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高考数学数学难题1

高考数学数学难题1

1、已知函数 f(x)=mx +nx (m、n∈R ,m≠0)的图像在(2,f(2))处的切线与 x 轴平行. (1)求 n,m 的关系式并求 f(x)的单调减区间; (2)证明:对任意实数 0<x1<x2<1, 关于 x 的方程:

3

2

在(x1,x2)恒有实数解 (3)结合(2)的结论,其实我们有拉格朗日中值定理:若函数 f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数,且在区间

(a,b)内导数都存在,则在(a,b)内至少存在一点 x0,使得 余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明:

.如我们所学过的指、对数函数,正、

当 0<a<b 时,

(可不用证明函数的连续性和可导性)

1、解:(1)因为 f’(x)=3mx +2nx,---1’ 由已知有 f’(2)=0,所以 3m+n=0 即 n=-3m 即 f’(x)=3mx -6mx,由 f’(x)>0 知 mx(x-2)>0. 当 m>0 时得 x<0 或 x>2,f(x)的减区间为(0,2); 当 m<0 时得:0<x<2,f(x)的减区间为(-∞,0),(2,+∞); 综上所述:当 m>0 时,f(x)的减区间为(0,2); 当 m<0 时,f(x)的减区间为(-∞,0),(2,+∞);
2

2

可化为 3x -6x-x1 -x2 -x1x2+3x1+3x2=0,令 h(x)= 3x -6x-x1 -x2 -x1x2+3x1+3x2 则 h(x1)=(x1-x2)(2x1+x2-3),h(x2)=(x2-x1)(x1+2x2-3), 即 h(x1)h(x2)=-(x1-x2) (2x1+x2-3)(x1+2x2-3) 又因为 0<x1<x2<1,所以(2x1+x2-3)<0,(x1+2x2-3)<0, 故 h(x)=0 在区间(x1,x2)内必有解, 即 h(x1)h(x2)<0,
2

2

2

2

2

2

2

即关于 x 的方程

在(x1,x2)恒有实数解

(3)令 g(x)=lnx,x∈(a,b),

则 g(x)符合拉格朗日中值定理的条件,即存在 x0∈(a,b),使

因为 g’(x)=

,由 x∈(a,b),0<a<b 可知 g’(x)∈(

),b-a>0





2、设函数

,其中



证明:当 极值. 3、(本小题满分 14 分)

时,函数

没有极值点;当

时,函数

有且只有一个极值点,并求出

已知函数



(1)当

时,如果函数

仅有一个零点,求实数 的取值范围 ;

(2)当

时,试比较

与 的大小;

(3)求证:



).

3、解:(1)当

时,

,定义域是



, 令

,得





?2 分





时,

,当

时,



函数





上单调递增,在

上单调递减.

?????4 分

的极大值是

,极小值是





时,

; 当

时,





仅有一个零点时, 的取值范围是



.?????5 分

(2)当

时,

,定义域为











上是增函数.

?????????????7 分

①当

时,

,即



②当

时,

,即



③当

时,

,即



?????????????9 分

(3)(法一)根据(2)的结论,当

时,

,即





,则有



. ?????12 分

,[来源:学科网 ZXXK]



??????????????14 分

(法二)当

时,





,即

时命题成立.

????????????10 分

设当

时,命题成立,即



时,



根据(2)的结论,当

时,

,即





,则有



则有

,即

时命题也成立.?????13 分

因此,由数学归纳法可知不等式成 立. (法三)如图,根据定积分的定义, ????????????14 分



.??11 分





????????????12 分













?????????????14 分

【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识,考查分类讨论思想和数 形结合思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识.

4、(本题满分 14 分)

已知函数

( 为自然对数的底数).

(1)求

的最小值;

(2)不等式

的解集为

,若



求实数 的取值范围;

(3)已知

,且

,是否存在等差数列 ?若存在,请求出数列

和首项为

公比大于 0 的等比数列

,使得

的通项公式.若不存在,请说明理由.

4、解:(1)

1分





;当

?4 分

(2)



有解





上有解

?6 分





上减,在[1,2]上增



,且

? 8分

(3)设存在公差为

的等差数列

和公比

首项为

的等比数列

,使

?10 分



时,



②-①×2 得,

解得

(舍)



?12 分

此时

存在满足条件的数列

满足题意

?14 分

5、(本小题满分 14 分)

已知函数

(1) 当

时,求函数

的最值;

(2) 求函数

的单调区间;

(3) 试说明是否存在实数

使

的图象与

无公共点.

5、 解:(1) 函数 f(x)=x -ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)????????1 分

2

当 a=1 时,

,所以 f (x)在

为减函数

???3 分



为增函数,所以函数 f (x)的 最小值为

=

.??????5 分

(2)

???????????????6 分

若 a≤0 时,则

f(x)

在(1,+∞)恒成立,所以 f(x)的增区间为(1,+

∞).????????????8 分

若 a >0,则

故当



,????? 9 分



时,f(x)

,

所以 a>0 时 f(x)的减区间为

,f(x)的增区间为

.??????10 分

(3) a≥1 时,由(1)知 f(x)在(1,+∞)的最小值为

,???11 分



在 [1,+∞)上 单调递减,

所以



>0,????????12 分

因此存在实数 a(a≥1)使 f(x)的最小值大于



故存在实数 a(a≥1)使 y=f(x)的图象与

无公共点.?????????14 分

6、已知函数

(1)、若函数



处的切线方程为

,求

的值;

(2)、若函数



为增函数,求 的取值范围;

(3)、讨论方程

解的个数,并说明理由。

6、解:(1)因为:

,又



处的切线方程为

所以

解得:

???3 分

(2)若函数



上恒成立。则



上恒成立,

即:



上恒成立。所以有

??3 分

(3)当

时,

在定义域

上恒大于 ,此时方程无解;??7 分



时,



上恒成立,所以

在定义域

上为增函数。



,所以方程有惟一解。??8 分



时,

因为当

时,





内为减函数;



时,



内为增函数。

所以当

时,有极小值即为最小值

。??10 分



时,

,此方程无解;



时,

此方程有惟一解





时,

因为



,所以方程

在区间

上有惟一解,??12 分

因为当

时,

,所以

所以

因为

,所以

所以

方程

在区间

上有惟一解。

所以方程

在区间

上有惟两解。

??14 分

综上所述:当

时,方程无解;



时,方程有惟一解;



时方程有两解。

??14 分

7、设函数

,其中 为常数.

(1)当

时,判断函数

在定义域上的单调性;

(2)若函数

的有极值点,求 的取值范围及

的极值点;

(3)求证对任意不小于 3 的正整数 ,不等式

都成立.

7、解:(1)由题意知,

的定义域为





时,

,函数

在定义域

上单调递增.

(2)①由(Ⅰ)得,当

时,函数

无极值点.



时,

有两个相同的解



时,

时,函数



上无极值点.

③当

时,

有两个不同解,

时,



,

此时



随 在定义域上的变化情况如下表:



极小值



由此表可知:

时,

有惟一极小值点



ii)



时,0<

<1

此时,



随 的变化情况如下表:



极大值



极小值



由此表可知:

时,

有一个极大值

和一个极小值点

; 综上所述:

当且仅当



有极值点;



时,

有惟一最小值点





时,

有一个极大值点

和一个极小值点

(3)由(2)可知当

时,函数



此时

有惟一极小值点



8、对于给定数列 “M 类数列”.

,如果存在实常数

,使得

对于任意

都成立,我们称数列



(I)若





,数列



是否为“M 类数列”?若是,指出它对应的实常数



若不是,请说明理由;

(II)若数列

满足





(1)求数列



项的和.

(2)已知数列

是 “M 类数列”,求

.

9、已知定义在

上的奇函数

满足

,且对任意





(Ⅰ)判断



上的奇偶性,并加以证明.

(Ⅱ)令



,求数列

的通项公式.

(Ⅲ)设



的前 项和,若



恒成立,求

的最大值.

9、解:(Ⅰ).

对任意



????①





;??????????????????1分



由①得



用 替换上式中的



???????????????2分



上为奇函数.??????????????????3分

(Ⅱ).

满足

,则必有

否则若

则必有

,依此类推必有

,矛盾

??????????????????5分

,又

是 为首项, 为公比的等比数列,?????????????7分

??????????????????8分

(Ⅲ).

??????????????????9分



??????????????②

?????????③

② ③得

??????????????????11分

??????????????????12分





恒成立须

,解得

????????13分

的最大值为- .

??????????????????14分

10、

(本小题满分 14 分)

已知数列

是各项均不为 的等差数列,公差为



为其前

项和,且满足



.数列







为数列

的前 n 项和.

(1)求







(2)若对任意的

,不等式

恒成立,求实数

的取值范围;

(3)是否存在正整数 明理由.

,使得

成等比数列?若存在,求出所有

的值;若不存在,请说

10、解:(1)(法一)在

中,令









??????????????2 分

解得





???????????????3 分







????????5 分

(法二)

是等差数列,



??????????2 分



,得







,则



?????????3 分

(

求法同法一)

(2)①当 为偶数时,要使不等式 立. ?????????????6 分

恒成立,即需不等式

恒成

,等号在

时取得.

此时

需满足



????????????????7 分

②当 为奇数时,要使不等式 立.

恒成立,即需不等式

恒成

?????????????8 分

是随 的增大而增大,



取得最小值



此时

需满足



????????????????9 分

综合①、②可得

的取值范围是



????????? ???????10 分

(3)





成等比数列,则

,即

.?11 分

(法一)由



可得







?????????????12 分



??????????????13 分



,且

,所以

,此时



因此,当且仅当



时, 数列

中的

成等比数列.????14 分

(法二)因为

,故

,即



,(以下同上).

????????????????13 分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识;考查了学生 的函数思想方法,及其推理论证和探究的能力.

11、(本小题共 14 分)

如图,在四棱柱 交点, ,点 ,

中,底面 分别在 和

是正方形,侧棱与底面垂直,点 上,且 .

是正方形

对角线的

(Ⅰ)求证:

∥平面



(Ⅱ)若

,求

的长;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角

的余弦值.

11、解:(Ⅰ)证明:取

,连结



,





















.∴四边形

为平行四边形,







在矩形

中,



∴四边形

为平行四边形.













平面



平面





∥平面



————————4 分

(Ⅱ)连结

,在正四棱柱

中,

平面









∴ 平面

平面 .







由已知

,得







在△

与△

中,





∴△

∽△





.—————————9 分

(Ⅲ)以

为原点,





所在直线为 ,

, 轴,建立空间直角坐标系.





由(Ⅱ)知

为平面

的一个法向量,



为平面

的一个法向量,



,即





,所以







∵二面角

的平面角为锐角,

∴二面 角

的余弦值为



—————————13 分

12、 (本小题满分 14 分) 已知圆

的圆心为

, 半径为



圆 C 与椭圆





一个公共点 A(3,1),F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点.


1)求圆 C 的标准方程;

(2)若点 P 的坐标为(4,4),试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出椭圆 E 和直线 不能,请说明理由.

的方程;若

12、解:(1)由已知可设圆 C 的方程为

将点 A 的坐标代入圆 C 的方程,得



,解得





∴圆 C 的方程为

?????????.6 分

(2)直线

能与圆 C 相切

依题意设直线

的方程为

,即

若直线

与圆 C 相切,则



,解得



时,直线

与 x 轴的交点横坐标为

,不合题意,舍去



时,直线

与 x 轴的交点横坐标为



∴ ∴由椭圆的定义得:



,即





直线 分

能与圆 C 相切,直线

的方程为

,椭圆 E 的方程为

???.14

13、如图所示,已知椭圆 直线 与抛物线

和抛物线 两点

有公共焦点

,

的中心和

的顶点都在坐标原点,过点



分别相交于

(1)写出抛物线

的标准方程;

(2)若

,求直线 的方程;

(3)若坐标原点

关于直线 的对称点

在抛物线

上,直线 与椭圆

有公共点,求椭圆

的长轴长的最小值。

(本小题满分 15 分)

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/08a91fa1-e7dd-4d16-8100-cdf4ef8a5ede?a=1

13、解:(1)

..............................3 分

(2)设

..............................5 分

..............................7 分

..............................9 分

(3)

..............................11 分

椭圆设为

消元整理

............13 分

..............................15 分

14、(本小题满分 12 分)

设 F 是抛物线 G: (Ⅰ)求抛物线 G 的方程;

的焦点,过 F 且与抛物线 G 的对称轴垂直的直线被抛物线 G 截得的线段长为 4.

(Ⅱ)设 A、B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA⊥FB,延长 AF、BF 分别交抛物线 G 于点 C、D,求四边形 ABCD 面积的最小值.

15、已知椭圆

的中心在坐标原点,焦点在 轴上,椭圆

上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1.

(1)求椭圆

的标准方程;

(2)若直线

与椭圆

相交于

两点(

不是左右顶点),且以

为直径的圆过椭圆

的右顶点.求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.

16、 已知点 径与⊙

,直线

, 动点

M 在直线 的右侧, 以

为圆心的动圆与直线 相切, 且与以

为圆心 (半

相等)的圆外切。

(Ⅰ)求点

的轨迹方程;

(Ⅱ)过直线

与 轴的交点

作直线与点

的轨迹交于不同两点



,求

的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设点

关于 轴的对称点为

,问:直线

是否过定点?

若存在,求此定点的坐标,若不存在,说明理由。 http://course.baidu.com/view/71fec758be23482fb4da4c2d.html

16、解:(Ⅰ)设圆

的半径为 ,则点

到直线 的距离

所以点

的轨迹是以

为焦点、 为准线的双曲线右支



轨迹方程为

(Ⅱ)设直线

的方程为

,代入双曲线方程消去得



则此方程由两个不相等的正实根





得到

(Ⅲ)设



方法 1:直线



,将

代入右边再代入

整理得

因此,直线

过定点

方法 2:

直线

的方程为

因此,直线

过定点(4,0).

17、设椭圆 E:

(a,b>0)过 M(2,

) ,N(

,1)两点,O 为坐标原点,

(I)求椭圆 E 的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

?若存在,写

18、在平面直角坐标系

中,过定点

作直线与抛物线

相交于 A、B 两点.

(Ⅰ)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值;

(Ⅱ)是否存在垂直于 y 轴的直线 ,使得 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?

若存在,求出 的方程;若不存在,说明理由.

(此题不要求在答题卡上画图)

评卷人 (每空? 分,共? 分)

得分

二、计算题

19、已知函数

在区间

上为增函数,且



(1)当

时,求

的值;

(2)当

最小时, ①求 的值;

②若



图象上的两点,且存在

实数

使得

,证明:



19、解:

。????2 分

(1)当

时,由









所以



上为增函数,在



上为减函数,????4 分

由题意知

,且



因为 可知

,所以



。 分

??????7

(2)① 因为



当且仅当

时等号成立。??8 分



,有

,得

;????9 分



,有

,得

;????10 分



取得最小值时,





????11 分

②此时,







知,

,????12 分

欲证

,先比较



的大小。

因为

,所以

,有



于是

,即

,????13 分

另一方面,



因为

,所以

,从而

,即

。?14 分

同理可证 分

,因此



????15

20、已知函数



(1)证明:存在

,使



(2)设

=0,





,其中 =1,2,?,证明:



(3)证明:



20、解:(1)令 g( )=

( )一 ,则 g(0)=

(0)一 0=



g(

)=

(

)一

=-

又 g( )在[0,

]上连续,所以存在

0

∈(0,

)使 g(

0

)=0,即

(

0

)=

0

(2)∵

( )=3

2

-2 +

=3( 一

)+

2

>0



( )是 R 上的单调增函数

∴0<

0

<

,即

1

<

0

<y1,又

( )是增函数



(

1

) <

(

0

)<

(y1),即

2

<

0

<y2



2

=

(

1

)=

(0)=

>0=

1



y2=

(y1)=

(

)=

<

=y1

综上,

1

<

1

<

0

<y2<y1.

用数学归纳法证明如下: ①当 =1 时,上面已证明成立;

②假设当 =k(k≥1)时,有

k

<

k+1

<

0

<yk+1<yk

当 =k+1 时,由

( )是单调递增函数,有

(

k

)<

(

0

)<

(yk+1)<

(yk)



k+1

<

k+2

<

0

<yk+2<yk+1
n

由①和②知,对一切 =1,2,?,都有

<

n+1

<

0

<yn+1<yn

(3)方法一:∵0≤

n

≤yn≤



∴0≤

n

yn,0<

n

+yn<1 得一

<

n

+yn 一

<



=

=

≤(

+

) 一(

2

+

)+

=(

+



)+

2

<





-

<

(

-

).

方法二:0≤





,∴0<

+

<1



=

=

<

=





21、如果函数

在区间 D 上有定义,且对任意

,则称函数

为区间 D 上的“凹函数”,

(Ⅰ)已知 明理由;

是否是“凹函数”,若是,请给出证明;若不是,请说

(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的函数

有下列性质:“若

使得

”成立,利用这个性质证明

唯一.

(Ⅲ)设 A、B、C 是函数 △ABC 是钝角三角形.

图象上三个不同的点,求证:

21、解:(Ⅰ)函数

是凹函数,证明如下:







∴1+



是凹函数.

(Ⅱ)证明:假设存在

????①

????②

①-②得,









上的单调增函数.



矛盾,即

是唯一的.

(Ⅲ)证明:设



上的单调减函数.









∴ 故△ABC 为钝角三角形.

为钝角.

22、已知函数 f(x)(x∈R)满足下列条件:对任意的实数 x1、x2 都有 f(x2)|≤|x1-x2|,其中

≤ f(a).

[f(x1) f(x2)]和|f(x1)

是大于 0 的常数,设实数 a0,a,b 满足 f(a0)=0,b=a

(1)证明

≤1,并且不存在 b0≠a0,使得 f(b0)=0

(2)证明(b a0) ≤(1

2

2

)(a a0)

2

(3)证明[f(b)] ≤(1

2

) [f(a)]

2

22、证明:(1)任取

则由







可知

从而

假设有

①式知

矛盾

∴不存在

使

(2)由

可知







①式得



由 将⑤⑥代入④得

②式得



(3)由③式知

(用②式)

(用①式)

23、(本小题满分 14 分)如图,棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2,∠ABC=60°,平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,∠

A1AC=60°
(1)证明:BD⊥AA1; (2)求二面角 D—A1A—C 的平面角的余弦值; (3)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP//平面 DA1C1?若存在,求出点 P 的位置;若不存在,说明理由.

24、已知

为坐标原点,点



的坐标分别为(

,0)、(

,0),点



满足



,过点

且垂直于

的直线交线段

于点

,设点

的轨迹为

.

(1)求轨迹

的方程;

(2)若轨迹

上存在两点



关于直线 :



)对称,求 的取值范围;

(3)在(2)的条件下,设直线 与轨迹 求

交于不同的两点



,对点

(1,0)和向量



,3 ),

取最大值时直线 的方程.

24、解:(Ⅰ)∵

,∴



中点.



垂直平分

.



.



.

∴点

的轨迹

是以正



为焦点的椭圆.

∴长半轴

,半焦距





.

∴点

的轨迹方程为

(2)设





的中点

.



.



,∴



.

∵中点

在椭圆内部,∴



(-1,0)∪(0,1).

(3)将

代入椭圆

中,整理得

.







),





).



+

=



=

.



=

=

=



=

=

.

当仅当

,即

(0,1)时等号成立.

此时,直线

( +1).

25、已知

,且对任意的



,且

(1)求

的解析式;

(2)设

,求证:



(3)若 ,说明理由。

,是否存在实数 x,使得

25、解:(1)

,即





,上式可化为





(2)



(3)

=

=





?①

?② ① -②得

不在实数 x,使得

26、设 直线

,圆

: .



轴正半轴的交点为

,与曲线

的交点为



与 轴的交点为

(1)用 表示



;

(2)求证:

;

(3)设

,

,求证:



27、函数

的定义域为 R,数列

满足





).

(Ⅰ)若数列 求 k 的值;

是等差数列,

,且

(k 为非零常数,



),

(Ⅱ)若





,数列

的前 n 项和为

,对于给定的正整数

,如



的值与 n 无关,求 k 的值.

28、数列





)由下列条件确定:①

;②当

时,



满足:当

时,

,

;当

时,



.

(Ⅰ)若



,求





,并猜想数列

的通项公式(不需要证明);

(Ⅱ)在数列

中,若

(

,且

),试用

表示





(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设数列 不小于 2 的整数),求证:当 时,恒有

满足 .





(其中

为给定的

29、如果一个数列的各项都是实数,且从第二项起,每一项与它的前一项的平方差是同一个常数,则称该数列为等方 差数列,这个常数叫这个数列的公方差.

(Ⅰ)若数列

既是等方差数列,又是等差数列,求证:该数列是常数列;

(Ⅱ)已知数列 不等式

是首项为 ,公方差为 的等方差数列,数列 对 恒成立,求

的前 项和为

,且满足

.若

的取值范围.

30、(理)对数列



,若对任意正整数 ,恒有

,则称数列

是数列

的“下界数列”.

(1)设数列

,请写出一个公比不为 1 的等比数列

,使数列

是数列

的“下界数列”;

(2)设数列

,求证数列

是数列

的“下界数列”;

(3)设数列

,构造

, 的 的最小值.

,求使



恒成立

31、函数

,数列



满足: .



,函数

的图像在点

处的切线在 轴上的截距为

(1)求数列{

}的通项公式;

(2)若数列

的项中仅

最小,求

的取值范围;

(3)若函数 其中

,令函数 .

数列

满足:



证明:

.

31、解:(1)

, 得

是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,故

????3 分

(2)





在点

处的切线方程为





仅当

时取得最小值,



的取值范围为

???6 分

(3)

所以 显然

又因



???? 8分

? ??12 分

????14 分

32、给定椭圆 圆



。称圆心在原点 ,其短轴上的一个端点到

,半径为 。

的圆是椭圆

的“准圆”。若椭

的一个焦点为

的距离为

(Ⅰ)求椭圆

的方程和其“准圆”方程。

(Ⅱ)点

是椭圆

的“准圆”上的一个动点,过动点 。

作直线

使得

与椭圆

都只有一个交点,且

分别交其“准圆”于点

⑴当

为“准圆”与

轴正半轴的交点时,求

的方程;

⑵求证:

为定值。

33、如图,椭圆 焦点,其顶点均为坐标原点 ,

的焦点在 轴上,左右顶点分别为 与 相交于直线 上一点

,上顶点 .

,抛物线

分别以



(1)求椭圆

及抛物线

的方程;

(2)若动直线 与直线

垂直,且与椭圆

交于不同两点

,已知点

,求

的最小值.

34、如图,曲线

是以原点 O 为中心、

为焦点的椭圆的一部分,曲线

是以 O 为顶点、

为焦点的抛物线的

一部分,A 是曲线



的交点且

为钝角,若





(1)求曲线



的方程;

(2)过

作一条与 轴不垂直的直线,分别与曲线

依次交于 B、C、D、E 四点,若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中

点,问

是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.

35、已知椭圆 椭圆短半轴长为半径的圆与直线 个顶点, 为椭圆 上的动点.

的离心率为 相切,

,以原点为圆心, 分别是椭圆的左右两

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)若 ,证明: 为定值;



均不重合,设直线



的斜率分别为

(Ⅲ) 么曲线.

为过

且垂直于 轴的直线上的点,若

,求点

的轨迹方程,并说明轨迹是什

35、解析:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为



∵直线

与圆相切,∴

,即

,----------------1 分



,即



,解得





所以椭圆方程为

.---------------------------------------3 分

(Ⅱ)设





,则

,即







, --------------------------------------4 分







为定值

.-------------------------------6 分

(Ⅲ)设

,其中



由已知

及点

在椭圆

上可得



整理得

,其中

.-------------------------7 分

①当

时,化简得



所以点

的轨迹方程为

,轨迹是两条平行于 轴的线段;

------------------8 分

②当

时,方程变形为

,其中



------------------------------------10 分



时,点

的轨迹为中心在原点、实轴在

轴上的双曲线满足

的部分;



时,点

的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足

的部分;

当 圆.

时,点

的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭

---------------------------------------12 分

36、如图所示,已知直线 的斜率为 且过点 是抛物线的焦点,点 为抛物线内一定点,点

,抛物线 为抛物线上一动点.

, 直线与抛物线 有两个不同的交点,

(1)求

的最小值;

(2)求 的取值范围;

(3)若

为坐标原点,问是否存在点

,使过点

的动直线与抛物线交于

两点,且以

为直径的圆恰过

坐标原点, 若存在,求出动点

的坐标;若不存在,请说明理由.

37、 已知抛物线 上的动点 到点

的焦点为 F, 定点

与点 F 在 C 的两侧,

的距离与到其准线 的距离之和的最小值为

(Ⅰ)求抛物线

的方程;

(Ⅱ)设 与 的对称点为

轴交于点

,过点

任作直线与

交于

两点,

关于



① 求证:

共线;

② 求

面积

的取值范围.

38、已知椭圆 点 的直线与椭圆 (1)求椭圆的方程; 相交于两点

的离心率为 ,

,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 ,过

(2)设 值范围

为椭圆上一点,且满足



为坐标原点),当

时,求实数 的取

39、已知四点







。点

在抛物线



(Ⅰ) 当

时,延长

交抛物线于另一点

,求

的大小;

(Ⅱ) 当点

在抛物线

上运动时,

ⅰ)以

为直径作圆,求该圆截直线

所得的弦长;

ⅱ) 过点

作 轴的垂线交 轴于点

, 过点

作该抛物线的切线 交 轴于点

。 问: 是否总有



如果有,请给予证明;如果没有,请举出反例。

40、(本小题满 分 14 分)已知圆 直平分线交 于点 .(Ⅰ) 求动点 的轨迹

,点 的方程;

,点

在圆

上运动,

的垂

(Ⅱ) 设

是曲线

上的两个不同点,且点

在第一象限,点

在 第三象限,若

,

为坐标原点,求直线

的斜率 ;

(Ⅲ)过点

且斜率为 的动直线 交曲线



两点,在

轴上是否存在定点

,使以

为直径的圆恒过这个点?若存在,求出

的坐标,若不存在,说明理由.

参考答案
一、综合题

2、证明:因为

,所以

的定义域为







时,如果



上单调递增;

如果 单调递减.





所以当

,函数

没有极值点.



时,







(舍去),





时,

随 的变化情况如下表:

0 极小值
从上表可看出,

函数

有且只有一个极小值点,极小值为





时,

随 的变化情况如下表:

0

极大值
从上表可看出,

函数

有且只有一个极大值点,极大值为 综上所述,





时,函数

没有极值点;



时,



时,函数

有且只有一个极小值点,极小值为




2

时,函数

有且只有一个极大值点,极大值为



5、 解:(1) 函数 f(x)=x -ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)????????1 分

当 a=1 时,

,所以 f (x)在

为减函数

???3 分



为增函数,所以函数 f (x)的 最小值为

=

.??????5 分

(2)

???????????????6 分

若 a≤0 时,则

f(x)

在(1,+∞)恒成立,所以 f(x)的增区间为(1,+

∞).????????????8 分

若 a >0,则

故当



,????? 9 分



时,f(x)

,

所以 a>0 时 f(x)的减区间为

,f(x)的增区间为

.??????10 分

(3) a≥1 时,由(1)知 f(x)在(1,+∞)的最小值为

,???11 分



在 [1,+∞)上 单调递减,

所以



>0,????????12 分

因此存在实数 a(a≥1)使 f(x)的最小值大于



故存在实数 a(a≥1)使 y=f(x)的图象与

无公共点.?????????14 分

6、解:(1)因为:

,又



处的切线方程为

所以

解得:

???3 分

(2)若函数



上恒成立。则



上恒成立,

即:



上恒成立。所以有

??3 分

(3)当

时,

在定义域

上恒大于 ,此时方程无解;??7 分



时,



上恒成立,所以

在定义域

上为增函数。



,所以方程有惟一解。??8 分



时,

因为当

时,





内为减函数;



时,



内为增函数。

所以当

时,有极小值即为最小值

。??10 分



时,

,此方程无解;



时,

此方程有惟一解





时,

因为



,所以方程

在区间

上有惟一解,??12 分

因为当

时,

,所以

所以

因为

,所以

所以

方程

在区间

上有惟一解。

所以方程

在区间

上有惟两解。

??14 分

综上所述:当

时,方程无解;



时,方程有惟一解;



时方程有两解。

??14 分

7、解:(1)由题意知,

的定义域为





时,

,函数

在定义域

上单调递增.

(2)①由(Ⅰ)得,当

时,函数

无极值点.



时,

有两个相同的解



时,

时,函数



上无极值点.

③当

时,

有两个不同解,

时,



,

此时



随 在定义域上的变化情况如下表:



极小值



由此表可知:

时,

有惟一极小值点



ii)



时,0<

<1

此时,



随 的变化情况如下表:



极大值



极小值



由此表可知:

时,

有一个极大值

和一个极小值点

; 综上所述:

当且仅当



有极值点;



时,

有惟一最小值点





时,

有一个极大值点

和一个极小值点

(3)由(2)可知当

时,函数



此时

有惟一极小值点



8、解:(I)因为

则有

故数列

是“M 类数列”, 对应的实常数分别为

. ???2 分

因为

,则有

故数列

是“M 类数列”, 对应的实常数分别为

. ???????????4 分

(II)(1)因为

则有





?????..6 分

故数列



项的和

+

+

+

+

??????9 分

(2)

数列

是“M 类数列”,

存在实常数



使得

对于任意

都成立,????????????????..10 分

且有

对于任意

都成立,

因此

对于任意

都成立,



,且

则有

对于任意

都成立,



对于任意

都成立,

因此

,????????????12 分

此时,

????????????13 分

14、

15、解:(1)由题意设椭圆的标准方程为



由已知得:



椭圆的标准方程为



(2)设



联立



,则





因为以

为直径的圆过椭圆的右顶点



,即









解得:

,且均满足





时, 的方程

,直线过点

,与已知矛盾;



时, 的方程为

,直线过定点



所以,直线 过定点,定点坐标为

17、解:(1)因为椭圆 E:

(a,b>0)过 M(2,

) ,N(

,1)两点,

所以

解得

所以

椭圆 E 的方程为

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

,设该圆的切线

方程为

解方程组



,即

,

则△=

,即

,

要使

,需使

,即

,所以

,所以



,所以

,所以

,即



,因为直线

为圆心在原点

的圆的一条切线,所以圆的半径为

,

,

,所求的圆为

,此时圆的切线

都满足



,而当切线的斜率不存在时切线为

与椭圆

的两个交点为



满足

,综上, 存在圆

心在原点的圆

,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

.

因为

,

所以

,

,

①当



因为

所以

,

所以

,

所以

当且仅当

时取”=”.





时,

.



当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为



,所以此时

,

综上, |AB |的取值范围为

即:

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的 位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 18、本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解 决问题的能力.

解法 1:(Ⅰ)依题意,点

的坐标为

,可设



直线 .

的方程为

,与

联立得

消去



由韦达定理得





于是











(Ⅱ)假设满足条件的直线 存在,其方程为





的中点为

, 与

为直径的圆相交于点



的中点为







点的坐标为













,得

,此时

为定值,故满足条件的直线 存在,其方程为



即抛物线的通径所在的直线. 解法 2:(Ⅰ)前同解法 1,再由弦长公式得



又由点到直线的距离公式得



从而





时,



(Ⅱ)假设满足条件的直线 存在,其方程为 ,

,则以

为直径的圆的方程为

将直线方程

代入得







设直线 与以

为直径的圆的交点为



则有





,得

,此时

为定值,故满足条件的直线 存在,其方程为



即抛物线的通径所在的直线.

二、计算题

19、解:

。????2 分

(1)当

时,由









所以



上为增函数,在



上为减函数,????4 分

由题意知

,且



因为

,所以



可知

。 分

??????7

(2)① 因为



当且仅当

时等号成立。??8 分



,有

,得

;????9 分



,有

,得

;????10 分



取得最小值时,





????11 分

②此时,







知,

,????12 分

欲证

,先比较



的大小。

因为

,所以

,有



于是

,即

,????13 分

另一方面,



因为

,所以

,从而

,即

。?14 分

同理可证 分

,因此



????15

20、解:(1)令 g( )=

( )一 ,则 g(0)=

(0)一 0=



g(

)=

(

)一

=-

又 g( )在[0,

]上连续,所以存在

0

∈(0,

)使 g(

0

)=0,即

(

0

)=

0

(2)∵

( )=3

2

-2 +

=3( 一

)+

2

>0



( )是 R 上的单调增函数

∴0<

0

<

,即

1

<

0

<y1,又

( )是增函数



(

1

) <

(

0

)<

(y1),即

2

<

0

<y2



2

=

(

1

)=

(0)=

>0=

1



y2=

(y1)=

(

)=

<

=y1

综上,

1

<

1

<

0

<y2<y1.

用数学归纳法证明如下:

①当 =1 时,上面已证明成立; ②假设当 =k(k≥1)时,有
k

<

k+1

<

0

<yk+1<yk

当 =k+1 时,由

( )是单调递增函数,有

(

k

)<

(

0

)<

(yk+1)<

(yk)



k+1

<

k+2

<

0

<yk+2<yk+1
n

由①和②知,对一切 =1,2,?,都有

<

n+1

<

0

<yn+1<yn

(3)方法一:∵0≤

n

≤yn≤



∴0≤

n

yn,0<

n

+yn<1 得一

<

n

+yn 一

<



=

=

≤(

+

) 一(

2

+

)+

=(

+



)+

2

<





-

<

(

-

).

方法二:0≤





,∴0<

+

<1



=

=

<

=





21、解:(Ⅰ)函数

是凹函数,证明如下:







∴1+



是凹函数.

(Ⅱ)证明:假设存在

????①

????②

①-②得,









上的单调增函数.



矛盾,即

是唯一的.

(Ⅲ)证明:设



上的单调减函数.









∴ 故△ABC 为钝角三角形.

为钝角.

22、证明:(1)任取

则由







可知

从而

假设有

①式知

矛盾

∴不存在

使

(2)由

可知







①式得



由 将⑤⑥代入④得

②式得



(3)由③式知

(用②式)

(用①式)

23、解:在 A1 作 A1O⊥AC 于点 O,由于平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,由面面垂直的性质定理知,A1O⊥平面 ABCD, 又底面为菱形,所以 AC⊥BD

(Ⅱ)在△AA1O 中,A1A=2,∠A1AO=60° ∴AO=AA1·cos60°=1 所以 O 是 AC 的中点,由于底面 AB CD 为菱形,所以 O 也是 BD 中点 由(Ⅰ)可知 DO⊥平面 AA1C 过 O 作 OE⊥AA1 于 E 点,连接 OE,则 AA1⊥DE 则∠DEO 为二面角 D—AA1—C 的平面角 在菱形 ABCD 中,AB=2,∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2

∴AO=1,DO=

在 Rt△AEO 中,OE=OA·sin∠EAO=

DE=

∴cos∠DEO=

∴二面角 D—A1A—C 的平面角的余弦值是 (Ⅲ)存在这样的点 P

连接 B1C,因为 A1B1

AB

DC

∴四边形 A1B1CD 为平 行四边 形。 ∴A1D//B1C 在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP

因 B 1B

CC1

∴BB1

CP[来源:学+科+网]

∴四边形 BB1CP 为平行四边形 则 BP//B1C ∴BP//A1D ∴BP//平面 DA1C1

24、解:(Ⅰ)∵

,∴



中点.



垂直平分

.



.



.

∴点

的轨迹

是以正



为焦点的椭圆.

∴长半轴

,半焦距





.

∴点

的轨迹方程为

(2)设





的中点

.



.



,∴



.

∵中点

在椭圆内部,∴



(-1,0)∪(0,1).

(3)将

代入椭圆

中,整理得

.







),





).



+

=



=

.



=

=

=



=

=

.

当仅当

,即

(0,1)时等号成立.

此时,直线

( +1).

25、解:(1)

,即





,上式可化为





(2)



(3)

=

=





?①

?②



-②得

不在实数 x,使得

26、解:(1)由点

在曲线

上可得

,

????1 分

又点在圆

上,则

,

?????2 分

从而直线

的方程为

,

??????4 分

由点

在直线

上得:

,将

代入

化简得:



????????6 分

(2)

,

????7 分



,

?????9 分

(3)先证:当

时,



事实上, 不等式

后一个不等式显然成立,而前一个不等式



故当

时, 不等式

成立.

,

????????11 分

(等号仅在 n=1 时成立)

求和得:

????????14 分

27、解:(Ⅰ)当

时,

因为





所以



因为数列

是等差数列,所以



因为



所以



?????6 分

(Ⅱ)因为



,且



所以



所以数列

是首项为 2,公比为 的等比数列,

所以



所以



因为



所以

是首项为

,公差为

的等差数列.

所以



因为



又因为

的值是一个与 n 无关的量,

所以



解得



????????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)

28、(Ⅰ)解:因为

,所以

,

.

??1 分

因为

,则

,

.

??????2 分

.

????????????????????3 分

猜想当

时,

.



??????????????????????4 分

(Ⅱ)解:当

时,假设

,根据已知条件则有





矛盾,因此

不成立,

????????5 分

所以有

,从而有

,所以

.

????????6 分



时,



,

所以

;

??????????8 分



时,总有

成立.





所以

(

)是首项为

,公比为

的等比数列,

??9 分



,

又因为

,所以

.

??????????10 分

(Ⅲ)证明:由题意得

.

因为

,所以

.

所以数列

是单调递增数列.

??????????????????11 分

因此要证

,只须证

.



,则

<

,即

. ?12 分

因此

.

所以

.

故当

,恒有

.

?????????????14 分

29、(1)解:依题



为等差数列,设公差为

,则

故 列.

是常数

4分

(2)由

是首项为 2,公方差为 2 的等方差数列.



为首项为 4,公差为 2 的的等差数列,

6分









10 分

不等式



也即

,即

恒成立

由于

时,



时,



假设

时,



那么



由归纳法原理知:

时,



所以





的取值范围为 14 分

30、(1)

等,答案不唯一;?????4 分

(2)

,当



最小值为 9,;?????6 分

,则

,

因此,

时,

最大值为 6,?????9 分

所以, (3)

,数列

是数列

的“下界数列”;?????10 分

,?11 分



?????12 分

不等式为





,?13 分



,则

,????15 分

当 17 分

时,

单调递增,

时,

取得最小值,因此



?????

的最小值为

?????18 分

31、解:(1)

, 得

是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,故

????3 分

(2)





在点

处的切线方程为





仅当

时取得最小值,



的取值范围为

???6 分

(3)

所以

又因



显然

???? 8分

? ??12 分

????14 分

32、解:(Ⅰ)



椭圆方程为

,????2 分

准圆方程为 分



??????????3

(Ⅱ)⑴因为准圆



轴正半轴的交点为



设过点

且与椭圆有一个公共点的直线为



所以由

消去

,得



因为椭圆与

只有一个公共点,

所以

,解得



??????????5 分

所以

方程为



??????????6 分

⑵①当

中有一条无斜率时,不妨设 无斜率,

因为 与椭圆只有一个公共点,则其方程为



当 方程为

时,此时 与准圆交于点



此时经过点

(或

)且与椭圆只有一个公共点的直线是

(或

),





(或

),显然直线

垂直;

同理可证 方程为

时,直线

垂直。

??????????7 分

②当

都有斜率时,设点

,其中



设经过点

与椭圆只有一个公共点的直线为





消去

,得





化简整理得:

。??????????8 分

因为

,所以有





的斜率分别为

,因为

与椭圆只有一个公共点,

所以

满足上述方程



所以

,即

垂直。

??????????10 分

综合①②知:因为

经过点 =4.

,又分别交其准圆于点 ???12 分

,且

垂直,所以线段

为准圆

的直径,所以

33、









?????????10 分



?????????12 分





时,

取得最小值,其最小值为



?????????14 分

34、解:(Ⅰ)设椭圆方程为

,则

,得

?2 分



, 则



, 两式相减得



由抛物线定义可知 线方程为 。

,则



(舍去)所以椭圆方程为

,抛物

另解:过

作垂直于 轴的直线

,即抛物线的准线,作

垂直于该准线,



轴于

,则由抛物线的定义得



所以





,所以 c=1,

35、解析:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为



∵直线

与圆相切,∴

,即

,----------------1 分



,即



,解得





所以椭圆方程为

.---------------------------------------3 分

(Ⅱ)设





,则

,即







, --------------------------------------4 分







为定值

.-------------------------------6 分

(Ⅲ)设

,其中



由已知

及点

在椭圆

上可得



整理得

,其中

.-------------------------7 分

①当

时,化简得



所以点

的轨迹方程为

,轨迹是两条平行于 轴的线段;

------------------8 分

②当

时,方程变形为

,其中



------------------------------------10 分



时,点

的轨迹为中心在原点、实轴在

轴上的双曲线满足

的部分;



时,点

的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足

的部分;

当 圆.

时,点

的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭

---------------------------------------12 分

36、解:如图,设抛物线的准线为 ,







,过







(1)由抛物线定义知

(折线段大于垂线段),当且仅当 即

三点共线取等号.由题意知

,

的最小值是 8???...4 分

(2)

??...5 分

(3)假设存在点

,设过点

的直线方程为



显然



,设



,由以

为直径的圆恰过坐标

原点有

???? ????????...①??9 分



代人



由韦达定理

???????.??????②



?.③

②代人③得

???

.④

②④代人①得

?

?12 分

动直线方程为

必过定点



不存在时,直线 ,

交抛物线于 综上:存在点

,仍然有 满足条件?????15 分

37、(Ⅰ)过





,则



共线时,

取最小值

解得

,或

3分



时,抛物线

的方程为

此时,点

与点 F 在抛物线 C 同侧,这与已知不符.



抛物线

的方程为

5分

(Ⅱ)①设直线

的方程为



消去

,整理得

,

由 1.

,得| k | > 7分





共 线. 11 分



,



,

15 分

38、解:(1) 由已知

,所以

,所以

所以

1分

(第 21 题)

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

所以

3分

所以

4分

(2)设



与椭圆联立得

整理得



6分

由点

在椭圆上得

8分

又由

,即

所以

所以

所以

10 分

所以





所以

,所以



12 分

39、

(Ⅰ) 当

时,





直线



代入

,得





所以





所以 分

?????5

(Ⅱ) ⅰ)以

为直径的圆的圆心为





所以圆的半径



圆心到直线

的距离



故截得的弦长

?????10 分

(Ⅱ) 总有

。?????11 分

证明:







所以切线 的方程为

,即



,得

,所以点

的坐标为

??????12 分



到直线

的距离为



下面求直线

的方程

因为

,所以直线

的方程为



整理得

所以点

到直线

的距离为



所以

所以

??????15 分

40、(本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ) 因为

的垂直平分线交

于点

.所以

所以动点

的轨迹

是以点

为焦点的椭圆?????3 分

设椭圆的标准方程为





,则椭圆的标准方程为

??5 分

(Ⅱ) 设

,则



因为

,则



由①②解得

?????8 分

所以直线

的斜率

?????10 分

(Ⅲ)直线 方程为

,联立直线和椭圆的方程得:



????11 分

由题意知:点

在 椭圆内部,所以直线 与椭圆必交与两点,





假设在

轴上存在定点

,满足题设,则

因为以

为直径的圆恒过点

,



,即:

(* )

因为

则(*)变为

????12 分

由假设得对于任意的

,

恒成立,



解得



因此,在

轴上存在满足条件的定点

,点

的坐标为

.??????14 分


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