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高中数学人教版选修2-1课件:3.2 第二课时 空间向量与空间角、距离

高中数学人教版选修2-1课件:3.2 第二课时 空间向量与空间角、距离


第二课时 空间向量与空间角、距离 [提出问题] 山体滑坡是一种常见的自然灾害. 甲、 乙 两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度, 甲站在水平地面上的 A 处,乙站在山坡斜面 上的 B 处,A,B 两点到直线 l(水平地面与山坡的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 30 m 和 40 m,CD 的长为 60 m,AB 的长为 80 m. 问题 1:如何用向量方法求异面直线 AC 和 BD 所成的角? 提示:设异面直线 AC 与 BD 所成角为 θ, ―→ ―→ 则 cos θ=|cos〈 AC , BD 〉|. 问题 2: 如何求斜线 BD 与地面所成角 α? ―→ 提示:设地面的法向量为 n,则 sin α=|cos〈 BD ,n〉|. 问题 3: l⊥α, 向量 n 也垂直于 α 吗? ―→ ―→ 提示:cos β=cos〈 CA , DB 〉 . [导入新知] 1.空间角及向量求法 角的分类 异面直线 所成的角 直线与平 面所成的 角 向量求法 设两异面直线所成的角为θ,它们的方 向向量为a,b,则cos θ |a· b| |a||b| = |cos〈a,b〉|=_____ 范围 ? π? ? 0, ? ? 2? __________________ ? π? 0, ? ? ? 2? __________________ 设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向 向量为a,平面α的法向量为 |a· n| |cos〈a,n〉 | _____ |a||n| n,则sin θ=____________ = 二面角 设二面角α-l-β的平面角为θ,平面α, β的法向量为n1,n2,则|cos θ|= |n1· n2| |cos〈n1,n2〉|=| n1||n2| _____________ _____ [0,π] ______ 2.空间距离的向量求法 分类 向量求法 |AB| 两点距 设A,B为空间中任意两点,则d=______ 设平面α的法向量为n,B?α,A∈α,则B点 ―→ | BA · n| 点面距 |n| 到平面α的距离d=________ [化解疑难] 1. 若直线 l(方向向量为 a)与平面 α(法向量为 n)所成的角为 θ, π π π 则当〈a,n〉∈0, 时,θ= -〈a,n〉 ;当〈a,n〉∈ ,π 时, 2 2 2 π θ=〈a,n〉- . 2 2.将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时,应注意 判断二面角是锐角还是钝角. 3.点到平面的距离的实质,就是平面的单位法向量与从该点 出发的平面的斜线段向量数量积的绝对值. 求两异面直线所成的角 [例 1] (新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BCA =90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 1 A. 10 30 C. 10 ) 2 B. 5 2 D. 2 [解析] 如图,以点 C 为坐标原点,CA,CB,CC1 所在的直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.不妨设 BC=CA= ?1 ? 1 1 ? ? CC1=1,可知点 A(1,0,0),N 2,0,1 ,M , ,1,B(0,1,0). 2 2 ? ? ? ―→ ? 1 ∴ AN =?-2,0,1?, ? ? ? ―→ ?1 1 BM =?2,-2,1?. ? ? ―→ ―→ ―→ ―→ AN · BM 30 ∴cos〈 AN , BM 〉= ―→ ―→

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