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高中数学人教A版选修2-1高二理科 圆锥曲线单元练习 12月12日

高中数学人教A版选修2-1高二理科     圆锥曲线单元练习     12月12日

高中数学学习材料
(灿若寒星 精心整理制作)

高二理科
一、选择题

圆锥曲线单元练习 12 月 12 日

1.准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是( )

A. y2 ? ?2x

B. y2 ? ?4x

C. y2 ? ?2x

D. y2 ? 4x

2.曲线 x2 ? y2 ? 1(m ? 6) 与曲线 x2 ? y2 ? 1(5 ? m ? 9) 的(

)

10 ? m 6 ? m

5?m 9?m

A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同

3 已知两定点 F1(?1, 0) 、F2 (1, 0) 且 F1F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹

方程是( )

x2 y2 A. ? ? 1
16 9

x2 y2 B. ? ? 1
16 12

x2 y2 C. ? ? 1
43

x2 y2 D. ? ? 1
34

4.已知双曲线

x2 a2

?

y2 2

? 1(a

?

2) 的两条渐近线的夹角为 ? ,则双曲线的离心率为( 3

(A) 2 3 3

(B) 2 6 3

(C) 3

(D)2

5. 双曲线 x2 ? y2 ? 1(mn ? 0) 的离心率为 2, 有一个焦点与抛物线 y2 ? 4x 的焦点重 mn

合,则 mn 的值为( )

A. 3

B. 3

C. 16

D. 8

16

8

3

3

6. 设双曲线以椭圆 x2 ? y2 ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双 25 9

曲线的渐近线的斜率为( )

A. ?2

B. ? 4 3

C. ? 1 2

D. ? 3 4

7. 抛物线 y ? 4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( )

A. 17 16

B. 15 16

C. 7

D. 0

8

8.

已知

F1、F2

是双曲线

x a

2 2

y2 ?
b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三

角形 MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 (



A. 4 ? 2 3 B. 3 ?1 C. 3 ? 1 D. 3 ? 1 2
8.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线

的方程是( )A. y ? 3x2 或 y ? ?3x2

B. y ? 3x 2

C. y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2

D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9x

9.M 是 y2 ? x 上的动点,N 是圆 (x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 1关于直线 x-y+1=0 的对称曲线 C 上的一点,则|MN|的最小值是( )

A. 11 ?1 2

B. 10 ?1

C.2

2

D. 3 ?1

10 椭圆 x2 ? y 2 ? 1 (a>b>0)离心率为 3 ,则双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的离心率为

a2 b2

2

a2 b2

A. 5
4

B. 5

C. 2

2

3

D. 5
4

11.过双曲线 x2- y2 =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若|AB|=4,则 2

这样的直线 l 有 A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

12.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A.B,交其准

线于点 C,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 ,则此抛物线的方程为 y

A

A. y 2 ? 3 x
2

B. y 2 ? 3x

C. y 2 ? 9 x
2
二.填空题

D. y 2 ? 9x

O

F

x

B

C

13.若曲线 x2 ? y2 ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是



4? k 1?k

14.设

AB 是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1的不垂直于对称轴的弦, M



AB 的中点, O 为坐标原

点,则 kAB ? kOM ? ____________。

15.设点 P 是双曲线 x 2 ? y 2 ? 1上一点,焦点 F(2,0),点 A(3,2),使|PA|+ 1 |PF|

3

2

有最小值时,则点 P 的坐标是________________________________.

16.如图,把椭圆 x2 ? y2 ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆
25 16
的上半部分于 P1, P2 , P3, P4 , P5, P6, P7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,

则 P1F ? P2F ? P3F ? P4F ? P5F ? P6F ? P7F ?

.

三.解答题 17. k 代表实数,讨论方程 kx2 ? 2 y2 ? 8 ? 0 所表示的曲线.
18.双曲线与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 27 36
19.已知椭圆 x2 ? y2 ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同 43
两点关于直线 y ? 4x ? m 对称。
20.已知抛物线 y 2 ? 4x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中 点,M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程.(12 分)

21.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 3 ,焦距为 2 3 (I)求该双曲线方程. (II)是否定存在过点 P (1 ,1)的直线 l 与该双曲线交于 A , B 两点,且点 P 是线
段 AB 的中点?若存在,请求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由.

22.(满分 12 分)设 F1、 F2 分别是椭圆

x2 4

?

y2

? 1的左、右焦点.

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 · PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B ,且∠ AOB为锐角(其

中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围.



BACAA CBDDA 13. k ? ?4 或 K>1

BCB

14. ? b2 15.( 21 ,2)

a2

3

16.35

17..解:当 k

? 0 时,曲线

y2 4

?

x2 ?8

? 1为焦点在

y

轴的双曲线;

k

当 k ? 0 时,曲线 2 y2 ? 8 ? 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线;

当 0 ? k ? 2 时,曲线 x2 ? y2 ? 1为焦点在 x 轴的椭圆; 84 k
当 k ? 2 时,曲线 x2 ? y2 ? 4 为一个圆;

当k

?

2 时,曲线

y2 4

?

x2 8

? 1为焦点在

y 轴的椭圆。

k

18..解:椭圆 y2 36

?

x2 27

? 1的焦点为 (0, ?3), c

? 3,设双曲线方程为

y2 a2

x2 ? 9 ? a2

?1

过点 (

15, 4) ,则 16 a2

15 ? 9 ? a2

? 1 ,得 a2

?

4,或36 ,而 a2

?9,

?a2 ? 4 ,双曲线方程为 y2 ? x2 ? 1 。 45

19.解:设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) , AB 的中点 M (x0, y0 ) , kAB

?

y2 x2

? y1 ? x1

??1, 4

而 3x12 ? 4 y12 ? 12, 3x22 ? 4 y22 ? 12, 相减得 3(x22 ? x12 ) ? 4( y22 ? y12 ) ? 0,

即 y1 ? y2 ? 3(x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m

而 M (x0,

y0 ) 在椭圆内部,则

m2 4

?

9m2 3

? 1, 即 ?

23 13

?

m

?

23 13

20.(12 分)[解析]:设 M( x, y ),P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),易求 y 2 ? 4x 的焦点 F 的坐标为(1,
0)

∵M 是 FQ 的中点,∴

x ? 1? x2 2

?

x2

? 2x ?1 ,又 Q 是 OP 的中点∴

y ? y2

y2 ? 2y

2

x2

?

x1 2

y2

?

y1 2

?

x1 ? 2x2 ? 4x ? 2 ,
y1 ? 2 y2 ? 4 y

∵P 在抛物线 y 2 ? 4x 上,∴ (4 y)2 ? 4(4x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1
2

21.(1) x 2 ? y 2 ? 1 2

(2)设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,直线: y ? kx ?1 ? k ,代入方程 x 2

?

y2 2

? 1得

(2 ? k 2 )x2 ? 2k(1 ? k)x ? (1 ? k)2 ? 2 ? 0 ( 2 ? k 2 ? 0 )



x1

? x2 2

?

k(1 ? k) 2?k2

? 1,解得

k ? 2 ,此时方程为 2x2 ? 4x ? 3 ? 0 , ? ? 0

方程没有实数根。所以直线 l 不存在。

22.解:(Ⅰ)解:易知 a ? 2,b ? 1, c ? 3

? ? ? ? 所以 F1 ? 3,0 , F2 3,0 ,设 P?x, y? ,则

? ? ? ? ? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ?y ,

3 ? x, ? y ? x2 ? y2 ? 3 ? x2 ?1? x2 ? 3 ? 1 3x2 ? 8

4

4

因为 x ???2, 2?,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2

当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值1
(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A? x1, y2 ?, B?x2, y2 ? ,

? y ? kx ? 2

联立

? ?

x2

?? 4

?

y2

,消去 ?1

y

,整理得:

? ??

k

2

?

1 4

? ??

x2

?

4kx

?3

?

0



x1

?

x2

?

?

4k k2 ?

1

,

x1

?

x2

?

k2

3 ?

1

4

4



?

?

?4k

?2

?

4

? ??

k

?

1 4

? ??

?

3

?

4k 2

?

3

?

0

得:

k

?

3 或k ?? 2

3 2

又 00 ? ?A0B ? 900 ? cos ?A0B ? 0 ? OA?OB ? 0 ∴ OA?OB ? x1x2 ? y1y2 ? 0



y1 y2

?

?kx1

?

2??kx2

?

2?

?

k 2 x1x2

?

2k

? x1

?

x2

??

4

?

3k 2 k2 ? 1

?

?8k 2 k2 ? 1

?

4

?

?k2 ?1 k2 ? 1

4

4

4



3 k2 ? 1

?

?k2 ?1 ?0
k2 ? 1

,即

k2

?4

4

4

3 ?k ?2 2

∴ ?2 ? k ? 2 故 由 ① 、 ② 得 ?2 ?k ? ? 3 或 2


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