? ?da2r?2 ? a2 ( ?2k1r?k du1 ? ?2k2r?k du2 ) ? (*)n?

k

k

? r?1(da1 ? ?111a1du1 ? ?112a1du2 ? ?211a2du1 ? ?212a2du2 )

? ?r2

(da

2

?

?121a1du1

?

2
?12

a1du

2

?

?221a 2 du1

?

?222 a 2 du 2

)

?

(*)n?

? ? ? (da1 ?

??1?

a?

du?

? )r1

?

(da2

?

??2?

a?

du

?

? )r2

?

(*)n?

? ,?

? ,?

由于

? ? ? ? ? ? ?? Da ? (a ? da)t ? a ? da ? (n ? da)n

?

从式中可看出,只要在上面的式子中去掉法线分量就得到 Da ,

如果它的坐标用 Da1, Da 2

来表示,则

? Da

?

Da1r?1

?

Da

2

? r2

? Da1 ? da1 ? ??1? a? du?

? ,?

? Da 2 ? da2 ? ??2? a? du?

? ,?

这就是绝对微分的表达式。
? 特别地,若向量 a 作平行移动,则

Da?

?

? 0,即 Da1

?

Da2

?

0

从而得到向量 a? 由点 M 沿方向 (du1, du2 ) 作平行移动到邻近一点M?

? 的分析表达式: da1 ? ? ??1? a? du?

? ,?

? da2 ? ? ??2? a? du? ? ,?
? 即在平移下,a 的坐标微分da1, da2 可用坐标微分du1, du2 来表达。

4、绝对微分的运算性质



a?,

? b 是沿曲线(C)的向量场,f

是定义在(C)上的数量

函数,则有

(1)

D (a? ?

? b)

?

Da? ?

? Db

(2)

D( fa?) ? dfa??

? fDb

(3)

d

(a??

? b)

?

Da??

? b?

a??

? Db

证明:(1)(2)直接验证。

证明:

Da?? b? ?

a??

? Db

? ? ? ? ?

r?i (dai ?

??i?

a?

du

?

)

?

? b

?

a??

r?i (dbi ?

??i? b? du? )

i

? ,?

i

? ,?

? ? ? ? ? ? ?

r?i (dai ?

??i? a? du? ) ?

b

j

? rj

?

ai

? rj

?

? rj (db

j

?

??j? b? du? )

i

? ,?

j

i

j

? ,?

? ? ?? ?? ? dai ?b j gij ? aidb j gij ?

a?b j gij??i? du? ?

aib? gij??j? du?

i, j

i, j

i, j ?,?

i, j ?,?

? ? ? ? gijdai ?b j ? gijai ? db j ? (?i?? g?j ? ??j? g?i )aib jdu?

i, j

i, j

(i ? ? ) (? ? j)

? ? ? ? gijdai ?b j ? gijai ? db j ? ([i? , j] ?[ j? ,i])aib jdu?

i, j

i, j

? ? ? ? gijdai ?b j ? gijai ? db j ?

i, j

i, j

?gij ?u ?

du? aib j

? ? ? ? gij dai ? b j ? gij ai ? db j ? dgij aib j

i, j

i, j

? ? ? ? d(

gij aib j ) ? d (

a

i

? ri

?

b

j

? rj

)

?

d

(a??

? b)

二、平行移动的性质

对于欧氏平面上的平行移动,它(1)保持向量的长度和角度 不变,(2)直线上的切向量都是平行的。下面说明曲面上的平移 也具有这两个性质。

1、levi-civita平移保持两个向量的内积不变,因而保持向量的长

度 证和明夹:角设不a?,变b? 。是由曲面S上沿曲线(C)的平行的向量场,则



Da?

?

? 0,

? Db

?

? 0

d

(a??

? b)

?

Da??

? b

?

a??

? Db

?

0

?

a??

? b

?

常数

这说明levi-civita平移保持内积不变。由于向量的长度与夹 角都是由内积所定义的,故也保持向量的长度和夹角不变。

2、曲线(C)为测地线的充要条件是它的切向量在levi-civita 平行移动的意义下沿(C)是相互平行的。

证明:设(C): ui ? ui (s) , i ?1,2 ,s为自然参数,现设它 的切向量沿(C)作平行移动,以

du1 ? a1 , du2 ? a2 ,

ds

ds

? 代入平移表达式 dak ? ? ??k? a? du? , k ? 1,2

? ,?

? 除以ds 得到

dak ds

? ? ??k? a?
? ,?

du? ds

? d 2uk
ds2

? ??k? a?
? ,?

du? ds

?0

?

? d 2uk
ds2

?

i, j

?ikj ai

du j ds

? 0.

这是测地线方程。即充分性成立。反之逆推可知必要性成立。

定理:向量沿一条已知曲面曲线作平行移动的充要条件是 沿此曲线所作的切平面的包络所得可展曲面展开在平 面上时,所得的向量在平面上为平行移动。
由这个定理可得沿曲线平行移动的向量的作图法,这个 作图法在理论上成立。P165。
6、7 极小曲面。


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