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【教育专用】2018_2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词综合提升案新人教A版选修1_1

【教育专用】2018_2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词综合提升案新人教A版选修1_1

教育学习+K12

1-4 全称量词与存在量词
综合提升案·核心素养达成 [限时 40 分钟;满分 80 分] 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知命题 p:? x∈R,sin x≤1,则 A.綈 p:? x∈R,sin x≥1 C.綈 p:? x∈R,sin x>1 B.綈 p:? x∈R,sin x≥1 D.綈 p:? x∈R,sin x>1

解析 对于全称命题的否定,既要把全称量词改为存在量词,又要否定结论. 答案 C 2.有下列四个命题:①? x∈R,2x -3x+4>0;②? x∈{1,-1,0},2x+1>0;③ ? x0∈N,使 x0≤x0;④? x0∈N ,使 x0 为 29 的约数.其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
2 2 2 * 2

解析 对于①,这是全称命题,由于Δ =(-3) -4×2×4<0,所以 2x -3x+4>0 恒成 立,故①为真命题; 对于②,这是全称命题,由于当 x=-1 时,2x+1>0 不成立,故②为假命题; 对于③,这是特称命题,当 x0=0 或 x0=1 时,有 x0≤x0 成立,故③为真命题; 对于④,这是特称命题,当 x0=1 时,x0 为 29 的约数成立,所以④为真命题. 答案 C 3.命题“? n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的否定形式是 A.? n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n B.? n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n C.? n0∈N ,f(n0)?N 且 f(n0)>n0 D.? x0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0 解析 根据全称命题的否定是特称命题求解. 写全称命题的否定时,要把量词? 改为? ,并且否定结论,注意把“且”改为“或”. 答案 D 4.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数 x,使 x ≤0 C.两个无理数的和必是无理数 1 D.存在一个负数 x,使 >2
2 * * * * * * * * * * 2

x

解析

A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B 中 x=0 时,x =0,所以 B

2

既是特称命题又是真命题;C 中因为 3+(- 3)=0,所以 C 是假命题;D 中对于任一个负 教育学习+K12

教育学习+K12 1 数 x,都有 <0,所以 D 是假命题.

x

答案 B 5.已知命题 p:对? x∈R,? m∈R,使 4 +2 m+1=0.若命题綈 p 是假命题,则实数 m 的取值范围是 A.[-2,2] C.(-∞,-2] B.[2,+∞) D.[-2,+∞)
x x

解析 因为綈 p 为假,故 p 为真,即求原命题为真时 m 的取值范围. 由 4 +2 m+1=0,得-m= 答案 C 6.已知命题 p:? x0∈R,使 sin x0= 5 2 ;命题 q:? x∈R,都有 x +x+1>0.给出下 2
x x

4 +1 x 1 x =2 + x≥2.∴m≤-2. 2 2

x

列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈 q)”是假命题;③命题“(綈 p)∨q” 是真命题;④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题. 其中正确的个数有 A.1 B.2 C.3 D.4

解析 因为 sin x0=

5 >1,所以命题 p 是假命题; 2

2 ? 1? 3 2 又 x +x+1=?x+ ? + >0, ? 2? 4 所以命题 q 是真命题.綈 p 是真命题,綈 q 是假命题. 根据真值表可得②③正确. 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.命题“? x0,y0<0,x0+y0≥2x0y0”的否定为________________. 解析 命题是特称命题,其否定是全称命题,否定为:? x,y<0,x +y <2xy. 答案 ? x,y<0,x +y <2xy 8.若? x∈R,f(x)=(a -1) 是单调减函数,则 a 的取值范围是________. 解析
? ?a -1>0, ?a<-1或a>1, 依题意有:0<a -1<1?? 2 ?? ?- 2<a<-1 或 1<a< 2. ?a -1<1, ?- 2<a< 2, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

答案 (- 2,-1)∪(1, 2) 9.若存在 x0∈R,使 ax0+2x0+a<0,则实数 a 的取值范围是________. 解析 当 a≤0 时,显然存在 x0∈R, 使 ax0+2x0+a<0. 教育学习+K12
2 2

教育学习+K12 当 a>0 时,需满足Δ =4-4a >0, 得-1<a<1,故 0<a<1. 综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,1). 答案 (-∞,1) 三、解答题(共 35 分) 10.(10 分)判断下列命题的真假. (1)? α ,β ∈R,使 cos(α +β )=cos α +sin β ; (2)? x>0,有 ln x+ln x+1>0; (3)? m∈R,使 f(x)=(m-1)·xm -4m+3 是幂函数,且在(0,+∞)上递减; (4)? φ ∈R,函数 y=sin(2x+φ )都不是偶函数. 解析 (1)当 α =β =0 时,cos(α +β )=cos α +sin β 成立,是真命题. 2 ? 3 1? 3 6 3 (2)ln x+ln x+1=?ln x+ ? + >0 恒成立,是真命题. 2? 4 ? (3)当 m=2 时,f(x)为幂函数且在(0,+∞)上递减,是真命题. π (4)当 φ = 时,y=sin(2x+φ )是偶函数,是假命题. 2 11.(10 分)已知命题 p:“任意 x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,x + 2ax+2-a=0”,若命题 p 与 q 都是真命题,求实数 a 的取值范围. 解析 由命题 p 为真,可得不等式 x -a≥0 在 x∈[1,2]上恒成立,得 a≤(x )min,x ∈[1,2],所以 a≤1, 若命题 q 为真,则方程 x +2ax+2-a=0 有解,所以判别式Δ =4a -4(2-a)≥0,所 以 a≥1 或 a≤-2,又因为 p,q 都为真命题, 所以?
?a≤1, ?
2 2 2 2 2 2 2 6 3 2

?a≥1或a≤-2, ?

所以 a≤-2 或 a=1.

所以实数 a 的取值范围是{a|a≤-2 或 a=1}. 12.(15 分)已知函数 f(x)=x -2x+5. (1)是否存在实数 m0,使不等式 m0+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,并说明理由; (2)若存在一个实数 x0,使不等式 m-f(x0)>0 成立,求实数 m 的取值范围. 解析 (1)不等式 m0+f(x)>0 可化为 m0>-f(x),即 m0>-x +2x-5=-(x-1) -4. 要使 m0>-(x-1) -4 对于任意 x∈R 恒成立,只需 m0>-4 即可. 故存在实数 m0 使不等式 m0+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,此时需 m0>-4. (2)不等式 m-f(x0)>0 可化为 m>f(x0),若存在一个实数 x0 使不等式 m>f(x0)成立,只需
2 2 2 2

m>f(x0)min.
又 f(x0)=(x0-1) +4,
2

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教育学习+K12 所以 f(x0)min=4,所以 m>4. 所以所求实数 m 的取值范围是(4,+∞).

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