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2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:2.3.2 离散型随机变量的方差 Word版含解析

2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:2.3.2 离散型随机变量的方差 Word版含解析

2.3.2 离散型随机变量的方差 [对应学生用书P37] A,B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表: A 机床 次品数 X1 P 0 0.7 1 0.2 2 0.06 3 0.04 B 机床 次品数 X2 P 0 0.8 1 0.06 2 0.04 3 0.10 问题 1:试求 E(X1),E(X2). 提示:E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44. E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 问题 2:由 E(X1)和 E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗? 提示:不能,因为 E(X1)=E(X2). 问题 3:试想利用什么指标可以比较加工质量? 提示:样本方差. 1.离散型随机变量的方差 (1)设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1,x2,…,xn,这些值对应的概率分别 为 p1,p2,…,pn,则 D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn 叫做这个离散 型随机变量的方差.D(X)的算术平方根 D?X?叫做离散型随机变量 X 的标准差. (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的平均波动大小.方差 或标准差越小,则随机变量偏离于期望的平均程度越小. 2.二点分布和二项分布的方差 条件 方差 X 服从二点分布 p(1-p) X~B(n,p) np(1-p) 1.离散型随机变量的方差的意义: 随机变量的方差是常数,它和标准差都反映了随机变量 X 取值的稳定性和波动、集中 和离散程度.D(X)越小,稳定性越高,波动越小. 2.随机变量的方差和样本方差之间的关系: (1)随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样本的变化而客观存在; (2)样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的. 对于简单的随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来越接近于总体方差. [对应学生用书P37] 求离散型随机变量的方差 [例 1] 已知 X 的分布列为 X P 0 1 3 10 2 5 20 1 15 50 2 15 60 1 15 求随机变量的均值和方差. [思路点拨] 利用方差公式求解,首先求出均值 E(X),然后利用 D(X)的定义求方差. 1 2 1 2 1 [精解详析] E(X)=0× +10× +20× +50× +60× =16, 3 5 15 15 15 1 2 1 2 1 D(X) = (0 - 16)2× + (10 - 16)2× + (20 - 16)2× + (50 - 16)2× + (60 - 16)2× = 3 5 15 15 15 384. [一点通] 已知分布列求离散型随机变量的方差时, 应首先计算数学期望, 然后代入方差公式求解 即可. 1.已知 X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则 n 与 p 的值分别是( A.n=100,p=0.08 C.n=10,p=0.2 B.n=20,p=0.4 D.n=10,p=0.8 ) 解析:由于 X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6. 所以 np=8,np(1-p)=1.6,解之得 n=10,p=0.8. 答案:D 2.设随机变量 X 的概率分布为 P(X=k)=(1-p)kp1 k(k=0,1),则 E(X)、D(X)的值分别 - 是( ) A.0 和 1 C.p 和 1-p B.p 和 p2 D.1-p 和 p(1-p) 解析:随机变量 X 的概率分布为 P(X=k)=(1-p)k· p1 k(k=0,1),则 P(X=0)=p,P(X= - 1) = 1 - p ,所以 E(X) = 0×p + 1×(1 - p) = 1 - p ,所以 D(X) = [0 - (1 - p)]2×p + [1 - (1 - p)]2×(1-p)=p(1-p). 答案:D 求实际问题中的均值和方差 [例 2] 袋中有大小相同的小球 6 个,其中红球 2 个、黄球 4 个,规定取 1 个红球得 2 分,1 个黄球得 1 分.从袋中任取 3 个小球,记所取 3 个小球的分数之和为 X,求随机变量 X 的分布列、均值和方差. [思路点拨] 确定随机变量 X 的取值,列出其分布列,再计算均值和方差. [精解详析] 由题意可知,X=5,4,3. 1 2 C2 C1 3 2C4 1 2C4 P(X=5)= 3 = ;P(X=4)= 3 = ; C6 5 C6 5 C3 4 1 P(X=3)= 3= . C6 5 故 X 的分布列为 X P 1 3 1 E(X)=5× +4× +3× =4. 5 5 5 1 3 1 2 D(X)=(5-4)2× +(4-4)2× +(3-4)2× = . 5 5 5 5 [一点通] 1.离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体,一般在试题 中综合在一起考查,其关键是求出分布列. 2.在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件,相互独立事件的概率公式计算 概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计算. 5 1 5 4 3 5 3 1 5 3.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 X 表示所选 3 人中女 生的人数. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的均值和方差. 解:(1)X 的可能的取值为 0,1,2, 3 k Ck 2C4 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2. C6 - X 的分布列为 X P (2)由(1)得,X 的均值与方差为 1 3 1 E(X)=0× +1× +2× =1. 5 5 5 0 1 5 1 3 5 2 1 5 1 3 1 2 D(X)=(0-1)2× +(1-1)2× +(1-2)2× = . 5 5 5 5 4.(全国新课标改编)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以

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