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2019年黑龙江省哈三中高三下期第二次模拟考试数学理试题(含答案)

2019年黑龙江省哈三中高三下期第二次模拟考试数学理试题(含答案)

高考数学精品复习资料

2019.5
哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学试卷(理工类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,
字体工整,字迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草
稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第 I 卷 (选择题, 共 60 分)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的.)

1.设集合

A

?

?? ?

x

??

2 ? 2x ? 2

2

?? ?



B

?

?x

ln

x

?

0?

,则

A

??

B?

A. (? 1 , 1 ) 22

B. (0, 1) 2

C.[ 1 ,1) 2

D. (0, 1] 2

2. 设命题 p :若 x, y ? R , x ? y ,则 x ? 1;命题 q :若函数 y

f e? x? ?

x ,则对任意 x1 ? x2 都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立.在命题① p ? q ; ② p ? q ; ③ p ? (?q) ; ④ (?p) ? q 中,真命
x1 ? x2

题是

A.①③

B. ①④

3.已知复数 z ? 1? i ,则 z2016 ? 1? i

C. ②③

D. ②④

A.1

B. ?1

C. i

D. ?i

4.口袋中有 5 个小球,其中两个黑球三个白球,从中随机取出两个球,则在取到的两个球同色的条 件下,取到的两个球都是白球的概率

A. 1 10

B. 3 10

C. 1 4

D. 3 4

5.已知 x , y 满足约束条件

则目标函数 z ? 2x ? y 的最大值为

A. ? 1 2

B.1

C. 4

D. 5

6.如图,给出的是求 1 ? 1 ? 1 ? …… ? 1 的值的一个程序框图,

246

20

开始 S ? 0, n ? 2,i ?1

则判断框内填入的条件是

A. i ?10

B. i ?10

C. i ? 9

D. i ? 9

输出 S 结束


?

S?S?1 n
n?n?2

i ? i ?1

7. 在平面直角坐标系中,双曲线 C 过点 P(1,1),且其两条渐近线的方程分别为 2x ? y ? 0 和

2x ? y ? 0 ,则双曲线 C 的标准方程为

A. x2 ? 4 y2 ? 1 33

B. 4x2 ? y2 ? 1 33

C. 4 y2 ? x2 ? 1 33

D. 4x2 ? y2 ? 1 或 x2 ? 4 y2 ? 1

33

33

8.已知函数 f (x) ? sin(2x ? ?) ( ? ? ? )的图象过点 P(0, 1) ,如图,则? 的值为
2

A. ?

B. 5?

y

6

6

1

1

P2

C. ? 或 5? 66

D. ? ? 或 5? 66

o

x

9.等腰直角 ?ABC 中,?A ? ? , AC ?1 ,BC 在 x 轴上,有一个半径为1的圆 P 沿 x 轴向 ?ABC 2
?x ? y ?1 ? 0, ??x ? y ? 2 ? 0, ?

滚动,并沿 ?ABC 的表面滚过,则圆心 P 的大致轨迹是(虚线为各段弧

所在圆的半径)

P A

22

22

B

Cx

A.2

2 B2.

2 C.

2 2 D.2

? ? ? ? 10.已知数列 an 为等差数列,且公差 d ? 0 ,数列 bn 为等比数列,若 a1 ? b1 ? 0 , a4 ? b4 ,则

A. a7 ? b7

B. a7 ? b7

C. a7 ? b7

D. a7 与 b7 大小无法确定

11.四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 的正方形,高为 1,其外接球半径为 , 则正方形 ABCD 的中心与点 P 之间的距离为

A.

B.

C. 或 1

D. 或

12.已知点 P 为函数 f ?x? ? ln x 的图像上任意一点,点 Q 为圆[x ? ( e ? 1 )]2 ? y2 ? 1 上任意一点,
e

则线段 PQ 的长度的最小值为

A. e ? e2 ?1 e
C. e2 ?1 ? e e

B. 2e2 ?1 ? e e
D. e ? 1 ?1 e

20xx 哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷(理工类)
第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分)
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上.)

? 13.若

m (2

x

?1)dx

?

6

,则二项式

(1

?

2

x)3m

的展开式各项系数和为

1



14.点 P 在 ?ABC 的边 BC 所在直线上,且满足 AP ? 2m AB ? n AC ( m, n ? R ),则在平面直角坐

标系中,动点 Q(m ? n, m ? n) 的轨迹的普通方程为



15.数列{an} 中,

an

?

0 ,前

n

项和为

Sn

,且

Sn

?

an (an 2

? 1)

(n ?

N*)

,则数列{an} 的通项公式





16.一个空间几何体的三视图如图所示,

则这个几何体的体积为



4

23

2

2 正视图
2

4 侧视图

4

4 俯视图
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分 12 分)

已知 f (x) ? 2sin x ( 3 cos x ? sin x) ?1.

2

22

(Ⅰ)若 x ?[? , 2? ] ,求 f (x) 的值域; 63

(Ⅱ)在 ?ABC 中, A 为 BC 边所对的内角,若 f ( A) ? 2 , BC ? 1,求 AB ? AC 的最大值.

18.(本小题满分 12 分)

n

? 某汽车公司为(x调i ?查x)(4ySi ?店y个) 数对该公司汽车销量的影响,对同等规模的 A,B,C,D,E 五座城
b? ? i?1 n
? 市的 4S 店一季(度xi 汽? x车)2销量进行了统计,结果如下:

城市i?1

A

B

C

D

E

4S 店个数 x

3

4

6

5

2

销量 y(台)

28

30

35

31

26

(Ⅰ)根据该统计数据进行分析,求 y 关于 x 的线性回归方程;

(Ⅱ)现要从 A,B,E 三座城市的 9 家 4S 店中选取 4 家做深入调查,求 A 城市中

被选中的 4S 店个数 X 的分布列和期望.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:





a? ? y ? b?x

19.(本小题满分 12 分)
正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,沿平面 A1ACC1 将正方体分成两部分,其中一部分如图所示,过

直线 A1C 的平面 A1CM 与线段 BB1 交于点 M .

(Ⅰ)当 M 与 B1重合时,求证: MC ? AC1 ;

(Ⅱ)当平面 A1CM ? 平面 A1ACC1 时,求平面 A1CM 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.
C1

A1

B1

M

C

A

B

20.(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) ,过其焦点作斜率为1的直线 l 交抛物线 C 于 M 、 N 两点,且
MN ?16 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知动圆 P 的圆心在抛物线 C 上,且过定点 D(0, 4) ,若动圆 P 与 x 轴交于 A 、 B 两点,
DA DB 求 ? 的最大值.
DB DA

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ln x ? kx ?1( k 为常数),函数 g(x) ? x e x ? ln( 4 x ?1) ,( a 为常数,且 a ? 0 ).
a (Ⅰ)若函数 f (x) 有且只有 1 个零点,求 k 的取值的集合;
(Ⅱ)当(Ⅰ)中的 k 取最大值时,求证: ag(x) ? 2 f (x) ? 2(ln a ? ln 2) .

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

等腰梯形 ABCD 中,AD ∥ BC ,AC 、BD 交于点 Q ,AC 平分 ?DAB , AP 为梯形 ABCD

外接圆的切线,交 BD 的延长线于点 P . (Ⅰ)求证: PQ2 ? PD ? PB ;

P

A

D

(Ⅱ)若 AB ? 3 , AP ? 2 , AD ? 4 ,求 AQ 的长.

Q

3

B

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

??x ? ?

2 ? 2t ( t 为参数), 在以 O 为极点, x 轴

?? y ? ? 2 ? t

的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的方程为 ? ?

2 1? 3sin2 ? .

(Ⅰ)求曲线 C1 、 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 A 、 B 分别为曲线 C1 、 C2 上的任意点,求 AB 的最小值.
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 f (x) ?| x ?1| ? | 2x ?1|. (Ⅰ)求不等式 f (x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 ?x ? R ,不等式 f (x) ? a x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷(理工类)答案

一、选择题 DDADC BBADC BC 二、填空题

13. ?1

14. 3x ? y ? 2 ? 0

15. an ? n

16. 116 3

17.(Ⅰ) f (x) ? 3 sin x ? cos x ? 2sin(x ? ? ) , 6

-------------3 分

x ?[? , 2? ] ? x ? ? ?[? , 5? ],? f (x) 的值域为[1, 2] ;-------------6 分

63

6 36

(Ⅱ) f ( A) ? 2 ,?sin( A ? ? ) ? 1,? A ? ? ,

6

3

?cos A ? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 1

2 AB AC

2

-------------9 分

? AB AC ? AB 2 ? AC 2 ?1 ? 2 AB AC ?1,? AB AC ? 1

? AB ? AC ? AB AC cos A ? 1 AB AC ? 1 .

2

2

? AB ? AC 的最大值为 1 . 2

-------------12 分

18.(Ⅰ) x ? 4, y ? 30 ,

?b?

?

(3 ?

4)(28 ?

30)

?

(4 ? 4)(30 ? 30) ? (6 ? 4)(35 ? 30) ? (5 ? 4)(31? 30) (3 ? 4)2 ? (4 ? 4)2 ? (6 ? 4)2 ? (5 ? 4)2 ? (2 ? 4)2

?

(2

?

4)(26

? 30)

?

2.1,

-------------

3分

a? ? 30 ? 2.1?4 ? 21.6 ,?y 关于 x 的线性回归方程为: y? ? 2.1x ? 21.6 .-------------6 分

(Ⅱ) X 的可能取值为: 0,1, 2,3.

P( X

? 0)

?

C64 C94

?

5 42

, P(X

? 1)

?

C31C63 C94

? 10 , P(X 21

? 2) ?

C32C62 C94

? 5 , P(X 14

? 3)

?

C33C61 C94

?

1. 21

-------------9 分

X

0

1

2

5

10

5

P

42

21

14

EX ? 0? 5 ?1? 10 ? 2? 5 ? 3? 1 ? 4 .-------------12 分 42 21 14 21 3

19.(Ⅰ)连接 C1B ,在正方形 B1BCC1 中, BC1 ? B1C ,

正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ?平面 B1BCC1 ,

1A1

B1C ?平面 B1BCC1 ,? AB ? B1C ,? B1C ? 平面 ABC1 ,

? BC ? AC1 ,即 MC ? AC1 ;-------------4 分

A

3 1 21
C1 B(M)
C B

(Ⅱ)正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, CB 、 AB 、 BB1 两两垂直,

分别以 CB 、 AB 、 BB1 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系,

设 AB ? a ,?C(?a,0,0) , A1(0, ?a, a) ,设 M (0,0, z) ,

?CA1 ? (a, ?a, a) , CM ? (a, 0, z) ,设平面 A1MC 的法向量为 n1 ? (x1, y1, z1) ,



?? ?

n1

??n1

CA1 CM

? ?

0 0

,即

???ax1a?x1a?y1z?z1a?z10?

0

,令

z1

?

a

,得

n1

?

(?z,

a

?

z, a)



平面 A1ACC1 的法向量为 n2 ? (1,1,0) ,

平面 ABC 的法向量为 n3 ? (0,0,1) ,

平面

A1CM

? 平面

A1ACC1 ,?n1

n1

? 0 ,得 z

?

1 2

a

,?

n1

? (? a , a , a) ,--------8 分 22

设平面 A1CM 与平面 ABC 所成锐二面角为? ,

z

C1

则 cos? ? n1 n3 n1 n3

?a? 1? 6 a

6 3 .-------------12 分

A1

B1

2

M

C

A

20. 解:(1) 设抛物线的焦点为 F (0, p ) ,则直线 l : y ? x ? p ,

2

2

B

y

x



? ?

y

?

?

x

?

p 2

,得

x2

?

2

px

?

p2

?

0

??x2 ? 2 py

-------------2 分

? x1 ? x2 ? 2 p ,? y1 ? y2 ? 3 p , ?| MN |? y1 ? y2 ? p ? 4 p ? 16 ,? p ? 4

?抛物线 C 的方程为 x2 ? 8 y

------------4 分

(2) 设动圆圆心 P(x0 , y0 ), A(x1,0), B(x2 ,0) ,则 x02 ? 8 y0 ,

且圆 P : (x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x02 ? ( y0 ? 4)2 , 令 y ? 0 ,整理得: x2 ? 2x0 x ? x02 ?16 ? 0 ,

解得: x1 ? x0 ? 4, x2 ? x0 ? 4 ,

-------------4 分

设 t ? | DA | ? | DB |

( x0 ( x0

? 4)2 ? 4)2

?16 ?16

?

x02 x02

? 8x0 ? 8x0

? 32 ? 32

?

1?

x02

16x0 ? 8x0 ?

32



当 x0 ? 0 时, t ? 1,?

当 x0 ? 0 时, t ?

1?

x0

16 ? 8 ? 32
x0

,? x0

? 0 ,? x0

32 ?
x0

?8

2,

?t ? 1? 16 ? 3 ? 2 2 ? 2 ?1,且 t ? 1,? 8?8 2

综上??知 2 ?1 ? t ? 1,

-------------8 分

? f (t) ? t ? 1 在[ 2 ?1,1] 单调递减, t

? | DA | ? | DB | ? t ? 1 ? 2 ?1? 1 ? 2 2 ,

| DB | | DA | t

2 ?1

当且仅当 t ? 2 ?1 ,即 x0 ? 4 2 时等号成立.

所以 | DA | ? | DB | 的最大值为 2 2 . | DB | | DA |

-------------12 分

21.(1)解: f ?(x) ? 1 ? kx ,----------------------------------------------------------------1 分 x

① k ? 0时, f ??x? ? 0 ,则 f ?x? 在 ?0,?? ?上单调递增.

? ? ? ? 而 f ek?2 ? k ? 2 ? kek?2 ? 1 ? k 1 ? ek?2 ?1 ? ?1 ? 0 , f ?1? ? 1 ? k ? 0 ,

? ? 故 f ?x? 在 ek?2 ,1 上存在唯一零点,满足题意;

-------------------------3 分

② k ? 0 时,令 f ??x? ? 0 得 x ? 1 ,则 f ?x? 在 ?? 0, 1 ?? 上单调递增;

k

? k?

令 f ??x? ? 0 得 x ? 1 ,则 f ?x? 在 ?? 0, 1 ?? 上单调递减;

k

? k?

若 f ?? 1 ?? ? 0 ,得 k ? 1 ,显然满足题意; ?k?

-------------------------------4 分

若 f ?? 1 ?? ? 0 ,则 0 ? k ? 1,而 f ?? 1 ?? ? ? k ? 0 ,

?k?

?e? e



f

?? ?

4 k2

?? ?

?

2 ln

2 k

?

4 k

?1

?

2?? ln ?

2 k

?

2 k

?? ?

?1,

令 h?x? ? ln x ? x ?1,则 h??x? ? 1? x ,
x
令 h??x? ? 0 ,得 x ? 1,故 h?x?在 ?0,1?上单调递增;

令 h??x? ? 0 ,得 x ? 1,故 h?x?在 ?1,??? 上单调递减;

故 h?x? ? h?1? ? 0 ,则 h?? 2 ?? ? ln 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,即 ln 2 ? 2 ? ?1,

?k? k k

kk



f

?? ?

4 k2

?? ?

?

2 ln

2 k

?

4 k

?1

?

2?? ln ?

2 k

?

2 k

?? ?

?1

?

?1 ?

0





f

?x? 在 ??
?

1 e

,

1 k

?? 上有唯一零点,在 ??

?

?

1 k

,

4 k2

?? ?

上有唯一零点,不符题意.

? ? 综上, k 的取值的集合为 k k ? 0或k ? 1 .

-----------------------6 分

(2)由(1)知, ln x ? x ?1,当且仅当 x ? 1时取"?",



4

x

?1

?

1,故

ln

? ?

4

x

? 1??

?

4

x

?1?1

?

4

x



a

?a ? a

a

则 k ? 1时, ag?x? ? 2 f ?x? ? axex ? a ln?? 4 x ? 1?? ? 2 ln x ? 2x ? 2 ?
?a ?

axex ? a 4 x ? 2ln x ? 2x ? 2 ? axex ? 2 ln x ? 2x ? 2 -------------8 分 a

? ? 记 F?x? ? axex ? 2 ln x ? 2x ? 2 ,则 F ??x? ? ?x ? 1??? aex ? 2 ?? ? x ? 1 axex ? 2 ,

?

x? x

令 G?x? ? axex ? 2 ,则 G??x? ? a?x ? 1?e x ? 0 ,故 G?x? 在 ?0,?? ?上单调递增.

而 G?0? ?

?2

?

0 , G?? ?

2 ?? a?

?

?2 2?? e a ?

? 1????

?

0 ,故存在

x0

? ?? 0, ?

2 a

?? ?

,使得

G?x0

?

?

0



即 ax0e x0 ? 2 ? 0 . -------------10 分

则 x ? ?0, x0 ?时, G??x? ? 0 ,故 F ??x? ? 0 ; x ? ?x0 ,???时, G??x? ? 0 ,故 F ??x? ? 0 .

则 F?x?在 ?0, x0 ?上单调递减,在 ?x0 ,??? 上单调递增,

故 F ?x? ? F ?x0 ? ? ax0e x0 ? 2x0 ? 2 ln x0 ? 2 ? ?2?x0 ? ln x0 ?

? ? ? ?2ln x0ex0

? ?2ln 2 ? 2ln a ? 2ln 2 . a

故 ag?x? ? 2 f ?x? ? 2?ln a ? ln 2?. -------------12 分

22. (1) PA为圆的切线? ?PAD ? ?ABD , AC 平分 ?DAB ??BAC ? ?CAD ??PAD ? ?DAC ? ?BAC ? ?ABC??PAQ ? ?AQP ?PA ? PQ PA 为 圆 的 切 线

?PA2 ? PD ? PB ? PQ2 ? PD ? PB .-------------6 分

(2) ?PAD ?PBA ? PA ? PB ? PB ? 9 PA2 ? PD ? PB ? PD ? 8 ,

AD AB

2

9

? AQ ? DQ ? PA ? PD ? 2 ? 8 ? 10 .-------------12 分 99

23.(1)

C1 : x ? 2 y ? 3

2

?

0, C2

:

x2 4

?

y2

? 1.-------------6



2cos? ? 2sin? ? 3
(2)设 B?2cos?,sin? ? ,则 AB ?

2

2 ?

2

cos

????

?

? 4

? ??

?

?3

2


5

5

当且仅当? ? 2k? ? ? ?k ? Z ? 时 AB ? 2 ? 10 .-------------12 分

4

min

5

5

? 24.(1)

x

x

?

0或

x

?

4 3

? ? ?

.-------------6



(2)当 x ? 0 时, f ? x? ? 2, a x ? 0 ,原式恒成立;

当 x ? 0 时,原式等价转换为 1? 1 ? 2 ? 1 ? a 恒成立,即 a ? 1? 1 ? 2 ? 1 .

x

x

x

x min

1? 1 x

?

2? 1 x

?

???1?

1 x

? ??

?

? ??

2

?

1 x

? ??

?1

,当且仅当

???1

?

1 x

? ??

? ??

2

?

1 x

? ??

?

0



1 2

? x ?1

时取等



?a ?1.-------------12 分

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