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hao含参数的一元二次不等式的解法(专题)

hao含参数的一元二次不等式的解法(专题)

含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

例 1 解不等式: ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0
2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a ? 4 ? 0 ,故只需对二次项
2 2

系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a ? 4 ? 0
2 2

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ? 2a 2a
2

? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ? ∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ? 或x ? ? 2a 2a ? ? ? ?
当 a ? 0 时,不等式为 2x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

当 a ? 0 时, 解集为 ? x |

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?x? ? 2a 2a ? ?

例 2 解不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?
2

分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解

? a( x 2 ? 5 x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0

?当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?
二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 , x2 ? ,显然 x1 ? x2 , 2 2

∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

例 4 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R ?
2 2

?

?

解 因 m ? 1 ? 0, ? ? (?4) ? 4 m ? 1 ? 4 3 ? m
2 2 2

?

? ?

2

?

所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ?; 2?

当? 3 ? m ?

? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ? 或 x 〈 m2 ? 1 m2 ? 1 ? ?
3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。
2

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或m ?

三、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析:此不等式可以分解为: ?x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a
例5 解不等式 x ? (a ?
2

只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ?x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a

1 1? ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a? a ?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?
2

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

例 6 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0
2

分析 此不等式 ? ? ?? 5a ? ? 24 a ? a ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根
2 2 2

2a 与 3a 的大小.
解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为

x1 ? 2a, x2 ? 3a ,当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为

?x | x ? 2a或x ? 3a?

四、 (1)解关于 x 的不等式: x ? (a ? 2) x ? a ? 0.
2

(2)解关于 x 的不等式: ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.
2

(3)解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

(1)解: x ? (a ? 2) x ? a ? 0
2
2

(?)

? ? ?a ? 2? ? 4a ? 0 ? a ? 4 ? 2 3或a ? 4 ? 2 3 ,
此时两根为 x1 ?

(2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

, x2 ?

(2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

.

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 ,?? ); )?( 2 2 (2)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, 3 ? 1 ) ? ( 3 ? 1,?? ); (3)当 4 ? 2 3 ? a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为 R ;
(1) 当 a ? 4 ? 2 3 时, (?) 解集为( ? ?, ? ? 0, (4)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,? 3 ? 1 ) ? ( ? 3 ? 1,?? );

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 ,?? ). )?( 2 2 (2)解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1. 1 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. a a 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. (?) a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a (1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ; 1 (2)当 a ? 1 时,式 (?) ? ? x ? 1 ; a 1 (3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? . a 1 综上所述,当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 或x ? 1 };当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 1 };当 0 ? a ? 1 时,解集为 a 1 1 { x 1 ? x ? };当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为{ x ? x ? 1 }. a a 2 (3) 解: ax ? ax ? 1 ? 0. (?) (1) a ? 0 时, (?) ? ?1 ? 0 ? x ? R.
(5) 当 a ? 4 ? 2 3 时, (?) 解集为( ? ?, ? ? 0, (2) a ? 0 时,则 ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 ,
2

此时两根为 x1 ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? . 2a 2a

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ?x? ; 2a 2a ②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R ; 1 ③当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R且x ? ? ; 2
①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ?

④当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? 综上,可知当 a ? 0 时,解集为(

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 或 x? . 2a 2a

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , ); 2a 2a 当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ; 1 1 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,? ) ? ( ? ,?? ); 2 2

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ,?? ) 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?, )?( 2a 2a


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