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高中数学第一章三角函数1.6三角函数的周期性习题苏教版必修4

高中数学第一章三角函数1.6三角函数的周期性习题苏教版必修4


三角函数的周期性 一、考点突破 知识点 课标要求 1. 理解周期函数的定义; 2. 知道正弦函数、余弦函 三角函数 的周期性 数的最小正周期; 3. 会求函数 y=sin(ω x +φ ) 和 y=cos (ω x+φ ) 的周期。 填空 解答 题型 说明 高考必考 周 期 性是 三角 型函 数的重 要 性 质,也是我们在所学的基本初等 函 数 中唯 一具 备这 一特性 的 函 数。在解答题中往往出现在第 1 步,较为简单。客观题往往与图 象等结合考查。 二、重难点提示 重点:求函数的周期、利用周期求函数值。 难点:对定义的理解及定义的简单应用。 一、周期函数的定义 一般地,对于函数 f(x) ,如果存在一个非零的常数 T,使得定义域内的每一个 x 值, 都满足 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的 周期。 【要点诠释】函数周期性的理解: ①定义应对定义域中的每一个 x 值来说,只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x)或不 满足,都不能说 T 是 f(x)的周期。 ②从 f(x+T)=f(x)来看,应强调是自变量 x 本身加的常数才是周期,如 f(2x+T) =f(2x)中,T 不是周期,而应写成 f (2 x ? T ) ? f ?2( x ? ) ? ? f (2 x) ,则 是 f(x) 2 2 ? ? 的周期。 ③对于一个周期函数 f ( x ) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最 小的正数就叫做 f ( x ) 的最小正周期。今后提到的三角函数的周期,如未特别指明,一般都 是它的最小正周期。 ④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。例如常数函数 f ( x) ? C (C 为常数) ,其 周期 T 是任意实数,没有最小正数。 ⑤周期函数的周期不是唯一的,如果 T 是函数 f(x)的周期,那么 kT(k∈Z,k≠0) 也一定是函数的周期。 【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数? (1)首先看定义域 若 x 是定义域 D 内的一个值,则 x ? kT (k ? Z , 且 k ? 0) 也一定属于定义域 D,因此周 期函数的定义域 D 一定是无限集,而且定义域 D 一定无上界且无下界。 (2)其次看恒等式是否成立 1 ? T ? T 对于定义域 D 内任意一个 x ,是否有 f ( x) ? f ( x ? T ) 恒成立。如果成立,则是周期函 数。否则,不是周期函数。 二、 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的周期 一般地,函数 y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ ) (其中 A,ω ,φ 为常数, 且 A≠0,ω >0)的周期 T= 【规律总结】 求三角函数的周期,通常有三种方法。 (1)定义法; (2) 公式法, 对 y=Asin (ω x+φ ) 或 y=Acos (ω x+φ ) (A, ω, φ 是常数, 且 A≠0, ω ≠0) ,T= 2? 。 ? 2? ; |? | (3)图象法。 三种方法各有所长, 要根据函数式的结构特征, 选择适当方法求解, 为了避免出现错误, 求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数,且函数的次数为 1。 示例:已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? 7 ) 的周期为 3,则 ? ? 。 思路分析:利用 y=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 是常数,且 A≠0,ω ≠0)的最小正 周期为 T= 2?

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