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高中数学第一章基本初等函Ⅱ第10课时余弦函数的图象与性质课件新人教B版必修

高中数学第一章基本初等函Ⅱ第10课时余弦函数的图象与性质课件新人教B版必修

第10课时 余弦函数的图象与性质

1 说基础· 名师导读 知识点 1 余弦函数的图象 根据诱导公式 π y=sinx 的图象向左平移 个单位长度得到,y=cosx 的图象叫做 2 余弦曲线.如下图所示.
? π? ? y=cosx=sin?x+2? 可知 ?, ? ?

y=cosx 的图象可由

知识点 2 “五点法”作余弦函数的图象 与正弦函数的图象一样,在函数 y=cosx,x∈[0,2π]的图象 上,起关键作用的五个点是函数 y=cosx,x∈[0,2π]与 x 轴的交 ?π ? ? ? , 0 点及最高点和最低点这五个点, 它们的坐标依次为: (0,1), ?2 ?, ? ? ?3 ? ? (π,-1),?2π,0? ?,(2π,1). ? ?

知识点 3 余弦函数的性质 1.定义域:R. 2.值域:[-1,1]. 对于余弦函数 y=cosx,当 x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值 1; 当 x=(2k+1)π 时,取最小值-1. 3.周期:2π. 4.奇偶性:由诱导公式 cos(-x)=cosx 可知,余弦函数是 偶函数,它的图象关于 y 轴对称. 5 .单调性:余弦函数在每一个闭区间 [(2k -1)π ,2kπ](k ∈ Z)上都是增函数, 其函数值由-1 增大到 1; 在每一个闭区间[2kπ, (2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其函数值由 1 减小到-1.

知识点 4 余弦曲线的对称性 由余弦函数的图象可知: 1 .余弦曲线是中心对称图形,余弦曲线与 x 轴的交点
?π ? ? ? + k π , 0 ?2 ?(k∈Z)是对称中心,余弦曲线的对称中心有无数个. ? ?

2.余弦曲线是轴对称图形,直线 x=kπ(k∈Z)是对称轴. 余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点, 即此 时余弦函数取得最大值或最小值.余弦曲线的对称轴有无数条.

2 说方法· 分类探究 类型一“五点法”画余弦函数的图象 【例 1】 利用“五点法”作函数 y=-cosx 在[0,2π]上的图 象.

解析:列表 π 3π x 0 π 2π 2 2 cosx 1 0 -1 0 1 0 -1 y=-cosx -1 0 1 描点连线得函数 y=-cosx 在[0,2π]上的图象如图:

点评 “五点法”画函数图象的三个步骤

变式训练 1 用“五点法”画出函数 y=2cos2x 的简图.

2π 解析:因为 y=2cos2x 的周期 T= =π,所以先在区间[0, 2 π]上按五个关键点列表如下. π π 3π x 0 π 4 2 4 π 3π 2x 0 π 2π 2 2 cos2x 1 0 -1 0 1 2cos2x 2 0 -2 0 2

描点,并用光滑有曲线将它们连接起来如右图. 然后把 y=2cos2x 在[0,π]上的图象向左、右平移,每次平 移 π 个单位长度,则得到 y=2cos2x 在 R 上的简图如下.

类型二 余弦函数奇偶性的判断及应用 ?13 ? ? 【例 2】 (1)对于函数 y=sin? 2 π-x? ?,下面说法中正确的 ? ? 是( ) A.函数是周期为 π 的奇函数 B.函数是周期为 π 的偶函数 C.函数是周期为 2π 的奇函数 D.函数是周期为 2π 的偶函数 (2)若函数 y=sin(x+φ)(0≤φ<π)是 R 上的偶函数,则 φ= ________.

?13π ? ? π ? ? ? ? (1) 解析: ∵ y = sin ? 2 -x? = sin ?6π+2-x? ? = cosx ,∴ y = ? ? ? ? ?13π ? ? sin? 2 -x? ?是周期为 2π 的偶函数,选 D. ? ?

答案:D

π (2)解析:由 y=sin(x+φ)是 R 上的偶函数,得 φ=kπ+ (k 2 ∈Z). π ∵0≤φ<π,∴φ= . 2 π 答案: 2

点评 1.有关函数奇偶性的结论 (1)图象. 奇函数的图象关于原点成中心对称; 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称. (2)函数值. 对于奇函数,定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),当 x= 0 在定义域内时必有 f(0)=0; 对于偶函数,对定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x).

2.函数奇偶性的三个常见应用 (1)画关于原点对称的区间上的图象. (2)判断函数的单调性(或比较函数值的大小). (3)求函数的解析式. 3.余弦函数的对称轴和对称中心 (1)对称轴方程为 x=kπ(k∈Z). ?π ? ? (2)对称中心的坐标为?2+kπ,0? ?(k∈Z). ? ?

变式训练 2 函数 y=cos(sinx)的奇偶性是__________.

解析:y=f(x)=cos(sinx)的定义域为 R,关于原点对称. 又 f(-x)=cos(sin(-x))=cos(-sinx)=cos(sinx)=f(x), 故 y=cos(sinx)是偶函数. 答案:偶函数

类型三 余弦函数的单调性
? π? ? 【例 3】 (1)求函数 y=cos?2x+4? ?的单调递减区间. ? ? ? 23π? ? 17π? ? ? ? - (2)利用三角函数的单调性,试比较 cos?- 5 ?与 cos? ? 4 ? ? ? ? ?

的大小.

π 解析:(1)令 2kπ≤2x+ ≤(2k+1)π,k∈Z, 4 π 3π 则 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 ? ? π? π 3π? ? ? ? 故 y=cos?2x+4?的单调递减区间为?kπ-8,kπ+ 8 ? ?(k∈Z). ? ? ? ?

? 23π? 23π 3π ? ? (2)cos?- 5 ?=cos =cos , 5 5 ? ? ? 17π? 17π π ? ? cos?- 4 ?=cos =cos . 4 4 ? ?

π 3π ∵0< < <π,且函数 y=cosx 在[0,π]上是减函数, 4 5 ? 17π? ? 23π? π 3π ? ? ? - ∴cos >cos ,即 cos?- 4 ?>cos? ? ?. 5 4 5 ? ? ? ?

点评 (1)求函数 y=Acos(ωx+φ)的单调区间时,可利用诱导公式 将 ω 变为正值,再把 ωx+φ 看作一个整体求解. (2)利用余弦函数的单调性比较大小时,可先利用诱导公式 把两个角变换到同一个单调区间内, 再利用余弦函数的单调性比 较大小.

变式训练 3 求函数

?π ? ? y=1-cos?3-2x? ?的单调区间. ? ?

?π ? ? π? ? ? ? 解析:y=1-cos?3-2x?=1-cos?2x-3? ?. ? ? ? ?

π 由 2kπ≤2x- ≤(2k+1)π(k∈Z), 3 π 2π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 6 3

? π 2π? ? 所以函数的单调递增区间为?kπ+6,kπ+ 3 ? ?(k∈Z). ? ?

π 由(2k+1)π≤2x- ≤2(k+1)π(k∈Z), 3 2π 7π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 3 6 ? 2π 7π? ? 所以函数的单调递减区间为?kπ+ 3 ,kπ+ 6 ? ?(k∈Z). ? ?

类型四 余弦函数的最值或值域 【例 4】 (1)求函数
? π 2π? ? - , y=cosx,x∈? 的值域; ? 3 3? ? ?

2+cosx (2)求函数 y= 的最值; 2-cosx (3)求函数 y=3cos
2

?π 2π? ? , x-4cosx+1,x∈? 的值域. ?3 3? ? ?

解析:(1)∵y=cosx

? 2π? ? 在区间?0, 3 ? ?上单调递减, ? ?

? π ? ? 在区间?-3,0? ?上单调递增, ? ?

2π 1 ∴ymax=cos0=1,ymin=cos =- , 3 2 ? 1 ? ? ∴y=cosx 的值域为?-2,1? ?. ? ?

2+cosx 2?y-1? (2)由 y= ,求得 cosx= . 2-cosx y+1 ?2?y-1?? ? 2 2 ∵|cosx|≤1,∴? ≤ 1 ,∴ [2( y - 1)] ≤ ( y + 1) . ? y+1 ? ? ? 1 1 解得 ≤y≤3,∴ymax=3,ymin= . 3 3

? 2? ? ?2 1 (3)y=3cos x-4cosx+1=3?cosx-3? - , 3 ? ? ?π 2π? ? 1 1? ? ? ? - , ∵x∈?3, 3 ?,∴cosx∈? ? 2 2?, ? ? ? ?
2

1 2π 15 从而当 cosx=- ,即 x= 时,ymax= . 2 3 4 1 π 1 当 cosx= ,即 x= 时,ymin=- . 2 3 4 ? 1 15? ? 2 - , ∴函数 y=3cos x-4cosx+1 的值域为? ? 4 ?. 4 ? ?

点评 求函数的最值的方法有以下几种: (1)直接法.根据函数值域的定义,由自变量的取值范围求 出函数值的取值范围. (2)利用函数的单调性. (3)利用函数的图象,转化为求函数图象上最高点和最低点 的纵坐标的问题. (4)利用换元法,转化为一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数等基本初等函数问题.

变式训练 4 求下列函数的最大值和最小值. ? ? π π? 2cosx+1 π? ? ? ? - , (1)y= .(2)y=2cos?2x+3?,x∈? . ? ? 6 6 cosx-2 ? ? ? ? 2cosx+1 5 解析:(1)y= =2+ , cosx-2 cosx-2 5 5 因为-1≤cosx≤1,所以-5≤ ≤- , 3 cosx-2 5 1 1 则-3≤2+ ≤ ,所以 ymax= ,ymin=-3. 3 cosx-2 3

π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以 0≤2x+ ≤ , 6 6 3 3 ? π? ? 所以-1≤2cos?2x+3? ?≤2, ? ? ? π? π ? ? 当 cos?2x+3?=1,即 x=- 时,ymax=2, 6 ? ? ? π? 1 π ? ? 当 cos?2x+3?=- ,即 x= 时,ymin=-1. 2 6 ? ?


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