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2013广东高考文科数学预测试卷(陈荣)

2013广东高考文科数学预测试卷(陈荣)


广东省 2013 年高考文科数学模拟卷
命题人:陈 荣 2012 年 12 月
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知集合 M ? x | x ? x ? 3? ? 0 , N ? x | x ? 2 ,则 M ? N = ( A. ?? 2,0?
2

?

?

?

?



B. ?0,2?

C. ?2,3?

D. ?? 2,3? ) D. 1 ) D.等边三角形 )

2.若复数 ?1 ? a ? i ? ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a ? ( A. ? 1 B. ? 1 C. 0

3.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 30 ,则 ?ABC 是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

4.已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题,其中正确命题的序号是( ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? A.①③ B.②④ ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? C.①④ ) D.②③

?x ? 1 ? y 5.若实数 x, 满足 ? y ? 0 ,则 x ? y 的取值范围是( ?x ? y ? 0 ?
0 A.[?2,]

1 B.[0,]

2 C.[1,]

2 D.[0,]

6.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角 三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的表面积为( ) A.

3? 3 2

B. 3 ? 3 D.

C.

1 6

3 2

正视图

侧视图 )

俯视图

7.已知函数 y ? x ln x ,则这个函数在点 x ? 1 处的切线方程是( A. y ? 2 x ? 2 B. y ? 2 x ? 2 C. y ? x ? 1

D. y ? x ? 1

x2 y 2 8.已知点 F1、F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 a b
于 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率是( A. ) D.

1 2

B.

2 2

C.

1 3

3 3

??? ? ??? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? 9.如图,在 ?OAB 中, P 为线段 AB 上的一点,OP ? xOA ? yOB ,且 B ? 2 A ,则( P P
2 1 A. x ? , ? y 3 3 1 2 B. x ? , ? y 3 3



1 3 3 1 C. x ? , ? D. x ? , ? y y 4 4 4 4 10.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字 表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点 A 向结点 B 传递信息,信 息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为( ) A.26 B.24 C.20 D.19 5

B

3 4 7 6

6 6

12

8

12

A

二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11.已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a2 , a4 , a5 成等比数列,则 a2 等于



12.上海世博会广东馆 1 号作品《大芬丽莎》是由大芬村 507 名画师集体创作的 999 幅油画 组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》 ,因其诞生于大芬村,因此被命名为《大芬丽莎》 .根 据下图所示的频率分布直方图,估计这 507 个画师中年龄在 ?30, ? 岁的人数约为 35 人(精确到整数) . 13.如图所示的程序框图输出的结果是
频率 组距

开始 .

1 A ? ,?1 i 2
i ? 3?





A?

1 2? A

输出 A 结束

20 (岁)

25

30

35

40

45

年龄

i ? i ?1

(第 13 题图) (第 12 题图) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,如两题都做,只按第 14 题计分) 14. (坐标系与参数方程选做题) 极坐标方程分别为 ? ? 4cos? 和 ? ? ?8sin? 的两个圆的圆心距为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图,MN 是圆 O 的直径,MN 的延长线与圆 O 上过点 P 的切线 PA 相交于点 A,若

P

?M ? 300 ,切线 AP 长为 2 3 ,则圆 O 的直径长
为 。
A N O M

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?
2

?? (I)若 cos cos ? ? sin sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4 4

?

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求 3

函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应 的函数是偶函数。 17. (本小题满分 12 分)为了解大学生观看某电视节目是否与性别有关,一所大学心理学教师 从该校学生中随机抽取了 50 人进行问卷调查,得到了如下的列联表,若该教师采用分层抽样 的方法从 50 份问卷调查中继续抽查了 10 份进行重点分析,知道其中喜欢看该节目的有 6 人 喜欢看该节目 不喜欢看该节目 合计 女生 男生 合计 10 50 5

(Ⅰ) 请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ) 在犯错误的概率不超过 0.005 的情况下认为喜欢看该节目节目与性别是否有关? 说明你的理由; (III) 已知喜欢看该节目的 10 位男生中, A1 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5 还喜欢看新闻, B1 、

B2 、 B3 还喜欢看动画片, C1 、 C 2 还喜欢看韩剧,现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的
男生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考:
p?K2 ? k ?
k
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n ? ad ? bc ? (参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
18.(本小题满分 14 分)如图,已知 AB ⊥平面 ACD , DE ∥ AB ,

E

AD ? AC ? DE ? 2 AB =2,且 F 是 CD 的中点. AF ? 3
(Ⅰ)求证: AF ∥平面 BCE ; (Ⅱ)求证:平面 BCE⊥平面 CDE ; (III) 求此多面体的体积. C

B

A D

F (18 题图)

19 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 抛 物 线 C1 的 方 程 是 y ? ax2 (a ? 0) , 圆 C2 的 方 程 是 (

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ,直线 l : y ? 2 x ? m(m ? 0) 是 C1 ,C 2 的公切线,F 是 C1 的焦点.
(Ⅰ)求 m 与 a 的值; (Ⅱ)设 A 是抛物线 C1 上的一动点,以 A 为切点作 C1 的 切线交 y 轴于点 B,若 FM ? FA ? FB ,则点 M 在一定直 线上,试证明之.

1 ? ? x ? ln x ( x ? 2 ) ? 20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? ? x2 ? 2 x ? a ?1 ( x ? 1 ) ? ? 2
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的零点。

21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 对任意的正整数 n , 都有 an ? 5Sn ?1 成立,记 bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;
* (III) cn ? b2 n ? b n1 (n ? N ) , 记 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 ?

有 Tn ?

3 ; 2

广东省 2013 年高考文科数学模拟卷参考答案
石门中学狮山校区 命题人:陈 荣 2012 年 12 月
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 D 6 A 7 C 8 D 9 A 10 D

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.8 ; 12. 177; 13.

4 4 ; (如写 A ? 不扣分) 5 5

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. 2 5 ; 15.4 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (I)由 cos 得 cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

cos ? ? sin

?
4

3? sin ? ? 0 4
??3 分

sin ? ? 0

即 cos(

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?
2

,?? ?

?
4

21 世纪教育网

??6 分

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意,

?
4

)
??9 分

T ? 2? ? ? , 又T ? , 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) 2 3 ? 4

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
从而,最小正实数 m ? 17.(本小题满分 12 分) (I)由分层抽样知识知,喜欢看该节目的同学有 50 ? 同学有 50-30=20 人, 于是可将列联表补充如下:

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z ) 即 m ?

?
12

k? ? ? (k ? Z ) , 3 12
??12 分

6 ? 30 ,故不喜欢看该节目的 10
??2 分

喜欢看该节目 女生 男生 合计 20 10 30

不喜欢看该节目 5 15 20

合计 25 25 50 ??4 分

50 ? ? 20 ?15 ? 10 ? 5 ? ? 8.333 >7.879 (Ⅱ)? K ? 30 ? 20 ? 25 ? 25
2 2

??6 分

∴在犯错误的概率不超过 0.005 的情况下认为喜欢看该节目节目与性别有关. ??8 分 (III)从 10 位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各 1 名,其一切可能 的结果组成的基本事件如下:

? A1 , B1 , C1 ? , ? A1, B1, C2 ? , ? A1, B2 , C1 ? , ? A1 , B2 , C2 ? ,

? A1 , B3 , C1 ? , ? A1 , B3 , C2 ? , ? A2 , B1, C1 ? , ? A2 , B1 , C2 ? , ? A2 , B2 , C1 ? , ? A2 , B2 , C2 ? , ? A2 , B3 , C1 ? , ? A2 , B3 , C2 ? , ? A3 , B1 , C1 ? , ? A3 , B1 , C2 ? , ? A3 , B2 , C1 ? , ? A3 , B3 , C2 ? , ? A3 , B2 , C2 ? , ? A3 , B3 , C1 ? , ? A4 , B1, C1 ? , ? A4 , B1 , C2 ? , ? A4 , B2 , C1 ? , ? A4 , B2 , C2 ? , ? A4 , B3 , C1 ? , ? A4 , B3 , C2 ? , ? A5 , B1 , C1 ? , ? A5 , B1 , C2 ? , ? A5 , B2 , C1 ? , ? A5 , B2 , C2 ? , ? A5 , B3 , C1 ? , ? A5 , B3 , C2 ? (也可用树状图表示)基本事件的总数为 30 个
。 ??10 分

用 M 表示“ B1、C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 M 表示“ B1、C1 全被选 中 ” 这 一 事 件 , 由 于 M 由 ? A1 , B1 , C1 ? , ? A2 , B1 , C1 ? , ? A3 , B1 , C1 ? , ? A4 , B1 , C1 ? ,

? A5 , B1 , C1 ? ,5 个基本事件组成,所以 P ? M ? ?

5 1 ? 30 6 , 1 5 由对立事件的概率公式得 P ? M ? ? 1 ? P M ? 1 ? ? 6 6

??11 分 ??12 分

? ?

18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,

1 D E. 2 1 又 AB∥DE,且 AB= D E. 2
∴FP∥DE,且 FP= ∴AB∥FP,且 AB=FP, ∴ABPF 为平行四边形,∴AF∥BP. 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE (Ⅱ)∵ AF ? 3 ?CD ? 2 ,所以△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD ????3 分 ????5 分

∵AB⊥平面 ACD,DE//AB ∴DE⊥平面 ACD 又 AF ? 平面 ACD ∴DE⊥AF 又 AF⊥CD,CD∩DE=D ∴AF⊥平面 CDE 又 BP∥AF ∴BP⊥平面 CDE 又∵BP ? 平面 BCE ∴平面 BCE⊥平面 CDE (III)此多面体是一个以 C 为定点,以四边形 ABED 为底边的四棱锥,

????8 分

????10 分

S ABED ?

(1 ? 2) ? 2 ? 3 , 面ABDE ? 面ADC 2
????14 分

∴等边三角形 AD 边上的高就是四棱锥的高

1 VC ? ABDE ? ? 3 ? 3 ? 3 3
19.(本小题满分 14 分) 解: (I)由已知,圆 C 2 的圆心为 C2 (0,1) ,半径 r ? 5 , 由题设圆心到直 l : y ? 2 x ? m(m ? 0) 的距离 d ?

|1? m | 22 ? (?1) 2





|1? m | 22 ? (?1) 2

? 5, 解得 m ? ?6 ( m ? 4 舍去) ,

????3 分

设 l 与抛物线相切的切点为 A0 ( x0 , y0 ), 又 y? ? 2ax, 得 2ax0 ? 2,? x0 ? 代入直线方程,得

1 1 , y0 ? , a a

1 2 1 1 ????6 分 ? ? ?6,? a ? ,所以 m ? ?6, a ? . a a 6 6 1 3 (Ⅱ)由(1)知抛物线 C1 的方程为 y ? x2 , 焦点 F (0, ) , 6 2 1 2 1 1 2 设 A( x1 , x1 ) ,由(Ⅰ)知以 A 为切点的切线方程为 y ? x1 ( x ? x1 ) ? x1 , 6 3 6 1 2 令 x ? 0, 得点 B 的坐标为 (0, ? x1 ) , ????10 分 6 ??? ? ? 3 1 2 3 ??? 1 2 3 因为 F (0, ), 所以 FA ? ( x1 , x1 ? ), FB ? (0, ? x1 ? ) , 2 6 2 6 2 ???? ??? ??? ? ? ? ???? ? 3 ? FM ? FA ? FB ? ( x1 , ?3) ,设 M ( x, y),? FM ? ( x, y ? ) ? ( x1 , ?3) , 2 3 3 ????14 分 ? y ? ? , 即 M 点在定直线 y ? ? 上. 2 2
20、 (本小题满分 14 分)解: (I)①当 x ?

1 1 x ?1 时, f ?( x) ? 1 ? ? 2 x x

????1 分 ????4 分

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,? f ( x) 在 上是增函数 (1,+?)

1 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? a ?1 ? ( x ?1)2 ? a ? 2 2 1 ? f ( x) 在 ( ?1, ] 上是增函数 2 1 ? f ( x) 的递增区间是 ( ?1, ] 和 ????6 分 (1,+?) 2 1 1 (Ⅱ)①当 x ? 时,由(I)知 f ( x ) 在 ( ,1) 上递减,在 递增且 f ?(1) ? 0 (1,+?) 2 2 1 ? f ( x) 有极小值 f (1) ? 1 ? 0 ,? f ( x) 在 x ? 时无零点 ????8 分 2 1 ②当 x ? 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? a ?1 , ? ? 8 ? 4a 2
②当 x ? ⅰ当 ? ? 0 即 a ? 2 时, f ( x ) 无零点 ⅱ当 ? ? 0 即 a ? 2 时, f ( x ) 有 1 个零点 ? 1 ⅲ当 ? ? 0 且 f ( ) ? 0 时,即 ? ????10 分 ????11 分

1 2

1 ? a ? 2 时, f ( x) 有 2 个零点: 4
????12 分

x?

?2 ? 8 ? 4a ? ?1 ? 2 ? a 2

ⅳ当 ? ? 0 且 f ( ) ? 0 时,即 a ? ?

1 2

1 时, f ( x ) 有 1 个零点: 4
????13 分

x ? ?1? 2 ? a

综上所述:当 a ? 2 时, f ( x ) 无零点;当 a ? 2 时, f ( x ) 有 1 个零点 ? 1 ; 当

?2 ? 8 ? 4a 1 1 当 ? ?1 ? 2 ? a ; a ? ? 时, f ( x) 有 ? ? a ? 2 时, f ( x) 有 2 个零点 x ? 2 4 4
1 个零点 x ? ?1 ? 2 ? a 。 21.(本小题满分 14 分) 解: (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又?an ? 5Sn ?1, an?1 ? 5Sn?1 ?1 ∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? ????14 分

1 4
an?1 1 ?? an 4

? an?1 ? an ? 5an ?1 ,即

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? )n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? (? ) , bn ? 1 n 4 1 ? (? ) 4

?????3 分

(II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ? 1 1 ? (? ) n 4

5 5 20 15 ?16k ? 40 ?b2k ?1 ? b2k ? 8 ? ? ? 8? k ? ? 8? k ? 8. (?4)2k ?1 ?1 (?4)2k ?1 16 ?1 16k ? 4 (16 ?1)(16k ? 4) 5
∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ??? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ??? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? ????8 分

5 得 (?4) n ? 1

cn ? b2n?1 ? b2n ?
又 b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? 2n?1 ? ? ? ? 42n ?1 4 ? 1 (16n ?1)(16n ? 4) (16n )2 ? 3 ?16n ? 4 (16n )2 16n

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2 当 n ? 2 时,
1 1 [1 ? ( )n ?2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
????14 分


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