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黑龙江省鹤岗一中高一数学下学期期中试卷 文(含解析)

黑龙江省鹤岗一中高一数学下学期期中试卷 文(含解析)

2014-2015 学年黑龙江省鹤岗一中高一(下)期中数学试卷(文科)
一.选择题(每题 5 分,计 60 分) 2 1. (5 分) (2015 春?鹤岗校级期中)关于 x 的不等式 x ﹣2x+3>0 解集为( A. (﹣1,3) B. ? C. R D. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)



考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 根据不等式 x ﹣2x+3>0 与对应二次函数的关系,利用判别式,结合函数的图象与性 质,得出不等式的解集. 2 解答: 解:不等式 x ﹣2x+3>0 中, 2 △=(﹣2) ﹣4×1×3=﹣8<0, ∴该不等式的解集为 R. 故选:C. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目. 2. (5 分) (2015 春?鹤岗校级期中)若等差数列{an}的前三项为 x﹣1,x+1,2x+3,则这数列 的通项公式为( ) A. an=2n﹣5 B. an=2n﹣3 C. an=2n﹣1 D. an=2n+1 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列{an}的前三项为 x﹣1,x+1,2x+3,知(x+1)﹣(x﹣1)=(2x+3)﹣(x+1) , 解得 x=0.故 a1=﹣1,d=2,由此能求出这数列的通项公式. 解答: 解:∵等差数列{an}的前三项为 x﹣1,x+1,2x+3, ∴(x+1)﹣(x﹣1)=(2x+3)﹣(x+1) , 解得 x=0. ∴a1=﹣1,d=2, an=﹣1+(n﹣1)×2=2n﹣3. 故选 B. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的灵活运用. 3. (5 分)在△ABC 中,若 b=2asinB,则 A 等于( ) A. 30°或 60° B. 45°或 60° C. 120°或 60° D. 30°或 150° 考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 结合已知及正弦定理可求 sinA,进而可根据特殊角的三角形函数值可求 A 解答: 解:∵b=2asinB, 由正弦定理可得,sinB=2sinAsinB ∵sinB≠0 ∴sinA=

∴A=30°或 150° 故选 D 点评: 本题 主要考查了正弦定理及特殊角的三角函数值的简单应用,属于基础试题 4. (5 分) (2015 春?鹤岗校级期中)已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列{ 则 a8=( A. ﹣ ) B. C. D. ﹣ }为等差数列,

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 通过 a3=2、a7=1 计算出数列{ 解答: 解:∵a3=2,a7=1, ∴ = , = , }为等差数列, }的公差 d= ( = ﹣1= +d= + , = , ﹣ )= ( ﹣ )= , }的公差 d,利用 = +d,计算即得结论.

又∵数列{ ∴数列{ ∴ ∴a8=

故选:C. 点评: 本题考查等差数列的概念,注意解题方法的积累,属于基础题. 5. (5 分) (2014?江西)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b)
2 2

+6,C= A.

,则△ABC 的面积是( B. C.

) D. 3

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 2 2 2 2 2 分析: 将“c =(a﹣b) +6”展开,另一方面,由余弦定理得到 c =a +b ﹣2abcosC,比较两 式,得到 ab 的值,计算其面积. 2 2 2 解答: 解:由题意得,c =a +b ﹣2ab+6, 2 2 2 2 2 又由余弦定理可知,c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab, ∴﹣2ab+6=﹣ab,即 ab=6. ∴S△ABC= 故选:C. = .

点评: 本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也是 最方便的定理之一,高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角函数,向量, 不等式等放在一起综合考查.

6. (5 分) (2015 春?鹤岗校级期中)已知 a>0,b>0, + =1,则 2a+b 的最小值为( A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 2a+b=(2a+b) ( + )=5+ 解答: 解:∵a>0,b>0, + =1, ∴2a+b=(2a+b) ( + ) =5+ + ≥5+2 = =9 + ,由基本不等式求最值可得.



当且仅当

即 a=b=3 时 2a+b 取最小值 9

故选:B 点评: 本题考查基本不等式求最值,“1”的整体代入是解决问题的关键,属基础题. 7. (5 分)公差不为零的等差数列{an}中,2a3﹣a7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由 2a3﹣a7 +2a11=0 结合性质求得 a7,再求得 b7,由等比数列的性质求得 b6b8. 2 解答: 解:由等差数列的性质:2a3﹣a7 +2a11=0 得: 2 ∵a7 =2(a3+a11)=4a7, ∴a7=4 或 a7=0, ∴b7=4, 2 ∴b6b8=b7 =16, 故选:D. 点评: 本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值,是一道基础题. 8. (5 分) (2007?浦东新区一模) 已知非零实数 a, b 满足 a>b, 则下列不等式成立的是 ( A. a >b B.
2 2 2



C. a b>ab D.

2

2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题.

分析: 举特列,令 a=1,b=﹣2,经检验 A、B、C 都不成立,只有 D 正确,从而得到结论. 解答: 解:令 a=1,b=﹣2,经检验 A、B、C 都不成立,只有 D 正确, 故选 D. 点评: 本题考查不等式与不等关系,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确, 是一种简单有效的方法. 9. (5 分) (2015 春?鹤岗校级期中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= 则 n=( ) A. 90 B. 121 C. 119 D. 120 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 化简 an= 解答: 解:∵an= = = ﹣ ﹣ ,从而可得 Sn= , ﹣1=10,从而解得. ,Sn=10,

∴Sn=( ﹣1)+( ﹣ )+…+( ﹣ ) = ﹣1=10, 故 n+1=121, 故 n=120; 故选:D. 点评: 本题考查了分母有理化的应用及数列求和的应用,属于基础题. 10. (5 分) (2015 春?鹤岗校级期中)若不等式|x﹣4|﹣|x﹣3|≤a 对一切实数 x∈R 恒成立, 则实数 a 的取值范围是( ) A. a>1 B. a<1 C. a≤1 D. a≥1 考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 此题为恒成立问题,若不等式|x﹣4|﹣|x﹣3|≤a 对一切实数 x∈R 恒成立,则 a 一定 大于等于|x﹣4|﹣|x﹣3|的最大值,再把|x﹣4|﹣|x﹣3|看做函数解析式,利用图象求出值 域,找到最大值即可. 解答: 解:设 f(x)=|x﹣4|﹣|x﹣3|,去绝对值符号,

得 f(x)=

画出图象,如右图,根据图象,可知函数的值域为 ∵不等式|x﹣4|﹣|x﹣3|≤a 对一切实数 x∈R 恒成立, ∴a 大于等于 f(x)的最大值,即 a≥1 故选 D

点评: 本题主要考查了恒成立问题的解法,其中用到了图象法求函数的值域.

11. (5 分) (2015 春?鹤岗校级期中)若锐角△ABC 中,C=2B,则 的取值范围是( A. (0,2) B. ( ,2) C. ( , ) D. ( ,2)



考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由已知 C=2B 可得 A=180°﹣3B,再由锐角△ABC 可得 B 的范围,由正弦定理可得, = =2cosB.从而可求.

解答: 解:因为锐角△ABC 中,若 C=2B 所以 A=180°﹣3B



∴30°<B<45° 由正弦定理可得, = = ∵ ∴ =2cosB, <cosB< < < . , =

故选 C. 点评: 本题主要考查了三角形的内角和定理,正弦定理在解三角形的应用,同时考查二倍角 的正弦公式,属于中档题. 12. (5 分) (2015 春?鹤岗校级期中)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c, 且满足 2bcosB=acosC+ccosA,若 b= ,则 a+c 的最大值为( ) A. B. 3 C. D. 9

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 2 2 分析: 利用正弦定理化边为角,可求导 cosB,由此可得 B,由余弦定理可得:3=a +c ﹣ac, 2 由基本不等式可得:ac≤3,代入:3=(a+c) ﹣3ac 可得 a+c 的最大值. 解答: 解:2bcosB=ccosA+acosC, 由正弦定理,得 2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC, ∴2sinBcosB=sinB, 又 sinB≠0, ∴cosB= , ∴B= .
2 2

∵由余弦定理可得:3=a +c ﹣ac, ∴可得:3≥2ac﹣ac=ac, 2 2 ∴即有:ac≤3,代入:3=(a+c) ﹣3ac 可得: (a+c) =3+3ac≤12, ∴a+c 的最大值为 2 . 故选:A. 点评: 该题考查正弦定理、余弦定理及其应用,基本不等式的应用,考查学生运用知识解决 问题的能力,属于中档题. 二.填空题(每题 5 分,计 20 分) 13. (5 分) (2015 春?鹤岗校级期中)不等式|x﹣1|<2 的解集为 (﹣1,3)



考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由不等式|x﹣1|<2,可得﹣2<x﹣1<2,解得﹣1<x<3. 解答: 解:由不等式|x﹣1|<2 可得﹣2<x﹣1<2, ∴﹣1<x<3, 故不等式|x﹣1|<2 的解集为 (﹣1,3) , 故答案为: (﹣1,3) . 点评: 本题考查查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式来解. 14. (5 分) (2009?天河区校级模拟) (文) 等比数列{an}中, a1+a2=30, a3+a4=60, 则 a7+a8= 240 . 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 2 2 分析: 由等比数列的性质可得 a3+a4=(a1+a2)q ,把已知的 a1+a2=30,a3+a4=60 代入求出 q 6 6 的值,进而得到 q 的值,再利用等比数列的性质得到 a7+a8=(a1+a2)q ,把已知 a1+a2=30 及求 6 出的 q 值代入,即可求出值. 2 解答: 解:由等比数列的性质可得:a3+a4=(a1+a2)q , ∵a1+a2=30,a3+a4=60, 2 ∴q =2, 6 2 3 ∴q =(q ) =8,

则 a7+a8=(a1+a2)q =30×8=240. 故答案为:240 点评: 此题考查了等比数列的性质,属于利用等比数列的通项公式求解数列的项的问题,考 生常会直接利用通项公式把已知条件用首项、公比表示,解出首项及公比,代入到所求的式 子,而这样的解法一般计算量比较大,而灵活运用等比数列的性质,采用整体求解的思想, 可以简化运算. 15. (5 分) (2015?上海模拟)如图,在△ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=5,AC=7, DC=3,则 AB 的长为 .

6

考点: 专题: 分析: 解答:

余弦定理. 综合题. 先根据余弦定理求出∠ADC 的值,即可得到∠ADB 的值,最后根据正弦定理可得答案. 解:在△ADC 中,AD=5,AC=7,DC=3, =﹣ ,

由余弦定理得 cos∠ADC=

∴∠ADC=120°,∠ADB=60° 在△ABD 中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 ∴AB= 故答案为: . ,

点评: 本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用,在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理 和余弦定理.属基础题. 16. (5 分) (2014?静安区校级三模)设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn 若对任意 自然数 n 都有 = ,则 的值为 .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质和求和公式可得原式= ,代值计算可得.

解答: 解:由等差数列的性质和求和公式可得: = +

=

=

=

=

=

=

故答案为: 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 三.解答题(共 70 分) 17. (10 分) (2015 春?鹤岗校级期中) (1)求 y=x+ (2)求(x+y) ( + )的最小值,其中 x>0,y>0. (x>2)得最小值.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)变形为(x﹣2) (2)展开(x+y) ( + )=2 =2(x=3 时等号成立)即可求解. ,其中 x>0,y>0,利用不等式求解即可.

解答: 解: (1)∵x>2,x﹣2>0, ∴(x﹣2) ∴x+ 的最小值为 2+2=4 =2(x=3 时等号成立)

故 y 的最小值为 4,当且仅当 x=3 时等号成立 (2) ∴2 =2, ≥4(x=y 时等号成立)

故最小值为 4,当且仅当 x=y 时等号成立 点评: 本题考察了基本不等式的运用求解函数的最值,关键是恒等变形,确定等号成立的条 件,属于中档题. 18. (12 分) (2012?浙江) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 bsinA= (1)求角 B 的大小; acosB.

(2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 考点: 解三角形. 专题: 解三角形. 分析: (1)将已知的等式利用正弦定理化简,根据 sinA 不为 0,等式两边同时除以 sinA, 再利用同角三角函数间的基本关系求出 tanB 的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角 函数值即可求出 B 的度数; (2)由正弦定理化简 sinC=2sinA,得到关于 a 与 c 的方程,记作①,再由 b 及 cosB 的值, 利用余弦定理列出关于 a 与 c 的另一个方程,记作②,联立①②即可求出 a 与 c 的值. 解答: 解: (1)由 bsinA= acosB 及正弦定理 = ,得:sinBsinA= sinAcosB,

∵A 为三角形的内角,∴sinA≠0, ∴sinB= cosB,即 tanB= , 又 B 为三角形的内角,∴B= ; =
2 2 2

(2)由 sinC=2sinA 及正弦定理

,得:c=2a①,
2 2

∵b=3,cosB= ,∴由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得:9=a +c ﹣ac②, 联立①②解得:a= ,c=2 . 点评: 此题属于解直角三角形的题型,涉及的知识有:正弦、余弦定理,同角三角函数间的 基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键. 19. (12 分) (2014 秋?潍坊期中)等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn.等比数列{bn}的 各项均为正数,b1=1,且 b2+S2=12,a3=b3. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{ }的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设{an}公差为 d,数列{bn}的公比为 q,由已知可得 出数列{an}与{bn}的通项公式. (Ⅱ)由 ,得 ,由此利用裂项求和法能求 ,由此能求

出数列{

}的前 n 项和 Tn.

解答: 解: (Ⅰ)设{an}公差为 d,数列{bn}的公比为 q, 由已知可得 ,

又 q>0,∴

, .

∴an=3+3(n﹣1)=3n,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{an}中,a1=3,an=3n, ∴ ∴ ∴Tn= (1﹣ = = . }的前 n 项和 Tn 的求法,是中档题,解 , , )

点评: 本题考查数列{an}与{bn}的通项公式和数列{ 题时要注意裂项求和法的合理运用.

20. (12 分) (2015 春?鹤岗校级期中)已知函数 f(x)=|x+ |+|x﹣ |. (1)求不等式 f(x)≤3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)< |1﹣a|的解集是空集,求实数 a 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)利用绝对值的几何意义直接求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)求出函数的最小值,然后求解关于 x 的不等式 f(x)< |1﹣a|的解集是空集,得到实 数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 f(x)≤3,即|x+ |+|x﹣ |≤3. 不等式的几何意义,是数轴是的点 x,到 ∴﹣1≤x≤2, 不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}; 与 的距离之和不大于 3,

(Ⅱ)函数 f(x)=|x+ |+|x﹣ |. 由绝对值的几何意义可知:f(x)min≥2,

关于 x 的不等式 f(x)< |1﹣a|的解集非空, 只须:2< |1﹣a|,解得 a<﹣3 或 a>5. 关于 x 的不等式 f(x)< |1﹣a|的解集是空集,可得﹣3≤a≤5. 点评: 本题考查带绝对值的函数的应用,绝对值不等式的解法,绝对值的几何意义是解题的 关键. 21. (12 分) (2015 春?鹤岗校级期中)已知在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c, sinA+sinB﹣4sinC=0,且△ABC 的周长 L=5,面积 S= (1)求 c 和 cosC 的值; (2)求 的值. ﹣ (a +b ) .
2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)利用正弦定理化简已知的第一个等式,得到 a+b=4c,代入第二个等式中计算, 即可求出 c 的长; 利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积 S,代入已知的等式中,利用完全平方公式变 形后,将 a+b=4 代入化简,即可求出 cosC 的值; (2)由正弦定理列出关系式,变形后利用合比性质化简,即可求出所求式子的值. 解答: 解: (1)∵sinA+sinB﹣4sinC=0, ∴a+b=4c, ∵△ABC 的周长 L=5, ∴a+b+c=5,∴c=1,a+b=4. ∵面积 S= ∴ ∴sinC= , ∵c<a+b,C 是锐角, ∴cosC= (2) ∴ ∴ = = = = , = . = . = , ﹣ (a +b ) , = ﹣ (a +b )=
2 2 2 2

=



点评: 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,完全平方公式的运用,以及比例的性质, 熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

22. (12 分) (2014?石家庄一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1?a2=2,a3?a4=32. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 + + +…+ =an+1﹣1(n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和.
*

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,由已知得解得 求出 ;

(Ⅱ)由题意通过仿写作差求出 相减的方法求出数列{bn}的前 n 项和.

进一步求出

,利用错位

解答: 解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,由已知得

…(2 分)

又∵a1>0,q>0,解得

…(3 分)



;…(5 分)

(Ⅱ)由题意可得

, (n≥2)

两式相减得





, (n≥2)…(7 分)

当 n=1 时,b1=1,符合上式, ∴ 设 , (n∈N )…(8 分) , ,…(10 分) 两式相减得 ,
*



.…(12 分)

点评: 本题考查数列通项公式的求法、前 n 项和公式的求法;错位相减方法是求和方法中重 要的方法,属于一道中档题.


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