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2018高考数学大一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第六节对数与对数函数课件理_图文

2018高考数学大一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第六节对数与对数函数课件理_图文

第六节 对数与对数函数

本节主要包括3个知识点: 1.对数的运算; 2.对数函数的图象及应用;

3.对数函数的性质及应用.

突破点(一)
基础联通

对数的运算

抓主干知识的“源”与“流”

对数的概念、性质及运算
如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a

x=logaN ,其中 a 叫做 概念 为底 N 的对数,记作_________
对数的底数,N 叫做真数,logaN 叫做对数式

x=logaN 对数式与指数式的互化:ax=N?__________
性质
N loga1=0,logaa=1,alogaN=___

logaM+logaN loga(M· N)=____________
运算 法则 M logaM-logaN loga N =_______________ a>0,且a≠1, M>0,N>0

nlogaM (n∈R) logaMn=________
logcb (1)换底公式:logab=log a(a>0,且a≠1,c>0, c 且c≠1,b>0); 1 logad (2)logab=log a,推广logab· logbc· logcd=_____. b

重要 公式

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”
对数的运算

[典例]
[解]

计算:(1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2)2;

(1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52

=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5 =(1+1)lg 2+2lg 5 =2(lg 2+lg 5)=2.

?lg 3?2-lg 9+1?lg 27+lg 8-lg 1 000? (2) ; lg 0.3· lg 1.2 (3)(log32+log92)· (log43+log83).
[解] 3? 3+3lg 2-2? ?lg 3? -2lg ? (2)原式= ?lg 3-1?· ?lg 3+2lg 2-1?
2

?3 3+1?2lg ?

3 ?1-lg 3?· 2?lg 3+2lg 2-1? 3 = =-2. ?lg 3-1?· ?lg 3+2lg 2-1?
?lg (3)原式=?lg ?

2 lg 2? ?lg 3 lg 3? ?lg 2 lg 2 ? ?? +lg 8?=?lg 3+2lg 3?· 3+lg 9?· lg 4 ? ? ? ? 2 5lg 3 5 3· 6lg 2=4.

? lg 3 lg 3 ? 3lg ? +3lg 2?= 2lg 2 ? ? 2lg

[方法技巧]
解决对数运算问题的四种常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数 式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (4)利用常用对数中的lg 2+lg 5=1.

能力练通
2

抓应用体验的“得”与“失”
( )

1 1. ?log23? -4log23+4+log23= A. 2 C.-2 B.2-2log23 D.2log23-2

解析:

?log23?2-4log23+4 =

?log23-2?2 =2-log23,又

1 log23=-log23,两者相加即为B. 答案:B

1 2.2lg 25+lg 2-lg 0.1-log29×log32的值是________.
1 1 1 解析:原式=lg 5+lg 2+2-2=1+2-2=-2. 1 答案:-2

1 32 4 3.2lg49-3lg 8+lg 245=________.
1 4 1 1 解析:原式=2(5lg 2-2lg 7)-3×2×3lg 2+2(lg 5+2lg 7) 1 1 =2(lg 2+lg 5)=2. 1 答案:2

1 4.已知2 =12,log23=y,则x+y的值为________.
x

1 解析:∵2 =12,∴x=log212,∴x+y=log212+log2 3 =
x

log24=2. 答案:2

1 1 5.设2 =5 =m,且a+b=2,则m=________.
a b

解析:∵2a=5b=m>0,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴a+b=log m+log m=logm2+logm5=logm10=2. 2 5 ∴m2=10,∴m= 10. 答案: 10

突破点(二)
基础联通

对数函数的图象及应用

抓主干知识的“源”与“流”

1.对数函数的图象
函数 y=logax,a>1 y=logax,0<a<1

图象

图象 特征

在y轴 右侧 ,过定点(1,0) 当x逐渐增大时,图 象是 上升 的 当x逐渐增大时,图象是

下降 的 _____

2.底数的大小决定了图象相对位置的高低 不论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图 象对应的对数函数的底数逐渐变大,如图,0<c<d<1<a<b.

3.指数函数与对数函数的关系 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1) 互为 反函数 ,它们的图象关于直线 y=x 对称.

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

对数函数图象辨析 1 [例1] 函数f(x)=lg 的大致图象为 |x+1|

(

)

[解析]

1 f(x)=lg =-lg|x+1|的图象可由偶函数y= |x+1|

-lg|x|的图象左移1个单位得到. 由y=-lg|x|的图象可知选D. [答案] D

[方法技巧]
研究对数型函数图象的思路 研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函 数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别 地,要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况.

对数函数图象的应用
[例2] (2017· 长沙五校联考)设方程10x=|lg(-x)|的两个根 ( B.x1x2=1 D.0<x1x2<1 )

分别为x1,x2,则 A.x1x2<0 C.x1x2>1

[解析]

构造函数y=10x与y=|lg(-x)|,

并作出它们的图象,如图所示.因为x1,x2是 10x=|lg(-x)|的两个根, 则两个函数图象交点的横坐标分别为x1,x2,不妨设x2<- 1,-1<x1<0,

则10x1=-lg(-x1),10x2=lg(-x2), 因此10x2-10x1=lg(x1x2), 因为10x2-10x1<0, 所以lg(x1x2)<0, 即0<x1x2<1. [答案] D

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1.[考点二]已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直 线y=a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1, x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 A.x2<x3<x1 C.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1 ( )

解析:分别作出三个函数的图象,如图所示,由图可知 x2<x3<x1. 答案:A

2.[考点一]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)= logax(a>0且a≠1)的图象可能是 ( )

解析:当a>1时,函数f(x)=xa(x≥0)单调递增,函数g(x)= logax单调递增,且过点(1,0),由幂函数的图象性质可知C 错;当0<a<1时,函数f(x)=xa(x≥0)单调递增,且过点 (1,1),函数g(x)=logax单调递减,且过点(1,0),排除A,又由 幂函数的图象性质可知B错.故选D. 答案:D

3.[考点二]已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数, 其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成 立的是 A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 ( )

解析:由对数函数的性质得0<a<1,因为函数y=loga(x+c) 的图象在c>0时是由函数y=logax的图象向左平移c个单位得 到的,所以根据题中图象可知0<c<1. 答案:D

4.[考点二]当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,则实数 a的取值范围是________.
解析:设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时, 不等式(x-1)2<logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的 图象在f2(x)=logax图象的下方即可. 当0<a<1时,显然不成立; 当a>1时,如图,要使x∈(1,2)时f1(x)=(x -1)2的图象在f2(x)=logax的图象下方,只需f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2,又即loga2≥1,所以1<a≤2,即实数a的 取值范围是(1,2]. 答案:(1,2]

突破点(三)
基础联通

对数函数的性质及应用

抓主干知识的“源”与“流”

对数函数的性质
函数 定义域 值域 质 函数值 y=logax(a>0,且a≠1) a>1 (0,+∞) R 0<a<1

增函数 在(0,+∞)上是______ 减函数 性 单调性 在(0,+∞)上是_______

y=0 当x=1时,_____
当x>1时, y<0 ;当 0<x<1时, y>0

变化规 当x>1时, y>0 ;当 律 0<x<1时, y<0

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

求函数的定义域
[例1] x2-5x+6 函数f(x)= 4-|x|+lg 的定义域为( x-3 B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6]
? ?-4≤x≤4, 得? ? ?x>2且x≠3,

)

A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4]
?4-|x|≥0, ? 2 由 ?x -5x+6 >0, ? x - 3 ?

[解析]

故函数定义

域为(2,3)∪(3,4],故选C.

[答案]

C

比较对数式的大小
[例2] 11 11 1 已知a=log23,b=log32,c=log23,则 B.b>c>a D.b>a>c ( )

A.a>b>c C.c>b>a

[解析]

11 11 1 ∵a=log 2 3 >1,0<b=log 3 2 =log32<1,c=log2 3

=-log23<0,∴a>b>c. [答案] A

[方法技巧]
比较对数式大小的三种方法 (1)单调性法:在同底的情况下直接得到大小关系, 若不同底,先化为同底. (2)中间量过渡法:即寻找中间数联系要比较的两个 数,一般是用“0”,“1”或其他特殊值进行“比较传递”. (3)图象法:根据图象观察得出大小关系.

简单对数不等式的求解
[例3] 已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,则实数x的

取值范围是________.

[解析]

原不等式?

? ?0<x<1 ? 2 ? ?2x +1>3x>1

①或

? ?x>1 ? 2 ? ?2x +1<3x<1

1 1 ②,解不等式组①得 3 <x< 2 ,不等式组②无解,所以实数x的取
?1 1 ? 值范围为?3,2?. ? ?

[答案]

?1 1? ? , ? ?3 2?

[方法技巧]
简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质 化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一 般不等式求解. (2)对数函数的单调性和底数a的值有关,在研究对数 函数的单调性时,要按0<a<1和a>1进行分类讨论. (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题,利 用数形结合法求解.

对数函数的综合问题
[例4] 函数f(x)=loga(ax-3)(a>0,且a≠1)在[1,3]上单调 递增,则a的取值范围是 A.(1,+∞)
? 1? C.?0,3? ? ?

( B.(0,1) D.(3,+∞)

)

[解析]

由于a>0,且a≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若

函数f(x)为增函数,则f(x)=logau必为增函数,因此a>1.又u= ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3. [答案] D

[方法技巧]
与对数有关的单调性问题的解题策略 (1)求出函数的定义域. (2)判断对数函数的底数与1的关系,当底数是含字母 的代数式(包含单独一个字母)时,要考查其单调性,就必 须对底数进行分类讨论. (3)判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函 数“同增异减”原则判断函数的单调性.

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”
2 log3?2x-1?的定义域是 B.[1,2)
?1 ? D.?2,1? ? ?

1.[考点一]函数 y= A.[1,2]
?1 ? C.?2,1? ? ?

(

)

解析:由log 2
3

1 (2x-1)≥0,得0<2x-1≤1,即 2 <x≤1,即 答案:D

?1 ? 函数定义域为?2,1?. ? ?

2.[考点二](2017· 石家庄模拟)已知a=log23+log2 -log2 3,c=log32,则a,b,c的大小关系是 A.a=b<c C.a<b<c B.a=b>c D.a>b>c

3 ,b=log29 ( )

解析:因为a=log23+log2

3 3=log23 3=2log23>1,b=log29

-log2 3=log23 3=a,c=log32<log33=1,所以a=b>c. 答案:B

3.[考点四]若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减, 则a的取值范围为 A.[1,2) C.[1,+∞) B.[1,2] D.[2,+∞) ( )

解析:令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对 称轴为x=a,要使函数在(-∞,1]上递减,则有
? ?2-a>0, 即? ? ?a≥1, ? ?g?1?>0, ? ? ?a≥1,

解得1≤a<2,即a∈[1,2).

答案:A

4.[考点四]设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n] (m<n), 1 值域为[0,1],若 n-m 的最小值为3,则实数 a 的值为 ( 1 A.4 1 2 B.4或3 2 C.3 2 3 D.3或4 )

解析:作出 y=|logax|(0<a<1)的大致图象如图,
?1 ? 1 令|logax|=1,得 x=a 或 x=a,又 1-a-?a-1? ? ?

1-a ?1-a??a-1? 1 =1-a- a = <0, 故 1-a<a-1, a 1 2 所以 n-m 的最小值为 1-a=3,即 a=3. 答案:C

5.[考点三]已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则 满足不等式 f(x)>0 的 x 的取值范围是________.
解析:由题意知 y=f(x)的图象如图所示, 所以满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-1,0) ∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞)

[全国卷 5 年真题集中演练——明规律] 1.(2016· 全国乙卷)若 a>b>1,0<c<1,则

(

)

A.ac<bc C.alogbc<blogac

B.abc<bac D.logac<logbc

解析: ∵ y = xα , α ∈ (0,1) 在 (0 ,+ ∞) 上是增函数,∴当 a>b>1,0<c<1 时, ac>bc, 选项 A 不正确. ∵ y = xα , α∈(-1,0) 在(0,+∞)上是减函数,∴当 a>b>1,0<c<1,即-1<c-1<0 时, ac-1<bc-1, 即 abc>bac, 选项 B 不正确. ∵a>b>1, ∴lg a>lg a b b>0,∴alg a>blg b>0,∴lg b>lg a.又∵0<c<1,∴lg c<0. alg c blg c ∴ lg b < lg a ,∴ alogbc<blogac ,选项 C 正确.同理可证 logac>logbc,选项 D 不正确. 答案:C

2.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714, 则 A.c>b>a C.a>c>b B.b>c>a D.a>b>c ( )

解析:a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714 =1+log72,则只要比较log32,log52,log72的大小即可,在 同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y=log7x的图象 (图略),由三个图象的相对位置关系,可知a>b>c,故选D. 答案:D

1 3.(2012· 新课标全国卷)当0<x≤ 2 时,4x<logax,则a的取值范 围是
? A. ? ?0, ?

( 2? ? 2? ?
? B. ? ? ? ? 2 ? , 1 ? 2 ?

)

C.(1, 2)

D.( 2,2)

1 解析:∵0<x≤ 2 ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1,∴0<a<1,排 1 1 1 11 除C、D;取a= 2 ,x= 2 ,则有4 2 =2,log 2 2 =1,显然 4x<logax不成立,排除A,故选B. 答案:B


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