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重庆市九校联盟2013届高三上学期期末考试 数学(理)试题 Word版含答案

重庆市九校联盟2013届高三上学期期末考试 数学(理)试题 Word版含答案


绝密★启用前 九校联考高 2013 级高三上期数学试题(理科) 命题学校 重庆市大足第一中学校 注意事项: 1. 2. 3. 4. 5. 答题前,务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡规定的位置上。 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选其他答案标号。 答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 本试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题,共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一项符合要求. )

1.设复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 6 ? 2i ,则复数 z 的共轭复数是(
A. 2 ? 4i B. 2 ? 4i C. 4 ? 4i ) D. 4 ? 4i

).?

2.已知 cos? ? tan? ? 0 ,那么角 ? 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角

B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

b 3 .已知: b 为单位向量, a ? 6 3 ,且 a? ? ?9 ,则 a 与 b 的夹角是 (
A. 300 B. 600 C. 1200 ) C. D. 1500

?

?

? ?

?

?



4. a ? b ? 0, 下列不等式中正确的是( A. b ? a
2 2

B.

1 1 ? a b


b ?1 a

D.

?a ? ?b

5.下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, e
x0

?0

B. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充要条件 C. x x ? 4 ? 0 ? x x ? 1 ? 0 ? (?2,1)
2

?

? ?
x

?

D. 命题 ?x ? R, 2 ? x

2

的否定是真命题。

?x ? 2 y ? 2 ? 6.已知变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 2 则 z ? x ? 5 y 的最小值为( ? x ? 0, y ? 0 ?
A.1 B. 2 C.4 D. 10



7.下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是(



A. ① y ? x ② y ? x ③ y ? x ④ y ? x
2 3 2

1 3

1 2

?1

B. ① y ? x ② y ? x ③ y ? x ④ y ? x C. ① y ? x ② y ? x ③ y ? x 2 ④ y ? x
2 3

1 2

?1

1

?1

D. ① y ? x 3 ② y ? x 2 ③ y ? x ④ y ? x
2

1

1

?1

8.已知直线 l1 : x ? (a ? 2) y ? 2 ? 0, l 2 : (a ? 2) x ? ay ? 1 ? 0 ,则“ a ? ?1 ”是“ l1 ? l 2 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



x2 y 2 9.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交于 P, Q 两 a b
点,如果 ?PQF 是等边三角形,则双曲线的离心率 e 的值为( )

A.

1 2

B.

3 2

C. 2

D. 3

10.规定记号“ ? ”表示一种运算,即: a? b ? a ? 2ab ? b ,设函数 f ( x) ? x? 2 。且关于 x 的
2 2

方程为 f ( x) ? lg x ? 2 ( x ? ?2) 恰有四个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的值是( A. ?4 B. 4 ) 。 C. 8 D. ?8 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 ) 11.已知抛物线 y ?

1 2 x ,则它的焦点坐标为 4
?log 3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? x 9 ?2 , x ? 0
2

.

12.已知函数 f ( x) ? ?

.

13.二次函数 f ( x) ? ? x ? 1的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为

.

14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

an ? 1 , n ? N * ,则数列 ?an ? 的前 2013 项的和 an

S2013 ?

.

15.已知函数 f (x) 的定义域为 [?2, ??), 部分对应值如下表, f ?( x) 为 f (x) 的导函数,函数

y ? f ?( x) 的图象如右图所示:

x
f (x)

-2 1

0 -1

4 1

若两正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 ..

b?3 的取值范围是 a?3

.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时写出必要的文字说明、演算步骤、推理过程) 16.(本题 满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) x ? [?

?
6

) ? 2cos 2 x

? ?

, ] ,求函数 f (x) 的最大值及相应的自变量 x 的取值. 6 3

17.(本题满分 13 分)已知 ? C 与两平行直线 x ? y ? 0及x ? y ? 4 ? 0 都相切,且圆心 C 在 直线 x ? y ? 0 上, (Ⅰ)求 ? C 的方程; (Ⅱ)斜率为 2 的直线 l 与 ? C 相交于

A, B 两点,O 为坐标原点且满足 OA ? OB ,求直线

??? ?

??? ?

l 的方程。

18.(本题满分 13 分) 在锐角 △ABC 中,内角 A B,C 对边的边长分别是 a,b,c , ,

且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)求 ?C (Ⅱ)若 c ? 2 , a ? b ? ab ,求Δ ABC 的面积

19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 4ln x ? a ( x ? 0)
2

(Ⅰ)求函数的单调区间; (Ⅱ)a 为何值时,方程 f ( x) ? 0 有三个不同的实根.

20.(本题满分 12 分)如图,在平面直坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,经 a 2 b2

过点 (1, e) ,其中 e 为椭圆的离心率.且椭圆 C 与直线 y ? x ? 3 有且只有一个交点。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设不经过原点的直线 l 与椭圆 C 相交与 A,B 两点,第一象限内 的点 P (1, m) 在椭圆上, 直线 OP 平分线段 AB ,求:当 ?PAB 的面积取得最大值时直线 l 的方程。

y P

A

o
B

x

21. (本题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 Sn 且 a1

? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, (n ? N ? ) ,

? 1。

(Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

an ?1 ? 1 ,证明:对一切正整数 n , an ?1 ? 2

都有: n ?

3 1 ? Tn ? n ? 2 4

高 2013 级高三上期九校联考试题 数学(理科)参考答案及评分意见 一、选择题: 1. B 2. C 二、填空题: 11. (0,1) 三、解答题 16.解:( 1)∵ f ( x) ? 12. 3.D 4. A 5.D 6. B 7. B 8. A 9. C 10. D

1 4

13.

4 3

14.

2013 2

15. ( , )

3 7 5 3

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? (1 ? cos x) ????????2 分 2 2

?

3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin(2 x ? ) ? 1, ???????????4 分 2 2 3
???????6 分 ???????? 10 分

∴函数 f (x) 的最小正周期 T ? ? . (2)由 ?

?
6

?x?

?
3

,得 ?

2? ? ? ? 2x ? ? 3 3 3

∴由图像知当 2 x ?

?
3

?

?
3

即x?

?
3

时,有 ymax ? 3 ?

3 1 ?1 ? 2 2

?????? 13 分

17.解: (1)由题意知 ? C 的直径为两平行线 x ? y ? 0及x ? y ? 4 ? 0 之间的距离 ∴ d ? 2R ?

0 ? (?4) 2

? 2 2 解得 R ? 2 ,?????????????3 分 2a

? R ? 2 得 a ? ?1 ,检验得 a ? 1 ???6 分 2 2 2 ∴ ? C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 ???????????????7 分
由圆心 C 到 x ? y ? 0 的距离 (2)由(1)知 ? C 过原点,若 OA ? OB ,则 l 经过圆心,????? 9 分 易得 l 方程: 2 x ? y ? 3 ? 0 ??????????13 分 (注:其它解法请参照给分.) 18.解: (1)由正弦定理有 3 sin A ? 2sin A sin C 即 sin C ? 又在锐角 △ABC 中 故 ?C =

??? ?

??? ?

? ??????????????????6 分 3
2 2

3 2

(2)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ?① 由 a ? b ? ab 平方可得, a ? b ? (ab) ? 2ab ?②
2 2 2

1 ab sin C ? 3 ????????13 分 2 4 2( x ? 1)( x ? 2) 19.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2 x ? ? 6 ? ( x ? 0) x x
联立①②可得 ab ? 4 , ∴ S△ ABC ?

由?

? f ?( x ) ? 0 ? f ?( x ) ? 0 得 0 ? x ? 1或x ? 2 由 ? 得1 ? x ? 2 ?x ? 0 ?x ? 0

∴ f ( x) 在 (0,1)和(2, ??) 单调递增; f ( x) 在 (1, 2) 单调 递减????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 y极大 ? f (1) ? a ? 5 , y极大 ? f (2) ? 4 ln 2 ? 8 ? a ?????8 分

?a ? 5 ? 0 解得 5 ? a ? 8 ? 4ln 2 ???11 分 f ( x) ? 0 有三个不同的实根,则 ? ? 4 ln 2 ? 8 ? a ? 0
∴当 5 ? a ? 8 ? 4ln 2 时 f ( x) ? 0 有三个不同的实根???????????12 分

1 e2 c 20.解: (Ⅰ)∵椭圆经过点 (1, e) ,∴ 2 ? 2 ? 1 又 e ? , a b a 2 1 c 2 ∴ 2 ? 2 2 ? 1 ,∴ b ? 1 a ab x2 2 ∴椭圆的方程为 2 ? y ? 1 ????????????????2 分 a
又∵椭圆 C 与直线 y ? x ? 3 有且只有一个交点

∴方程

x2 ? ( x ? 3) 2 ? 1 即 (1 ? a 2 ) x 2 ? 2 3a 2 x ? 2a 2 ? 0 有相等实 根 2 a
2 2 2 2

∴ ? ? (2 3a ) ? 4(1 ? a ) ? 2a ? 0

∴a ? 2
2

x2 ? y 2 ? 1 ??????????????????5 分 ∴椭圆的方程为 2 x2 2 ? y 2 ? 1 故 P (1, (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆的方程为 ) 2 2
设不经过原点的直线 l 的方程 y ? kx ? t (t ? 0) 交椭圆 C 于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 由? 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4ktx ? 2t ? 2 ? 0 ? y ? kx ? t ?

???????????6 分

? ?? ? (4kt ) 2 ? 4(1 ? 2k 2 ) ? (2t 2 ? 2) ? 16k 2 ? 8t 2 ? 8 ? 0 ? ?4kt ∴? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 2t ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ? ??????7 分 2 ? 2t ? 2 1 ? 2k 2 ? x1 x2 ? 1 ? 2k 2 ?

直线 OP 方程为 y ?

2 x 且 OP 平分线段 AB 2



2 2 2t ?4kt = 解得 k ? ? ?????????????????8 分 ? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
2 2

∴ AB ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 又∵点 P 到直线 l 的距离 d ∴ S?PAB ?

(1 ? k 2 )(4 ? 2t 2 )

?

2 ?t 1? k 2

?h

1 1 AB h ? ( 2 ? t )2 (4 ? 2t 2 ) ????????????????9 分 2 2
2 2 4 3

设 f (t ) ? ( 2 ? t ) (4 ? 2t ) ? ?2t ? 4 2t ? 8 2t ? 8 由直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点可得 ? 2 ? t ? 2 求导可得 t ? ?

2 27 时f (t )在(? 2, 2) 上有最大值 ,此时 S ?PAB 取得最大值 2 2
2 2 ?????????????????12 分 x? 2 2

此时直线 l 的方程 y ? ? 20.解: (Ⅰ)∵

Sn ? an?1 ? 2n ?1 ? 1, (n ? N ? ) a1 ? 1 ? a2 ? 22 ? 1

∴ S1

a2 ? 4 a3 ? 12 ?????????????4 分
得 an ?1 ? 2an ? 2 (n ? 2)
n

S2 ? a3 ? 23 ? 1

? S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, (n ? 1) ? (Ⅱ)由 ? ? S ? a ? 2n ? 1, (n ? 2) n ? n ?1
检验知 a1 ? 1 , a2
n

? 4 满足 an?1 ? 2an ? 2n (n ? 2)

∴ an ?1 ? 2an ? 2 (n ? 1) 变形可得

an ?1 a ? nn 1 ? 1(n ? 1) n 2 2?

∴数列 ?

? an ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差 n ?1 ? ?2 ?
n ?1

解得 an ? n ? 2

(n ? 1) ???????????????????7 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 an ? n ? 2 代入得 bn ?
n ?1

n ?1

(n ? 1)

an ?1 ? 1 (n ? 1) ? 2n ? 1 3 = ?????8 分 ? 1? n an ?1 ? 2 (n ? 1) ? 2 ? 2 ( n ? 1) ? 2n ? 2

∵2

? (n ? 1) ? 2n ? 2 ? 22 n ?1

∴1 ? ∴1 ?

3 3 3 ? 1? ? 1 ? 2 n ?1 n ?1 n 2 (n ? 1) ? 2 ? 2 2

3 3 ? bn ? 1 ? 2 n?1 n ?1 2 2 3 3 3 3 3 3 ∴ n ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? Tn ? n ? ( 3 ? 5 ? ? ? 2 n ?1 ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 [1 ? ( ) n ] [1 ? ( ) n ] 4 2 ? T ? n ? 3? 8 即 n ? 3? 4 n 1 1 1? 1? 2 4 3 1 n 1 1 n ∴ n ? [1 ? ( ) ] ? Tn ? n ? [1 ? ( ) ] 2 2 2 4 3 1 ? n ? N ∴ n ? ? Tn ? n ? ? n ? 1 ???????????????????12 分 2 2 4


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