9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 幼儿读物 >>

高中数学人教版选修2-1课件:3.2 第二课时 空间向量与空间角、距离_图文

高中数学人教版选修2-1课件:3.2 第二课时 空间向量与空间角、距离_图文

第二课时 空间向量与空间角、距离 [提出问题] 山体滑坡是一种常见的自然灾害. 甲、 乙 两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度, 甲站在水平地面上的 A 处,乙站在山坡斜面 上的 B 处,A,B 两点到直线 l(水平地面与山坡的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 30 m 和 40 m,CD 的长为 60 m,AB 的长为 80 m. 问题 1:如何用向量方法求异面直线 AC 和 BD 所成的角? 提示:设异面直线 AC 与 BD 所成角为 θ, ―→ ―→ 则 cos θ=|cos〈 AC , BD 〉|. 问题 2: 如何求斜线 BD 与地面所成角 α? ―→ 提示:设地面的法向量为 n,则 sin α=|cos〈 BD ,n〉|. 问题 3: l⊥α, 向量 n 也垂直于 α 吗? ―→ ―→ 提示:cos β=cos〈 CA , DB 〉 . [导入新知] 1.空间角及向量求法 角的分类 异面直线 所成的角 直线与平 面所成的 角 向量求法 设两异面直线所成的角为θ,它们的方 向向量为a,b,则cos θ |a· b| |a||b| = |cos〈a,b〉|=_____ 范围 ? π? ? 0, ? ? 2? __________________ ? π? 0, ? ? ? 2? __________________ 设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向 向量为a,平面α的法向量为 |a· n| |cos〈a,n〉 | _____ |a||n| n,则sin θ=____________ = 二面角 设二面角α-l-β的平面角为θ,平面α, β的法向量为n1,n2,则|cos θ|= |n1· n2| |cos〈n1,n2〉|=| n1||n2| _____________ _____ [0,π] ______ 2.空间距离的向量求法 分类 向量求法 |AB| 两点距 设A,B为空间中任意两点,则d=______ 设平面α的法向量为n,B?α,A∈α,则B点 ―→ | BA · n| 点面距 |n| 到平面α的距离d=________ [化解疑难] 1. 若直线 l(方向向量为 a)与平面 α(法向量为 n)所成的角为 θ, π π π 则当〈a,n〉∈0, 时,θ= -〈a,n〉 ;当〈a,n〉∈ ,π 时, 2 2 2 π θ=〈a,n〉- . 2 2.将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时,应注意 判断二面角是锐角还是钝角. 3.点到平面的距离的实质,就是平面的单位法向量与从该点 出发的平面的斜线段向量数量积的绝对值. 求两异面直线所成的角 [例 1] (新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BCA =90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 1 A. 10 30 C. 10 ) 2 B. 5 2 D. 2 [解析] 如图,以点 C 为坐标原点,CA,CB,CC1 所在的直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.不妨设 BC=CA= ?1 ? 1 1 ? ? CC1=1,可知点 A(1,0,0),N 2,0,1 ,M , ,1,B(0,1,0). 2 2 ? ? ? ―→ ? 1 ∴ AN =?-2,0,1?, ? ? ? ―→ ?1 1 BM =?2,-2,1?. ? ? ―→ ―→ ―→ ―→ AN · BM 30 ∴cos〈 AN , BM 〉= ―→ ―→ = . 10 | AN || BM | ―→ ―→ 根据 AN 与 BM 的夹角及 AN 与 BM 所成角的关系可知, BM 与 30 AN 所成角的余弦值为 . 10 答案:C [类题通法] 利用空间向量求两条异面直线所成的角,可以避免复杂的几 何作图和论证过程,只需通过相应的向量运算即可,但应注意: 用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量 π 的夹角来求解的,而两条异面直线所成角 θ 的取值范围是 0, , 2 两向量的夹角 α 的取值范围是[0,π],所以 cos θ=|cos α|. [活学活用] 正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 A1D1,A1C1 的中点, 求异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值. 解:不妨设正方体棱长为 2,分别取 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则 A(2,0,0), C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2), ―→ 则 AE =(-1,0,2), ―→ CF =(1,-1,2), ―→ ―→ ∴| AE |= 5,| CF |= 6. ―→ ―→ AE · CF =-1+0+4=3. ―→ ―→ ―→ ―→ AE · CF 30 ∴cos〈 AE , CF 〉= ―→ ―→ = , 10 | AE |· | CF | 30 ∴异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 . 10 求直线与平面所成的角 [例 2] 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面为直角 梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M,N 分别为 PC,PB 的中点. (1)求证:PB⊥DM; (2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角. [解] 如图,以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系, 设 BC=1,则 A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0), ? ―→ ―→ ―→ ? 3 1 M(1, ,1), PB =(2,0,-2), DM =?1,-2,1?, AD =(0,2,0), 2 ? ? ―→ DB =(2,-2,0). ? ? ―→ ―→ 3 ?1,- ,1?=0, (1)证明: PB · DM =(2,0,-2)· 2 ? ? ∴P

推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com