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成贤高数(下)期中试卷

成贤高数(下)期中试卷

东 南 大 学 成 贤 学 院 考 试 卷 (0 4 级 )
考试科目: 闭卷) 考试科目 高等数学 B (下、期中 (闭卷 考试日期:2005 年 4 月 下 期中) 闭卷 考试日期:2005 学号: 学号 题 号 得 分 一、填空题( 4分×5=20分 ) 填空题( 1.若平面 5 x ? 3 y + 4 z + 3 = 0 与平面 λx ? 3 y + 4 z ? 7 = 0 相垂直,则 λ = 2.幂级数 . 一 二 姓名: 姓名 三 四 五 成绩: 成绩 六 总 分

∑(?1 )
n=1



n ( x +1 )

n

n

的收敛域为

.

π ? 2 ∞ ?x , 0 ≤ x ≤ 2 3.设函数 f ( x) = ? ,若 S ( x) = bn sin nx ,其中 π ?π 2 , < x ≤ π n=1 2 ? 2 π π bn = f ( x)sin nxdx(n =1,2K) , 则S (? ) = . π 0 2





4.设 z = y 2 sin x ,则

?2z = ?x ?y

.

?z 2 = x2 + y2 ? 5.曲线 ? 2 在 xoy 面上的投影曲线方程为 ?z =2 y ?
二、单项选择题( 4分×4=16分 ) 单项选择题( 1.设常数 k > 0 ,则级数

.

∑(?1 ) n
n=1



k +n n2





(A)发散; B)绝对收敛; C)条件收敛; D)收敛性与 k 值有关. ( ( (
2.若幂级数

∑an ( x ?1) n在x = ?1 处收敛,则此级数在 x = 2 处
n=1







(A)发散; B)绝对收敛; C)条件收敛; D)收敛性不能确定. ( ( (
1

r r r r 3.若 a ?b = a ?c , 则

(

)

r r r r r r r r r r r r (A) b = c ; (B) a ⊥ b 且a ⊥ c ; (C) a = 0或b ? c = 0 ; (D) a ⊥ (b ? c ) .
4.二元函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处两个偏导数 f x ( x0 , y 0 ) , f y ( x0 , y 0 ) 存在是在该点连续的 (A)充分而非必要条件; (C)充要条件; ( 三、 8分×3= 24分 ) 1.判别 ( (B)必要而非充分条件; (D)既非充分又非必要条件. )

∑(?1 ) n?1 (
n=1



n +1 ? n ) 的收敛性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

并说明理由.

2.将 f ( x) =

1 x2

展开为 ( x ?1 ) 的幂级数,并指出收敛域.

2

3.将 f ( x) =

π? x ( 0 ≤ x ≤ π ) 展开为正弦级数. 2

( 四、 8分×3= 24分 ) 1.求过点 (1, 0, ? 2) 且和平面 x ? 4 z = 3 与平面 3 x ? y ? 3 z =1 交线平行的直线方程.

?z2 y2 ? 2.已知 oyz 平面上的曲线 C: ? 4 ? 9 =1 ,写出 C 分别绕 z 轴和 y 轴产生 ? x =0 ?

的旋转曲面方程.

3

2 2 2 ?u ?u ?u 3.已知 u = e x ( x + y + z ) ,分别求出 , , 及 du (1,1,1) . ?x ?y ?z

五、 10分 ) ( 2n +1 (2n +1) x 2n+1 求幂级数 的收敛域及和函数,并求数项级数 的和. n! n ! 2n n =0 n =0









( 六、 6分 ) 设正项数列 { a n }单调减少,且 是否收敛?并说明理由.





n=1

(?1) n a n 发散,试问级数

∑ ( 1+ an ) n
n=1



1

4


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