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2015届高考数学大一轮复习 课时训练26 平面向量的基本定理及坐标表示 理 苏教版

2015届高考数学大一轮复习 课时训练26 平面向量的基本定理及坐标表示 理 苏教版

课时跟踪检测(二十六) 平面向量的基本定理及坐标表示
第Ⅰ组:全员必做题 1.(2013· 辽宁高考改编)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB― →同方向的单位向量 为________. 2.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD =2 DB , CD =r AB +s AC ,则 r+s 的 值是________. 1 ? 3. 已知向量 a=? b=(x,1), 其中 x>0, 若(a-2b)∥(2a+b), 则 x 的值为________. ?8,2x?, 4.?创新题?若 α,β 是一组基底,向量 γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α,β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另 一组基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________. 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,N 是线段 OD 的中点, AN 的延长线与 CD 交于点 E,则下列说法错误的是________.(填写序号)

① AC = AB + AD ② BD = AD - AB 1 1 ③ AO = AB + AD 2 2 5 ④ AE = AB + AD 3 6. 在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且 BP =2 PC , 点 Q 是 AC 的中点, 若 PA =(4,3),PQ =(1,5),则 BC =________. 7.P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向量 集合,则 P∩Q 等于________. 8.已知向量 OA =(1,-3), OB =(2,-1), OC =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点 能构成三角形,则实数 k 应满足的条件是________. 9.已知 a=(1,0),b=(2,1).求: (1)|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向?

10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线.

第Ⅱ组:重点选做题 1.(2013· 南通二模)如图,正六边形 ABCDEF 中,P 是△CDE 内(包括 边界)的动点.设 AP =α AB +β AF (α,β∈R),则 α+β 的取值范围是 ________. 2.(2014· 苏锡常镇一模)如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 为以 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧上的任意一点, 设向量 AC =λ DE +μ AP , 则 λ+μ 的最小值为________.

答 第Ⅰ组:全员必做题 1.解析: AB =(3,-4), 则与其同方向的单位向量 3 4 AB 1 ,- ?. e= = (3,-4)=? 5? ?5 | AB | 5 3 4? 答案:? ?5,-5? 2.解析:∵ CD =2 DB , 2 2 ∴ CD = CB = ( AB - AC ), 3 3 2 2 ∴ CD = AB - AC, 3 3 2 2 又 CD =r AB +s AC ,∴r= ,s=- , 3 3 ∴r+s=0. 答案:0 1 ? 3.解析:a-2b=? ?8-2x,2x-2?,



2a+b=(16+x,x+1), 由已知(a-2b)∥(2a+b),显然 2a+b≠0, 1 ? 故有? ?8-2x,2x-2?=λ(16+x,x+1),λ∈R, 8-2x=λ?16+x?, ? ? ∴?1 ?x=4(x>0). ?2x-2=λ?x+1? ? 答案:4 4.解析:∵a 在基底 p,q 下的坐标为(-2,2), 即 a=-2p+2q=(2,4), 令 a=xm+yn=(-x+y,x+2y),
?-x+y=2, ?x=0, ? ? ∴? 即? ?x+2y=4, ?y=2. ? ?

∴a 在基底 m,n 下的坐标为(0,2). 答案:(0,2) 5.解析:由向量减法的三角形法则知, DB = AD - AB ,排除②;由向量加法的平 1 1 1 行四边形法则知, AC = AB + AD , AO = AC = AB + AD ,排除①、③. 2 2 2 答案:④ 6.解析: AQ = PQ - PA =(-3,2), ∴ AC =2 AQ =(-6,4).

PC = PA + AC =(-2,7),
∴ BC =3 PC =(-6,21). 答案:(-6,21) 7.解析:P 中,a=(-1+m,1+2m), Q 中,b=(1+2n,-2+3n).
? ? ?-1+m=1+2n, ?m=-12, 则? 得? ?1+2m=-2+3n. ?n=-7. ? ?

此时 a=b=(-13,-23). 答案:{?-13,-23?} 8.解析:若点 A,B,C 能构成三角形, 则向量 AB , AC 不共线. ∵ AB = OB - OA =(2,-1)-(1,-3) =(1,2),

AC = OC - OA =(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),
∴1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. 答案:k≠1 9.解:(1)因为 a=(1,0),b=(2,1), 所以 a+3b=(7,3), 故|a+3b|= 72+32= 58. (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行, 1 所以 3(k-2)+7=0,即 k=- . 3 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=? ?-3,-1?, a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. 10.解:(1) OM =t1 OA +t2 AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时,
? ?4t2<0, 有? ?2t1+4t2≠0, ?

故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明:当 t1=1 时, 由(1)知 OM =(4t2,4t2+2). ∵ AB = OB - OA =(4,4),

AM = OM - OA =(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB ,
∴A,B,M 三点共线. 第Ⅱ组:重点选做题 1.解析:法一:分别延长 DC,AB 交于点 G,则 CG∥AF,且 CG =AF,从而 AC = AG + GC =2 AB + AF ,同理可得 AE = AB + 2 AF ,

AD =2 AB +2 AF ,因为点 P 在△CDE 内部(包括边界),所以 α+β
∈[3,4]. 法二:建立如图所示的直角坐标系,不妨设正六边形 ABCDEF 的边长 为 2,则点 A(0,0),B(2,0),C(3, 3),D(2,2 3),

E(0,2 3),F(-1,

?x+ 3y≥6, 3),从而点 P 位于区域? 3x+y≤4 3, ?y≤2 3,

中.

又 AP =α AB +β AF =(2α-β, 3β), α+β≥3, ? ? 代入可行域得?α≤2, ? ?β≤2, 于是 α+β∈[3,4]. 答案:[3,4] 2.解析:以 A 为原点,如图建立直角坐标系,不妨设正方形 ABCD 的边 1 ? 长为 1,则 AC =(1,1), DE =? ?2,-1?.设 AP =(cos α, λ ? ?1=2+μcos α, π? ? sin α),α∈?0,2?.由 AC =λ DE +μ AP 得? 所以 ? ?1=-λ+μsin α, 1+sin α 3 μ= ,故 λ+μ=μsin α-1+μ=3· -1. 2cos α+sin α 2cos α+sin α 1+sin α π? 设 f(α)= ,α∈? ?0,2?, 2cos α+sin α 2+2sin α-cos α 则 f′(α)= . ?2cos α+sin α?2 π? 因为 f′(α)>0 恒成立,故 f(α)在? ?0,2?上单调增. 1 所以当 α=0 时,f(α)min=f(0)= , 2 1 所以(λ+μ)min= . 2 1 答案: 2


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