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【新】金版学案高中数学第一章集合与函数概念1.3_1.3.2奇偶性课件新人教版必修1-推荐_图文

【新】金版学案高中数学第一章集合与函数概念1.3_1.3.2奇偶性课件新人教版必修1-推荐_图文

第一章

集合与函数概念

1.3

函数的基本性质 1.3.2 奇偶性

[学习目标] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含 义(重点). 2.掌握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性 与函数图象对称性之间的关系(重点、难点). 3.会利用 函数的奇偶性解决简单问题(难点).

[知识提炼· 梳理] 1.函数奇偶性的概念 (1)一般地, 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫作偶函数;如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那 么函数 y=f(x)就叫作奇函数.

(2)如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,我们就说函数 f(x)具有奇偶性. 温馨提示 注意函数奇偶性定义中 x 的任意性, 不能 认为某个(或某些)x 使定义中的等式成立,这个函数就是 奇函数或偶函数.

2.奇偶函数的图象与性质 (1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,若一个函 数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数. 偶函数的图象关于 y 轴对称.反过来,若一个函数的 图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数.

(2)重要性质 ①奇函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同 的单调性. ②偶函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反 的单调性.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f(x)=0 既是奇函数又是偶函数.( )

(2)若函数 y=f(x)满足 f(x)-f(-x)=0,则 y=f(x)是 偶函数;若函数 y=f(x)满足 f(x)+f(-x)=0,则 y=f(x) 是奇函数.( )

(3)对于定义在 R 上的函数 f(x),若 f(-2)=f(2),则 函数 f(x)一定是偶函数.( )

制作不易 尽请参考

解析:(1)错,f(x)=0 在定义域需关于原点对称的情况 下既是奇函数又是偶函数. 既是奇函数又是偶函数的函数有 无数多个,它们为 f(x)=0 且其定义域是关于原点对称的非 空数集. (2)对,因为 y=f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)?f(x)-f(- x)=0,y=f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0.

(3)错,仅有 f(-2)=f(2),不足以确定函数的奇偶性, 不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数. 答案:(1)× (2)√ (3)×

2.函数 f(x)=x3(x∈(-2,2])的奇偶性为( A.奇函数 B.偶函数

)

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:函数 f(x)=x3(x∈(-2,2])的定义域不关于原 点对称,所以该函数为非奇非偶函数. 答案:D

3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y=x B.y=x|x| D.y=-x3

)

解析:由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除 C、D,由 y=x|x|的图象可知当 x>0 时此函数为增函数, 又该函数为奇函数.
答案:B

4.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x) =1-2x, 则当 x<0 时, f(x)的解析式为_______________. 解析:设 x<0,则-x>0.所以 f(-x)=1+2x,又函数 f(x)是奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=-1-2x(x<0). 答案:f(x)=-1-2x(x<0)

5 .若 f(x) = (x + a)(x - 4) 为偶函数,则实数 a = ________. 解析: 由 f(x)=(x+a)(x-4)得 f(x)=x2+(a-4)x-4a, 若 f(x)为偶函数,则 a-4=0,即 a=4. 答案:4

类型 1 函数奇偶性的判断(自主研析) [典例 1] 判断下列函数的奇偶性: 1-x· 1+x (1)f(x)= ; |x+2|-2 ?x+1,x>0, ? (2)f(x)=?1,x=0, ?-x+1,x<0. ?

? ?1-x≥0, ? 解:(1)依题意?1+x≥0, ? ? ?|x+2|-2≠0, 解得-1≤x≤1 且 x≠0, 所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1], 1-x· 1+x 所以解析式化简为 f(x)= , x
满足 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数.

(2)函数的定义域为 R,当 x>0 时,-x<0, 则 f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x); 当 x=0 时,f(-x)=f(x)=1; 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-x+1=f(x). 综上知,对任意 x∈R,都有 f(-x)=f(x), 所以 f(x)是偶函数.

归纳升华 1.用定义判断函数奇偶性的步骤:先求定义域,看是 否关于原点对称;再判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)是否 恒成立. 2.若已知函数的图象或可以作出函数的图象,则观察 图象是否关于原点或 y 轴对称,依此判断函数的奇偶性.

[变式训练] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3-2|x|; (2)f(x)= x2-4+ 4-x2; 2x (3)f(x)= . x-3
解:(1)因为函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=3-2|-x|=3-2|x|=f(x),所以 f(x)为偶函数.

(2)因为函数 f(x)的定义域为{-2, 2}, 关于原点对称, 且 f(x)=0,又因为 f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),所以 f(x) 既是奇函数又是偶函数. (3)因为函数 f(x)的定义域为{x|x≠3},不关于原点对 称,所以 f(x)是非奇非偶函数.

类型 2 利用函数奇偶性求参数的值 [典例 2] (1)函数 f(x)=ax2+2x 是奇函数,则 a= ________. (2)已知函数 =________.
2 ? ?-x +x,x>0, f(x)=? 2 是奇函数,则 ? ?ax +x,x<0

a

解析:(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 即 ax2-2x=-ax2-2x,由对应项系数相等,得 a=0.

(2)当 x<0 时,-x>0, f(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=x2+x, 即 ax2+x=x2+x,得 a=1. 答案:(1)0 (2)1

归纳升华 1.函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种 方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要 注意函数奇偶性定义的正用和逆用. 2.利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函 数具有奇偶性的条件也可求得参数的值.

[变式训练]

若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函

数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b=________. 解析:因为定义域[a-1,2a]关于原点对称, 1 所以 a-1=2a,得 a= .又因为 f(-x)=f(x), 3 1 2 1 2 所以 x -bx+1+b= x +bx+1+b, 3 3 由对应项系数相等,得-b=b,所以 b=0.

1 答案: 0 3

类型 3 利用函数奇偶性求解析式 [典例 3] 已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x) +g(x)=x2+x-2,求 f(x),g(x)的解析式. 解:因为 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 所以 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 由 f(x)+g(x)=x2+x-2,①

得 f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2, 即 f(x)-g(x)=x2-x-2, ② 由①②得 f(x)=x2-2,g(x)=x.

归纳升华 利用奇偶性求解析式的思路:(1)在待求解析式的 区间内设 x,则-x 在已知解析式的区间内;(2)利用已知 区间的解析式进行代入;(3)利用 f(x)的奇偶性,求待求区 间上的解析式.

[变式训练] 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, x≥0 时,f(x)=x2-2x,则函数在 f(x)在 R 上的解析式是 ( ) A.f(x)=-x(x-2) C.f(x)=-|x|(x-2) B.f(x)=-x(|x|-2) D.f(x)=|x|(|x|-2)

解析:因为 f(x)在 R 上是偶函数,且 x≥0 时,f(x) =x2-2x,所以当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x)2+2x=
x2+2x,则 f(x)=f(-x)=x2+2x=-x(-x-2).

又当 x≥0 时,f(x)=x2-2x=x(x-2), 因此 f(x)=|x|(|x|-2). 答案:D

类型 4 函数单调性与奇偶性的综合应用(规范解答) [典例 4] (本小题满分 12 分)设定义在[-2,2]上的 奇函数 f(x)在区间[0, 2]上单调递减, 若 f(m)+f(m-1)>0, 求实数 m 的取值范围.

审题指导:根据 f(x)的定义域分别写出 m 和 m-1 的 范围,再根据 f(x)在区间[0,2]上单调递减,得出 m 和 m -1 的大小关系,然后构成不等式组,解之可得实数 m 的 取值范围.

[规范解答] 由 f(m)+f(m-1)>0,得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m)(4 分) 失分警示:此处的变形是奇函数概念的应用,很多同 学因为处理不好而失分. 又因为 f(x)在区间[0,2]上单调递减,且 f(x)在[-2, 2]上为奇函数,

所以 f(x)在[-2,2]上为减函数.(8 分) ? ?-2≤1-m≤2, ? 所以?-2≤m≤2, (10 分) ? ? ?1-m>m, 失分警示: 此处易忽略函数的定义域而丢掉前两个不 等式而失分.

?-1≤m≤3, ? ? 1 - 2 ≤ m ≤ 2 , 即? 解得-1≤m< . 2 ? 1 ? m< , ? 2
? 1? 即 m 的取值范围为?-1,2?.(12 分) ? ?

归纳升华 1.抽象函数单调性、奇偶性问题主要是讨论函数的 单调性、奇偶性,或是求函数值、解析式. 2.单调性和奇偶性的应用,多数情况下是根据函数 的性质列不等式(组)求参数的范围.

[变式训练] 设函数 f(x)在 R 上是偶函数, 在区间(- ∞,0)上递增,且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),求 a 的取 值范围. 解:由 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递 增,可知 f(x)在(0,+∞)上递减. 因为 2a
2

? 1?2 7 +a+1=2?a+4? + >0, 8 ? ?

2a

2

? 1?2 5 -a+3=2?a-2? + >0, 2 ? ?

且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3), 所以 2a2+a+1>2a2-a+3, 2 即 3a-2>0,解得 a> , 3
? 2? 所以 a 的取值范围为?a|a>3?. ? ?

1.定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函 数或偶函数的一个条件,f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是 定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据, 为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化 简,或应用定义的等价形式 f(-x)=±f(x)?f(-x)±f(x)= f(-x) 0? =±1(f(x)≠0). f(x)

3. (1)若 f(x)=0 且 f(x)的定义域关于原点对称, 则 f(x) 既是奇函数又是偶函数. (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶 函数在对称的两个区间上有相反的单调性. (3)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义, 那么一定有 f(0)=0;如果函数 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|).


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