9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第八章解三角形8.1正弦定理二学案湘教版必修4

高中数学第八章解三角形8.1正弦定理二学案湘教版必修4

8.1 正弦定理(二)
[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条 件,判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的 三角形问题.
[知识链接] 以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是. (1)在△ABC 中,若sianA=cobsB=cocsC,则 A=90° (2)在△ABC 中,若 sin2A=sin2B,则 a=b (3)在△ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B;反之,若 A>B,则 sinA>sinB (4)在△ABC 中,sianA=sinbB++csinC 答案 (2) 解析 对于(1),由正弦定理可知,sinB=cosB,sinC=cosC,∴B=C=45°,故 A=90°, 故(1)正确. 对于(2),由 sin2A=sin2B 可得 A=B 或 2A+2B=π , ∴a=b 或 a2+b2=c2,故(2)错误. 对于(3),在△ABC 中,sinA>sinB?a>b?A>B,故(3)正确. 对于(4),因为sianA=sibnB=sicnC,

所以sianA=sinbB++csinC,故(4)正确. [预习导引] 1.正弦定理的常见变形 (1)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c; (2)sianA=sibnB=sicnC=sinA+a+sibn+B+c sinC=2R; (3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (4)sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR. 2.三角变换公式 (1)sin (α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ ; (2)sin (α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ ; (3)sin2α =2sinα cosα .
要点一 利用正弦定理判断三角形的形状 例 1 在△ABC 中,若 sinA=2sinBcosC,且 sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的形状. 解 方法一 在△ABC 中,根据正弦定理:sianA=sibnB=sicnC=2R(R 为△ABC 外接圆的半径). ∵sin2A=sin2B+sin2C,
∴???2aR???2=???2bR???2+???2cR???2,即 a2=b2+c2. ∴A=90°,∴B+C=90°. 由 sinA=2sinBcosC,得 sin90°=2sinBcos(90°-B), ∴sin2B=12. ∵B 是锐角,∴sinB= 22,∴B=45°,C=45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形. 方法二 在△ABC 中,根据正弦定理: sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR. ∵sin2A=sin2B+sin2C, ∴a2=b2+c2,∴△ABC 是直角三角形且 A=90°.

∵A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC, ∴sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sinBcosC-cosBsinC=0, 即 sin(B-C)=0.∴B-C=0,即 B=C. ∴△ABC 是等腰直角三角形. 规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有以下两种途径: (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系, 从而判断三角形的形状; (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出 内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论.在两种解 法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. 跟踪演练 1 在△ABC 中,已知 a2tanB=b2tanA,试判断△ABC 的形状. 解 在△ABC 中,由正弦定理sianA=sibnB
a sinA a2 sin2A ∴b=sinB,∴b2=sin2B. 又∵a2tanB=b2tanA,∴ab22=ttaannAB,
tanA sin2A ∴tanB=sin2B, ∴sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B. ∴2A=2B 或 2A+2B=π , 即 A=B 或 A+B=π2 . ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 要点二 利用正弦定理求最值或范围 例 2 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 分别对应边 a,b,c,且 a=2bsinA,求 cosA+sinC 的 取值范围. 解 设 R 为△ABC 外接圆的半径. ∵a=2bsinA,∴2RsinA=4RsinBsinA,∴sinB=12. ∵B 为锐角,∴B=π6 . 令 y=cosA+sinC=cosA+sin[π -(B+A)] =cosA+sin???π6 +A???

=cosA+sinπ6 cosA+cosπ6 sinA

=32cosA+ 23sinA= 3sin???A+π3 ???.

由锐角△ABC 知,π2 -B<A<π2 ,

∴π3 <A<π2 .

∵2π3

<A+π3

<56π

,∴12<sin???A+π3

???<

3 2,

3 ∴2<

3sin???A+π3 ???<32,即 23<y<32.

∴cosA+sinC 的取值范围是??? 23,32???.
规律方法 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法: (1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量. (2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为函数的值域 或最值的问题. 跟踪演练 2 在△ABC 中,若 C=2B,求cb的取值范围. 解 因为 A+B+C=π ,C=2B, 所以 A=π -3B>0,所以 0<B<π3 ,所以12<cosB<1. 因为cb=ssiinnCB=ssiinn2BB=2cosB, 所以 1<2cosB<2,故 1<cb<2.

要点三 正弦定理与三角变换的综合 例 3 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a+c=2b,且 2cos2B-8cosB +5=0,求角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 解 ∵2cos2B-8cosB+5=0, ∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB=12或 cosB=32(舍去).

∵0<B<π ,∴B=π3 .∵a+c=2b. 由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sinπ3 = 3. ∴sinA+sin(23π -A)= 3, ∴sinA+sin23π cosA-cos23π sinA= 3. 化简得32sinA+ 23cosA= 3,∴sin(A+π6 )=1. ∵0<A<π ,∴A+π6 =π2 . ∴A=π3 ,C=π3 . ∴△ABC 是等边三角形. 规律方法 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化,在转化为角的关系后,常常利 用三角变换公式进行化简,从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明. 跟踪演练 3 已知方程 x2-(bcosA)x+acosB=0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为△ABC 的两边,A、B 为两内角,试判断这个三角形的形状. 解 设方程的两根为 x1、x2, 由根与系数的关系得??? x1+x2=bcosA,
??x1x2=acosB. ∴bcosA=acosB. 由正弦定理得 2RsinBcosA=2RsinAcosB, ∴sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0. ∵A、B 为△ABC 的内角, ∴0<A<π ,0<B<π ,-π <A-B<π . ∴A-B=0,即 A=B. 故△ABC 为等腰三角形.
1.在△ABC 中,若 sinA>sinB,则角 A 与角 B 的大小关系为( ) A.A>BB.A<B C.A≥BD.A,B 的大小关系不能确定 答案 A

解析 由 sinA>sinB?2RsinA>2RsinB(R 为△ABC 外接圆的半径)?a>b?A>B. 2.在△ABC 中,已知 A=150°,a=3,则其外接圆的半径 R 的值为( ) A.3B. 3 C.2D.不确定 答案 A 解析 在△ABC 中,由正弦定理得sianA=sin1350°=6=2R,∴R=3. 3.在△ABC 中,AC= 6,BC=2,B=60°,则角 C 的值为( ) A.45°B.30° C.75°D.90° 答案 C 解析 由正弦定理得si2nA=sin660°,∴sinA= 22. ∵BC=2<AC= 6,∴A<60°. ∴A=45°.∴C=75°. 4.在△ABC 中,若coasA=cobsB=cocsC,则△ABC 是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案 B 解析 由正弦定理可得 sinA sinB sinC cosA=cosB=cosC, ∴tanA=tanB=tanC,∴A=B=C. 5.已知一三角形中 a=2 3,b=6,A=30°,判断三角形是否有解,若有解,解该三角形. 解 a=2 3,b=6,a<b,A=30°<90°. 又因为 bsinA=6sin30°=3,a>bsinA, 所以本题有两解,由正弦定理得: sinB=bsianA=6si2n330°= 23, 故 B=60°或 120°. 当 B=60°时,C=90°,c= a2+b2=4 3; 当 B=120°时,C=30°,c=a=2 3. 所以 B=60°,C=90°,c=4 3或 B=120°,C=30°,c=2 3.

1.已知 a,b 和 A,用正弦定理解三角形的各种情况: (1)列表如下:
A 为锐角

A 为钝角或直角

图形

关系式

a=bsinA

bsinA<a<b

a≥b

a>b

解的 个数

一解

两解

一解

一解

(2)也可利用正弦定理 sinB=bsianA进行讨论:

如果 sinB>1,则问题无解;

如果 sinB=1,则问题有一解;

如果求出 sinB<1,则可得 B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”

等三角形有关性质进行判断.

2.判断三角形的形状,最终目的是判断三角形是否是特殊三角形,当所给条件含有边和角时,

应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.

一、基础达标 1.在△ABC 中,已知(b+c)∶(a+c)∶(a+b)=4∶5∶6,则 sinA∶sinB∶sinC 等于( ) A.4∶5∶6B.6∶5∶4 C.7∶5∶3D.7∶5∶6 答案 C 解析 设 b+c=4k,a+c=5k,a+b=6k(k>0),三式联立可求得 a=72k,b=52k,c=32k, ∴a∶b∶c=7∶5∶3,即 sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3. 2.在△ABC 中,a=2bcosC,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 答案 A 解析 由正弦定理得 sinA=2sinBcosC,∴sin (B+C)=2sinBcosC, ∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,∴sin (B-C)=0,∴B=C,故选 A.

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则2sins2Bi-n2Asin2A的值为(

)

A.19B.13C.1D.72

答案 D

解析 ∵sianA=sibnB,∴ssiinnBA=ba.

∵3a=2b,∴ba=32.∴ssiinnBA=32.

∴2sins2Bi-n2Asin2A=2(ssiinnBA)2-1=2×(32)2-1

97 =2-1=2.

4.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C=23π ,则 a 的值为(

)

A.1B.2C. 3D. 2 答案 A

解析

由正弦定理,有 sin

3 2π 3

=si1nB,∴sinB=12.

∵C 为钝角,∴B 必为锐角,∴B=π6 ,

∴A=π6 .∴a=b=1. 5.在单位圆上有三点 A,B,C,设△ABC 三边长分别为 a,b,c,则sianA+2sbinB+s2icnC=. 答案 7 解析 ∵△ABC 的外接圆直径为 2R=2, ∴sianA=sibnB=sicnC=2R=2, ∴sianA+2sbinB+si2ncC=2+1+4=7.

6.在△ABC 中,A=60°,b=4 2,a=4 3,则 B=. 答案 45°

解析

ab 由正弦定理sinA=sinB,得

sinB=

2 2,

∵a>b,∴A>B.∴B 只有一解.∴B=45°.

7.不解三角形,判断下列三角形解的个数.

(1)a=5,b=4,A=120°; (2)a=9,b=10,A=60°; (3)c=50,b=72,C=135°.

解 (1)sinB=basin120°=45× 23,∵a>b,∴B 为锐角,所以三角形有一解.

(2)sinB=basin60°=190× 23=5 9 3,而 23<5 9 3<1,所以当 B 为锐角时,满足 sinB=5 9 3的

角有 60°<B<90°,故对应的钝角 B 有 90°<B<120°,

也满足 A+B<180°,故三角形有两解.

(3)∵c<b,∴C<B,所以 B+C>180°,故三角形无解.

二、能力提升

8.在△ABC 中,coasB=cobsA,则△ABC 一定是(

)

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案 D 解析 在△ABC 中,∵coasB=cobsA,∴acosA=bcosB,由正弦定理,得 2RsinAcosA=

2RsinBcosB,∴sin2A=sin2B. ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,∴A=B 或 A+B=90°. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=( 3,-1),n=(cosA,sinA), 若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 A,B 的大小为( ) A.π6 ,π3 B.2π3 ,π6 C.π3 ,π6 D.π3 ,π3

答案 C

解析 ∵m⊥n,∴ 3cosA-sinA=0,

∴tanA= 3,∴A=π3 , 由正弦定理得 sinAcosB+sinBcosA=sin2C,

∴sin(A+B)=sin2C,即 sinC=1,∴C=π2 ,B=π6 .

10.△ABC 中,A=π3 ,BC=3,则△ABC 的周长为(用 B 表示).

答案 6sin???B+π6 ???+3

解析

在△ABC

中,由正弦定理得sAiCnB=

3, 3

2

化简得 AC=2 3sinB,

AB

=3,

sin ???π -???B+π3 ??????

3 2

化简得 AB=2 3·sin???2π3 -B???,所以三角形的周长为: 3+AC+AB=3+2 3sinB+2 3sin???23π -B??? =3+3 3sinB+3cosB=6sin???B+π6 ???+3. 11.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 2B=A+C,a+ 2b=2c,求 sinC
的值. 解 ∵2B=A+C,A+B+C=180°, ∴B=60°,A+C=120°, ∴0°<A<120°,0°<C<120°且 A=120°-C.

∵a+ 2b=2c,

由正弦定理得 sinA+ 2sinB=2sinC,

∴sin (120°-C)+ 26=2sinC,

即 23cosC+12sinC+ 26=2sinC,

∴32sinC- 23cosC= 26.∴sin (C-30°)= 22. ∵-30°<C-30°<90°,∴C-30°=45°.C=75°.

sinC=sin (45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=

6+ 4

2.

12.在△ABC 中,已知a+a b=sinsBi-nBsinA,且 cos (A-B)+cosC=1-cos2C.

(1)试确定△ABC 的形状;

a+c (2)求 b 的取值范围.

解 (1)在△ABC 中,设其外接圆半径为 R,根据正弦定理得

sinA=2aR,sinB=2bR,代入a+a b=sinsBi-nBsinA,得:a+a b=b-b a,

∴b2-a2=ab.①∵cos(A-B)+cosC=1-cos2C,

∴cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,∴sinAsinB=sin2C. 由正弦定理,得2aR·2bR=???2cR???2,∴ab=c2.② 把②代入①得,b2-a2=c2,即 a2+c2=b2. ∴△ABC 是直角三角形. (2)由(1)知 B=π2 ,∴A+C=π2 ,∴C=π2 -A. ∴sinC=sin???π2 -A???=cosA. 根据正弦定理,a+b c=sinsAi+nBsinC=sinA+cosA = 2sin???A+π4 ???. ∵0<A<π2 ,∴π4 <A+π4 <34π . ∴ 22<sin(A+π4 )≤1,∴1< 2sin???A+π4 ???≤ 2, 即a+b c的取值范围是(1, 2]. 三、探究与创新 13.如图所示,在 Rt△ABC 中,斜边 c 为 Rt△ABC 外接圆的直径,故有sianA=sibnB=sicnC= 2R,这一关系对任意三角形也成立吗?
证明 在锐角△ABC 中,如下图,连接 BO 交圆 O 于 D,连接 CD.

因为∠A=∠D,则在△BCD 中,sianA=sianD=2R. 同理,sibnB=sicnC=2R, 所以sianA=sibnB=sicnC=2R 成立. 在钝角△ABC 中,如下图,连接 BO 交圆 O 于 D,连接 CD,
∠A=180°-∠D, 所以sianA=sin?18a0°-D?=sianD=2R. 所以sianA=sibnB=sicnC=2R 仍成立.


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com