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3.3.1(13级)几何概型_图文

3.3.1(13级)几何概型_图文

3.3.1 几何概型

问题情境 假如一中在每个班级举行抽奖活动,每位获奖 者可以得到一个蛋糕。活动将每班所有同学的学号 输入电脑,通过电脑滚动大屏幕,每班抽取三位幸 运同学,请问本班每位同学获奖的概率是多少?

一、知识回顾
1.古典概型计算公式:
m(A包含的基本事件的个数)

P(A)= n( 基本事件的总数)

2.古典概型的两个基本特点: (1)所有的基本事件为有限个;(有限性) (2)每个基本事件发生都是等可能的.(等可能性)
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二、新课学习

问题情境: 问题1.取一根长度为30cm的绳子,拉直后在任 意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于 10cm的概率有多大?

基本事件: 从30cm的绳子上的任意一点剪断.
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问题2.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环. 从外向内为白色,黑色,蓝色,红色;靶心是金色, 金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭, 假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等 可能的,那么射中黄心的概率是多少? 基本事件:
射中靶面直径为122cm的 大圆内的任意一点.

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问题3:有一杯1升的水,其中漂浮有1个微 生物,用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个微生物的概率.

(1)试验中的基本事件是什么?
微生物出现的每一个位置都是一个基本事件, 微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.

(2)每个基本事件的发生是等可能的吗? (3)符合古典概型的特点吗?
以上问题能否古典概型描述该事件的概率?为什么?

上面三个随机试验有什么共同特点?

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(1)一次试验可能出现的结果有无限多个; (2) 每个结果的发生都具有等可能性.

1、几何概型的定义:

在几何区域D内任取一点, 基本事件: 取在每一点都是等可能的,

随机事件A: 在几何区域d内任取一点,(d ? D)
随机事件A发生的概率与d的大小成正比 把满足这样条件的概率模型称为几何概型.
几何概型的特点:
(1)基本事件有无限多个;
(2)基本事件发生是等可能的.
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如何求几何概型的概率? 1m 3m
1 P(B)= 3
1 ? ? ? 12.2 2 4 ? 0.01 P(A)= 1 ? ? ? 1222 4

1m

P(C)=
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0.1 ? 0.1 1

一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件 “该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则 事件A发生的概率为:

d的 度 测 P(A)= D的 度 测
注意:D的测度不能为0,其中“测度”的意义 依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形 时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等.
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2、数学应用

例1.随机事件A:“从正整数中任取两 个数,其和为偶数”是否为几何概型。 解:尽管这里事件满足几何概型的两个 特点:有无限多个基本事件,且每个基本

事件的出现是等可能的,但它不满足几何
概型的基本特征——能进行几何度量。所

以事件A不是几何概型。
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例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机 向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.

解 : 记“豆子落在圆内”为 事件A,
2a

圆的面积 πa π P(A)? ? ? 2 正方形面积 4a 4 π 答 豆子落入圆内的概率为 . 4

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例3.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳 子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离 都大于3m的概率.
解:记“灯与两端距离都大于3m”为事件A,

由于绳长8m,当挂灯位置介于中间2m
时,事件A发生,于是
2 1 事件A发生的概率P( ? ? A) 8 4

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3、运用 练习1:在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈 病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈 病种子的概率是多少?
解:取出10mL种子,其中“含有麦锈病种子”这一 事件为A,麦锈病在这1L种子中的分布可以看做是随 机的,取得10mL种子可视作区d,所有种子可视作区 域D.则有 取出种子的体积 10 1
P( A) ? 所以种子的体积 1000 100 = =

答:含有麦锈病种子的概率为0.01
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练习2、在等腰直角三角形ABC的斜边AB上任 取一点M,求AM小于AC的概率.(“测度”为长度)
分析:点M随机地落在线段AB上,故线段AB为区域D. 当点M位于图中线段AC/内时,AM<AC,故线段AC/即 为区域d.

解:在AB上截取AC/=AC, 于是P(AM<AC) =P(AM<AC/)
AC AC 2 ? ? ? AB AB 2
'

答:AM<AC的概率为
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2 2

4、小结

1)、几何概型解题注意事项

(1)、适当选择观察角度,把问题转化为几 何概型求解; (2)、把基本事件转化为与之对应的区域D; (3)、把随机事件A转化为与之对应的区域d; (4)、利用几何概型概率公式计算。 注意:要注意基本事件是等可能的。

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小结

2)几何概型与古典概型的区别和联系.

古典概型

几何概型
基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性

联系 区别 概率公式
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基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的有限性

m P ( A) ? n

d的测度 P( A) ? D的测度

作业:《步步高》P57

3.3.1


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