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2.4.1二次函数的图象(学案)

2.4.1二次函数的图象(学案)


普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修 1

第二章

函数

§2.4.1 二次函数的图象(学案)
[学习目标] 1、知识与技能 (1) 通过绘制二次函数图象,观察二次函数图象的特征; (2) 通过画出具体二次函数的图象,总结二次函数 y ? x 2 和 y ? ax2 以及

y ? a?x ? h? ? k 的图象之间的关系和变换特征.
2

(3) 利用多媒体绘画技术演示各函数图象之间的关系并能直观认识. 2、过程与方法 (1)通过学习二次函数的图象,借助图形直观认识函数图象的变换,找到一般的变换 规律,完成从直观到抽象的转变. (2)了解运用多媒体技术制作演示函数函数图象,理解和研究二次函数的性质. 3、情感.态度与价值观 通过学习感受到学习二次函数图象的必要性与重要性,增强学习函数的积极性和自 信心. [学习重点]:二次函数图象的变换. [学习难点]:二次函数图象的绘制与想象以及发展到一般函数图象的变换结论. [学习用具]:直尺、多媒体和画图纸 [学习方法]:观察、思考、交流、总结. [学习过程] 【新课导入】 [互动过程 1] 我们初中学习过二次函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的图象是抛物线,了解了抛物线
2

的开口方向、对称轴、顶点等特征以及与系数之间的关系 . 请同学们回顾二次函数

y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 的开口方向与谁的取值有关 ? 抛物线的对称轴的方程是什么 ?
顶点的坐标是什么?怎样表示出? 练 习 1. 回 答 二 次 抛 物 线 ( 1 ) y ? x ? 2 x ? 3 的 对 称 轴 方 程 _________ 和 顶 点 坐 标
2

__________; (2) y ? 2 x ? 6 x ? 11的对称轴方程_______和顶点坐标________.
2

[提出问题] 1. y ? x 和 y ? ax ?a ? 0? 的图象之间有什么关系?
2 2

2. y ? ax ?a ? 0? 和 y ? a?x ? h? ? k ?a ? 0? 的图象之间有什么关系?
2

2

3. y ? ax ?a ? 0? 和 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的图象之间有什么关系?
2 2

用心

爱心

专心

这三个问题是本节课所要解决的问题.引出课题: 2.4.1 二次函数的图象 1.请同学们列表画出函数 y ? x 2 和 y ? 2 x 2 的图像 x ? ? ? -3 9 18 -2 4 8 -1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 18 ? ? ?

y ? x2
y ? 2x 2

[互动过程 2] 从表中你发现了什么?从图像上发生这样的变化?它们相对应的点之间有什么关系? 从表中我们不难发现,要得到 2 x 的值,只要把相应的 x 的值扩大____倍即可,在图像上 则可以看出把线段 AB________为原来的____倍,即 AC 的长度,得到当 x ? 1
2 2

时, y ? 2 x2 对应的值.同理,其余的 x 的值对应的 x 的值,都_____为原来的___倍,就可以得到
2

y ? 2x2 的图像了.请你用类似的方法画出 y ?
思考:(1) y ?

1 2 x 和 y ? ?2x 2 的图像. 2

1 2 x 和 y ? ?2x 2 的图像与 y ? x 2 和 y ? 2x 2 的图像之间有什么关系? 2

(2)二次函数 y ? ax2 ?a ? 0? 与 y ? x 2 的图像之间有什么关系?请你总结出规律. 规律:二次函数 y ? ax ?a ? 0? 的图像可以由 y ? x 的图像变化得到,横坐标
2 2

____________,纵坐标__________________到原来的_____________倍. (3)二次函数 y ? ax ?a ? 0? 中 a 起什么作用?
2

从图上可以看出,a 决定了图像的_________和__________________________. [互动过程 3]
2 请画出 y ? 2 x 与 y ? 2 ? x ? 1? ? 3 的图像,并回答下列问题:
2

2 1 .抛物线 y ? 2 x 与 y ? 2 ? x ? 1? ? 3 的顶点分别是 ______________. 对称轴和开口方向
2

用心

爱心

专心

_________________________那么开口大小呢?开口大小与谁有关呢? 2. y ? 2 x2 与 y ? 2 ? x ? 1? ? 3 的图像有什么关系?
2

抛物线 y ? 2 x2 的顶点为____________开口向_________, 对称轴为____________, y ? 2 ? x ? 1? ? 3 的顶点是_________,
2

开口向________,对称轴为______________. 从图上可以看出只要把 y ? 2 x2 向_________平移__________个 单位长度, 再向__________平移___________个单位长度就 可以得到 y ? 2 ? x ? 1? ? 3 的图像.,它们的形状相同,位置不同.
2

[互动过程 4] 1.你能说出由函数 y ? ?3x 2 的图像怎样得到函数

y ? ?3 ? x ? 2? ? 1 的图像吗?
2

2.如果把函数 y ? ?5x 2 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个 单位,你得到的是哪个函数的图像?请你写出解析式_______________________________.

3.思考:对于二次函数 y ? a ? x ? h? ? k ? a ? 0 ? , a 的作用是什么? h 和 k 分别代表什么含
2

义? 结论:一般地, 二次函数 y ? a ? x ? h ? ? k ? a ? 0 ? , a 决定了二次函数图像的_________及
2

___________; h 决 定 了 二 次 函 数 图 像 的 ________ 平 移 , 而 且 遵 循 的 原 则 为 “ ____________________ ” ; k 决 定 了 二 次 函 数 图 像 的 __________ 平 移 , 而 且 “_______________________”. 4 .思考 :对于一个一般函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图像与函数 y ? f ( x) 的图像之间的关系怎 样? 你能由函数 y ? f ( x) 的图像得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图像吗? [互动过程 5] 1.你能写出函数 y ? 2 x ? 4 x ? 2 的顶点坐标吗?有哪些方法?请你把方程改写为
2

y ? a? x? ? h ? ?k a? 0 ? 的形式吗?你能说出函数的图象是由 y ? 2x2 的怎样进行平
2

移的吗?

用心

爱心

专心

y

O

x

2.请举出一例形如 y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 的函数改写为 y ? a ? x ? h ? ? k ? a ? 0 ? 形式的
2

函数吗?试试看. 3.你能写出函数 y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 的顶点坐标吗?请你把函数改写为顶点式

y ? a? x? ? h ? ?k a? 0 ? 的形式 . 并说明函数的图象是怎样由 y ? ax2 ?a ? 0? 的图象
2

变来的. 变 化 规 律 为 :

y ? ax2 ? bx ? c =_________________________, 即 把 函 数

y ? ax2 ?a ? 0? 的图象向__________________________________平移_______________
个单位,然后再向_________________平移________________个单位. 4. 二次函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 中,确定函数图像开口大小和方向的参数是什么?确定函
2

数图像位置的参数是什么? 5.写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.

例1. 二次函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数 g ( x) 的解析式 和 f ( x ) 图像的顶点,写出函数 f ( x ) 的解析式.
2 (1)函数 g ( x) ? x , f ( x ) 的顶点为(4,-7);

用心

爱心

专心

(2)函数 g ( x) ? ?2( x ? 1) 2 , f ( x ) 的顶点为(-3,2)

练习: 1.画出函数 y ? 2 x2 的图像,并由此图像得到函数 y ? 2 x2 ? 4 x ? 5 的图像.

练习: 2.不画函数的图像,你能说出由函数 y ? x 的图像怎样得到函数 y ?
2

1 2 x ? 2x ? 3 的 2

图像吗?

练习: 3.画出函数 y ?

1 1 ? 2 的图像?. 的图像,怎样得到函数 y ? x x?3

用心

爱心

专心

练习 : 4. 画出函数 y ? ? 吗?

2 2 3x ? 8 的图像 , 你能由函数 y ? ? 的图像 , 得到函数 y ? 的图像 x x x?2

[解决的问题]: 1. 2 3. 4. 〖课后练习〗P44 练习 1,2,3. 〖课后作业〗P46 习题 1,2,3

用心

爱心

专心


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