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高中数学第三章不等式3.4简单线性规划线性规划中的两个结论及其应用素材北师大版必修5

高中数学第三章不等式3.4简单线性规划线性规划中的两个结论及其应用素材北师大版必修5

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线性规划中的两个结论及其应用
结论 1、若点 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y 2 ) 在直线 l :Ax+By+c=0 的同侧,则( Ax1 ? By1 ? c) · ( Ax2 ? By2 ? c) ? 0 ;若在异侧,则( Ax1 ? By1 ? c) ( Ax2 ? By2 ? c) ? 0. 2、直线 l :Ax+By+c=0(B>0),当 P ( x1 , y1 ) 在 l 的上方时, Ax1 ? By1 ? c ? 0 ;在 下方时, Ax1 ? By1 ? c ? 0. 同理可知 B<0 的结论,可用口诀表示为“同号在上,异号在 下”。 应用 表示平面区域

?y ? x ? 例 1、画出不等式组 ? x ? 2 y ? 4 表示的平面区域 ? y ? ?2 ? ? x ? y ? 0?? (1) ? 解:原不等式组可化为 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ?? (2) ? y ? 2 ? 0?? (3) ?
根据口诀“异号在下方”,得不等式(1)表示的平面区域在直线 x-y=0 的下方,不等 式(2)表示的平面区域在直线 x+2y-4=0 的下方。 根据“同号在上方”,得不等式(3)表示的平面区域在直线 y+2=0 的上方。 故原不等式组所表示的平面区域如图 1 中三角形的阴影部分(不包括边界)。 求斜率范围 例 2、已知有向线段 PQ 的起点 P(-1,1),终点 Q(2,2),过点 A(0,-1)的直 线 l 与 PQ 的延长线相交于点 M,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 解:如图 2,因为 l 与有向线段 PQ 的延长线相交,所以,P、Q 应在 l 的上方。 设 l :y+1=kx(斜率显然存在且 k>0),即 kx-y -1=0.由结论(2)知,由题意,应满足

1

? ?? k ? 1 ? 1 ? 0 ? ?2 k ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ?k ? k PQ ? 3 ?
求取值范围



所以,

1 3 ?k? . 3 2

例 3、设 ? , ? 是实系数方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两根,且 ? ? (0,1), ? ? (1,2) ,则
2

b?2 的取值范围是( ) a ?1 1 1 A、 ( ,1) B、 ( ,1) 4 2

C、 ( ?

1 1 , ) 2 4

D、 ( ?

1 1 , ) 2 2

? ? (0,1), ? ? (1,2) , 解: 依题意得 ? ? ? =-a, 即 a=- (? ? ? ) , 且 ?? =2b.因为,
所以, ? 3 ? ?(? ? ? ) ? ?1,0 ? ?? ? 2. 所以, ? 3 ? a ? ?1,0 ? b ? 1. 令 则 k(a-1)-不+2=0. 记 f(a,b)=k(a-1)-b+2,A(1, 2),B(-1,0),C(-3,1),D(a,b),则 f(a,b)=0 表 示过定点 A(1,2)的直线,由 a,b 的变化范围知点 B、C 位于直 线 f(a,b)=0 异侧,如图 3. 所以,f(-1,0)f(-3,1)<0,即(-2k+2)(-4k+1)<0 所以,

b?2 =k, a ?1

1 ? k ? 1. 故选 A. 4

2


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