9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学:多项式理论_图文

高中数学:多项式理论_图文

第二讲 多项式理论
题记: 克莱因评价高斯在数学中的地位:“我们会 得出这样一个数学场景,如果把18世纪的数学界 想象成为一系列高山峻岭,那么最后一个令人肃 然起敬的峰巅便是高斯,如果把18世纪的数学界 想象成为一条条江河,那么源头便是高斯,他是 那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元 素。”

初等代数研究
第二讲 多项式理论
一、一元多项式理论与轮换、对称多项式 二、根式、指数式、对数式理论

三、三角式理论

一、一元多项式理论与轮换多项式
多项式是代数学中的一个基本概念,也是代 数式中的一种,对代数式的研究都要归结于对多 项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变 形的基础,它把数系的通性推广到整式,使运算 对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、 运算律抽象成一组形式化符号,形成严密的理论 体系,为解代数方程奠定了理论基础。

(一)解析式的定义和恒等
1、定义:用运算符号把数、表示数的字母连 接而成的式子叫做解析式。

说明: 1、在研究解析式恒等时,一定要清楚他 们在什么范围内讨论。(公共定义域) 2、解析式的恒等变形,可能引起定义域 的变化。

(二)一元多项式理论
1、一元多项式的标准形式

多项式理论是方程理论、函数理论、不等 式理论的基础。

2、多项式的恒等 定理1:数域F上的两个具有相同变数字母的 多项式,如果对于变数字母的所有取值,这 两个多项式的值都相等,那么称这两个多项 式是恒等的。

特别地:一个一元n次多项式,如果对于 变数字母的任意取值,以标准形式给出的多 项式的值恒为0,那么这个多项式的系数都等 于0,这个多项式称为0多项式。

定理2:数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。

定理3:数域F上以标准形式给出的两个多 项式,对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值,那么这两个多项式恒等。 定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。

3、多项式的整除

因式分解的理论基础是因式定理 4、多项式的因式分解 中学教材规定:“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式,叫做多项式的因式 分解”。要求:“因式分解要进行到不能 再分解为止。” 高等代数中规定因式分解的涵义是: “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”

关于因式分解理论,有两个基本问题: (1)怎样判断一个多项式是否可约? (2)如果一个多项式是可约的,如何分解?

对于(1)高等代数作出了回答:在复数域 中,一次多项式是既约的,任何次数大于1 的多项式都是可约的;在实数域中,次数大 于等于3的多项式是可约的;在有理数域中, 情况比较复杂,具体问题具体讨论 。

分解因式中的两个有用的结论:

对称、轮换多项式
主要内容:

1、对称多项式的定义;
2、对称多项式的形式; 3、基本对称函数与根与系数的关系; 4、轮换多项式的定义与因式分解;

5、用基本对称函数表示对称多项式。

定义分析: 1、一个置换实际上是指一个排列;

2、置换的总数共有n!种。

判断下列多项式是否是对称多项式

(2)基本对称函数(基本对称多项式)

广义韦达定理:

结论1:任何对称多项式都可以表示成基本 对称函数的形式。
结论2:两个对称多项式的和、差、积、 商、乘方(幂)也是对称多项式。

定义分析: 1、轮换:轮流替换; 2、轮换的总数共有 种。

对称多项式与轮换多项式的关系:对称多 项式是轮换多项式,反之不然。 性质:两个轮换多项式的和、差、积、商、 幂仍是轮换多项式。

(4)轮换多项式的因式分解(因式定理)

轮换多项式因式分解的一般步骤:

1)确定要分解的多项式是轮换多项式;
2)利用因式定理确定出部分因式; 3)据多项式的对称性,写出其他有关多项 式的形式(待定系数法) 4)利用多项式恒等确定待定系数的数值。

用基本对称函数表示对称多项式
题记:

赞美月亮切勿用贬低星星的做法,不然在
赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。

(5)用基本对称函数表示对称多项式

多元多项式的因式分解

分式与根式
分式与根式研究的主要内容: 1、分式的恒等

2、根式的定义与意义 3、复合根式的计算
4、根式的恒等变形和化简

一、有理分式的恒等

二、根式的定义和意义

三、复合根式的计算

四、根式的恒等变形的化简 类型1 多元代数式型
基本思想:观察代数式的结构,转化为基 本对称多项式的形式

类型2 一元代数式型根式 基本思想:转化为一元代数方程式

类型3 一元代数式型 基本思想:降低次数法

类型4 方程型无理根式
基本思想:构造对偶式、函数等方法, 利用相关性质求解

5、代数代换法

6、函数型根式——构造几何模型法

7、三角形代换法

(三)三角方法的应用

指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短 不以活着的年龄为标准, 而以人的贡献来计算的话, 那么对数的发现将人类的 寿命延长了两倍。 ——拉普拉斯

主要内容
1、对数的起源和发展;
2、指数式与对数式的相互关系; 3、指数式与对数式的恒等变形。

历史背景
16世纪的欧洲,资本主义迅速发展, 科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、 造船等行业不断向数学提出新的课题。令 人头痛的问题是:星体的轨迹运算、船只 的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结 构设计等一系列课题中,人们遇到的数据 越来越庞杂,所需的计算越来越繁难,耗 费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何 方?

1、制造各种表格

2、对数研究的起源和发展: 1544年,德国的斯提菲(Stifei)在《普通 算术》中叙述了“关于整数的这些奇妙性质” 写出了两个数列,左边一个是等比数列(叫做 原数),右边是一个等差数列(叫做原数的代 表人物)

17世纪最重要的数学方法 恩格斯在《自然辨证法》中高度评价 了纳皮尔的对数发现,将它与笛卡儿的解 析几何学,牛顿-莱布尼兹的微积分并列为 “17世纪最重要的数学方法”。

2、指数式与对数式的关系

注明: 1、理解指数式与对数式相互转化的过程; 2、明确各字母的含义。 问题:分析两个函数的图形关系(交点个数)

3、指数式与对数式的恒等变形

三角式
题 记: 东升西落照苍穹, 形长影短角不同。

昼夜循环潮起伏, 春秋更替草欣荣。

三角式
三角式的内容结构:
1、三角函数的定义; 2、三角式的恒等变形; 3、欧拉函数与反三角式

一、三角函数的定义

(初中课本)

(高中课本)

在初中数学中,三角函数的概念是以欧 氏几何学的相似原理为理论基础定义的。三 角式来自于解直角三角形,它揭示了直角三 角形中边与角的联系。 在高中教材采用坐标法定义三角函数, 其优点是便于推广三角函数的概念,从方法 上看,把几何问题转化为代数问题来研究可 以简化讨论程序。

新课程标准:用解析几何思想理解三角函数定义 (1)强调了单位圆在学习三角函数中的作用。 首先,单位圆的作用反映在对任意角的理解,从锐 角,直角,钝角,平角,周角,一直到任意角,它 们会很清晰地反映在单位圆中。

(2)一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。 在单位圆中,给定一个角x,角的终边与单位 圆相交于一点M,这一点M的坐标(a,b)就完全 地确定了所有三角函数的值。即sinx = b,cosx = a,tanx = (a不为0),等等。
点M的坐标蕴含着丰富的 含义,包括代数的和几何的含 义。如,b是一个数,它的符号 表示点M所处的位置,当b大于 0,点M处于一或三象限,当b 小于0,点M处于二或四象限, b等于0,点M处在y轴上;这样, a、b都大于0,则M点位于第一 象限,角是第一象限的角。

数形结合在这里体现得十分清楚,正弦函数 的几何意义就是点M纵坐标b的几何意义。它较正 弦函数线更直接、更准确,因为,正弦函数线很难 体现正负关系。 对于正弦、余弦函数作图来说,运用解析几 何的坐标思想也要方便一些。对正切函数,需要做 一个转化,把点M(a,b)转换为点(1,),这 个点的纵坐标就直接、准确的反映了正切的几何意 义。而正切函数线很难体现正负关系。 (3) 三角函数线的使用是历史的原因造成的, 在前面介绍了一点历史,早期的三角学是“静态” 数学,函数思想、解析几何的思想的产生比“静态” 的三角学要晚。在现代的数学教育中,应该强化解 析几何的思想,在一些教材中,淡化了三角函数线, 强调了解析几何的思想,这将会变成趋势。

初高中教材对三角函数定义的联系和区别

注明: 1、理论基础:欧氏几何中的相似原理;
2、研究观点:直角三角形与函数观点;

3、采用方法:坐标法
几何问题代数攻,数形结合两相通。

应该说明:中学阶段的三角式虽然建立 在几何理论基础之上,但它并不依赖于几 何理论,也可以建立在解析理论基础之上。 在数学分析中,通过泰勒公式,将三角函 数展成幂级数的形式。由此表明,三角式 的值不能由有限次代数运算得到,还包括 取极限的过程。

三角函数的解析定义:

三角函数的常微分方程定义

三角函数的公理化定义(函数方程)

二、三角式的恒等变形
理论基础:正六边形法则
(1)倒数关系; (2)平方关系; (3)和差公式; (4)和差化积、积化和差; (5)倍角、半角、三倍角、降幂公式; (6)特殊的三角公式

正六边形法则
六边正方顶角处,从上到下弦切割; 中心记上数字1, 连结顶点三角形; 向下三角平方和,倒数关系是对角,

顶点任意一函数,等于后面两相除。

《三角函数》解题口诀 三角函数共六式, 象限符号坐标制, 函数图象单位圆,周期奇偶现增减。
万能公式不一般, 化为有理式居先, 和差化积须同名,互余角度变名称。

三角函数反函数, 实质就是求角度, 利用直角三角形, 形象直观好换名。

特殊三角函数值口诀:一二三,三二一, 三九二十七。

特殊三角函数值

(一)计算型 (1)试计算下列三角式的值

(2)试计算下列三角式的值

(3)试计算下列三角式的值

(4)试计算下列三角式的值

三角式的恒等变形
题 记:
在孤独中能沉淀出自我便是战胜;

在孤独中能产生出智慧就是超越。

(二)证明型

(三)三角方法的应用

欧拉公式
题 记 平静的湖面难于练就精悍的水手,

安适的环境造就不出时代的伟人。
主要内容:1、欧拉公式与用指数式表示三角式 2、用对数式表示反三角式。



被誉为“数学英雄”的数学家 。 被誉为“数学界的莎士比亚”的数学家是

阿拉哥——欧拉进行复杂的演算不费吹灰 之力,就象常人进行呼吸,或如雄鹰翱翔于天 空那样轻松自如。

欧拉临终遗言:“我要死了。”

欧拉公式
一、欧拉公式的由来

方法1(幂级数)

方法2(构造函数法)

二、用欧拉公式(指数式)表示三角式

一 知识回顾
? 1:指数函数的幂级数展开式
2 n x x 1) ex ? 1? x ? ? ? ? (? ? 2! n!

2:正余弦函数的幂级数展开式
2n x2 x4 x cos x ? 1 ? ? ? ... ? (?1) n ? ... 2! 4! (2n)! 2 n ?1 x3 x5 x sin x ? x ? ? ? ... ? (?1) n ?1 ? ... 3! 5! (2n ? 1)!

二、欧拉公式及其推导
? 在(1)式中,用复数z=iy代替x,根据复变函数的知识知 道所得级数仍然收敛,即
2 n ( iy ) ( iy ) e iy ? 1 ? iy ? ? ... ? ? ... 2! n! y2 y4 y3 y5 ? (1 ? ? ? ...) ? i ( y ? ? ? ...) 2! 4! 3! 5! 2n y2 y4 x ? [1 ? ? ? ... ? ( ?1) n ? ...] 2! 4! ( 2n)!

y3 y5 x 2 n ?1 n ?1 ? i[ y ? ? ? ... ? ( ?1) ? ...] 3! 5! ( 2n ? 1)!

举例说明

? 题记: 研究欧拉的著作 永远是了解数 学的最好方法。 ——高斯

主要内容:
(1)复数的自然对数 (2)自然对数表示反正切 (3)自然对数表示反正切公式的应用

二、用对数式表示反三角式
(1)复数的自然对数 ? 复数的三角式表达 设 Z ? ?(cos? ? i sin ?) 由欧拉公式得 Z ? ?ei? ? eln ? ?i? ?1 ? eln ? ?i? e2k?i ? eln ? ?i? ?2k?i ?) (这里 ? ? 0,?? ? ? ? ? , k ? 0,?1,?2, ln Z ? ln ? ? i? ? 2k?i 取自然对数有: 由 2k?i 表明复数的自然对数有多个值 把其中的 ln ? ? i? ? 称为Z的自然对数的主值,记 着LnZ

(2)用自然对数表示反正切

eix ? e ?ix tan x ? ix ?ix i(e ? e )
解得

1 1 ? iy x ? ln 2i 1 ? iy

1 1 ? iy 从而设 tan x ? y,那么x ? arctany ? ln 2i 1 ? iy

解得
1 ? iy ln ? a ? ib 1 ? iy
1 ? iy ln ? ib ? 纯虚数 1 ? iy

??

?
2

2 1 1 ? iy ?当且仅当 ln 取主值时才有 2i 1 ? iy ? 1 1 ? iy ? ? ? Ln ? 2 2i 1 ? iy 2 1 1 ? iy 因此 arctany ? Ln (自然对数表示反正切 的公式) 2i 1 ? iy

?? ?

?

(3)自然对数表示反正切的公式运用

4 5 16 ? 例1:证明: arcsin ? arcsin ? arcsin ? 5 13 65 2
例2:已知arctanx ? arctany ? arctanz ? ?,

证明:x ? y ? z ? xyz

注意:e

2?i

? 1,e ? ?1

?i

《初等代数研究》上册复习
题 记: 照 高斯被誉为“能从九霄云外的高度按

某种观点掌握星空和深奥数学的天才“。

主要内容
两个字: 数 式

数: 自然数、有理数、无理数、复数

式: 多项式、根式、指数式与对数式、 三角式与反三角式


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com