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极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结
一、
?? ? x ? y ? x ? ? cos? ? y 极坐标:直角坐标 ? 极坐标 ? 极坐标 ? 直角坐标 ? y ? ? sin ? ?tan ? ? ( x ? 0) ? x ?
2 2 2

二、直线的参数方程:过定点(x0,y0)倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?
2

(t 为参数)

直线上 P 1, P 2 对应的参数是 t1 , t2 。|P1P2|=|t1-t2|= ?t1+t2? -4t1t2.

x ? x0 ? at 2 2 (t 为参数)若 a ? b ? 1 ,则上面几何意义成立, y ? y0 ? bt at ? ? x ? x0 ? ? t? a 2 ? b2 ? 否则,不成立。此时,需要换参,令 t ? ?? (t ?为参数) 2 2 ? b t a ?b ?y ? y ? 0 ? a 2 ? b2 ?
直线的一般参数方程: 三、圆、椭圆的参数方程 圆心在(x0,y0),半径等于 r 的圆:

x ? x0 ? r cos? ( ? 为参数) y ? y0 ? r sin ?

x ? a cos? x ? b cos? x2 y 2 y 2 x2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (或 2 ? 2 ? 1 ): ( ? 为参数)(或 ) y ? b sin ? y ? a sin ? a b a b
补充知识:伸缩变换:点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

?:?

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下,点 P( x, y) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称伸缩变换 ?y? ? ? ? y, (? ? 0).
抛物线 y ? 2 px :
2

x ? 2 pt 2 (t 为参数,p>0) y ? 2 pt

1

题型归类:方程的互化:1、代公式;2、消参 一、极坐标的几何意义的应用 1 在直角坐标系 xOy 中。直线 C1 :

x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点
2 2

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求 C1 , C2 的极坐标方程; (2) C3 的极坐标方程 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求 ?C2 MN 的面积

? x ? t cos ? 2.曲线 C1: ? (t 为参数,t ≠ 0),其中 0 ≤ α <π ,在以 O 为极点,x 轴正 ? y ? t sin ?

半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。(1)求 C2 与 C3 交点 的直角坐标;(2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值 3 在直线坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为(x+6) +y =25. (I)以坐标原点为极点,x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
2 2

(II)直线 l 的参数方程是 ?

? x ? t cos? (?为参数) ? y ? t sin ?

,l 与 C 交于 A、B 两点,求 AB

4 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为?

?x=acost, ? ? ?y=1+

asint

(t 为参数,a>0)。

在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ =4cosθ . (I)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程;(II)直线 C3 的极坐标方程 为θ =α 0,其中满足 tanα 0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求α 。 5 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? 4 .(1) M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足

? | OM | ? | OP |? 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程;(2)设点 A 的极坐标为 (2, ) , 3
点 B 在曲线 C2 上,求 ?OAB 面积的最大值.

6在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? t, ( t 为参数),直线 l2 的参数方程 ? y ? kt

? x ? ?2 ? m, ? 为? ( m 为参数),设 l1 与 l2 的交点为 P ,当 k 变化时, P 的轨迹为曲线 m y? ? k ?
2

C .(1)写出 C 的普通方程:(2)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,
设 l3 : ? (cos? ? sin ? ) ? 2 ? 0 , M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径. 7.(2017 二卷) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? 4 .(1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 | OM | ? | OP |? 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 (2,

?
3

) ,点 B 在曲线 C2 上,求 ?OAB 面积的最大值.

8 在直线坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为(t 为参数,a>0)。在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ =4cosθ . (I)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程;(II)直线 C3 的极坐标方程 为θ =α 0,其中α 0 满足 tanα 0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a。 二、直线的参数 t 的几何意义的应用 9.直线 l 过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6

,(1)写出 l 的参数方程;

(2)直线 l 与圆 ?

? x ? 2cos ? 相交于 A、B 两点,求 | PA |? | PB | 。 (? 为参数) ? y ? 2sin ?

11、已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6

,①写出直线 l 的参数方程;

②设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积. 2
2 2

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 12、求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长. 7 4 5 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

3

13 直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为 ?y ? 2 ? t

三、圆或椭圆的参数 ? 的应用
2 14.已知某圆的极坐标方程为 ? ? 4 2 ? cos( ? ?

?
4

)?6?0

(I)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (II) 若点 P ( x, y ) 在该圆上,求 x ? y 的最大值和最小值.6,2

1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? x ? cos ? , ? (t 为参数), 曲线 C1 : ? 15. 已知直线 ? : ? ( ? 为参数). ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(Ⅰ)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;1 (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲 2 2

6 ( 2 ? 1) 线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值. 4
16.点 P(x,y) 为椭圆

x2 ? y 2 ? 1上一点,求(1) S ? x ? y 的范围; 3

(2)若 x ? y ? a ? 0 垣成立,求 a 的范围。 17、在曲线 C1 : ?

? x ? 1 ? cos? (?为参数) 上求一点,使它到直线 C 2 : y ? sin ? ?

1 ? x ? ? 2 2 ? t ? ? 2 2 2 (t为参数) 距离最小,并求出该点坐标和最小距离。1 P(1,) ? 2 2 1 ? y ? 1? t ? ? 2
3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 18、曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? ,设直线 L 的参数方程是 ? , ( t 为参 4 ?y? t 5 ?

数).(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程;

x2 ? y2 ? 2 y ? 0

(Ⅱ)设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值

5 ?1

4


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