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江苏省无锡市17学年高中数学第一章导数及其应用09导数在生活中的应用学案(答案不全)苏教版选修2_2

江苏省无锡市17学年高中数学第一章导数及其应用09导数在生活中的应用学案(答案不全)苏教版选修2_2

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09 导数在实际生活中的应用
【目标要求】 1、能利用导数知识解决生活中的优化问题: (1)利润最大问题; (2)面积、体积 最大问题; (3)费用最省(成本最低)问题; (4)长度最短问题 2、掌握利用导数知识解决实际问题的解题步骤; 3、通过实际问题的研究,提高分析问题、解决问题及其数学建模的能力. 【重点难点】 重点: 利用导数知识解决生活中的问题; 难点:建模(从实际问题中抽象出数学问题) 、解模(利用数学知识解决问题) . 【典例剖析】 例 1、在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数,记为 C ( x) ,出售 x 单位产品的 收益称为收益函数,记为 R( x) , R( x) ? C ( x) 称为利润函数,记为 P( x) . (1) 如果 C( x) ? 10?6 x 3 ? 0.003 x 2 ? 5x ? 1000,那么生产多少单位产品时,边际成本

C ' ( x) 最低? (2) 如果 C ( x) ? 50x ? 10000,产品的单价 p ? 100 ? 0.01x ,那么怎样定价可使利润
最大?

例 2、在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形,再将它的边沿虚线 折起,做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长是 多少时,箱子的容积最大?最大容积 是多少?

1

例 3、如图所示,有一块半径长为 1 米的半圆形钢板,现要从中截取 一个内接等腰梯形部 件 ABCD,设梯形部件 ABCD 的面积为 y 平方米. (I)按下列要求写出函数关系式: C D ①设 CD ? 2 x (米),将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设 ?BOC ? ? (rad ) ,将 y 表示成 ? 的函数关系式. (II)求梯形部件 ABCD 面积 y 的最大值. A O

B

【学后反思】 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1)审题设参(关注变量) (2)建立变量之间的函数关系 y ? f ( x) (关注定义域) (3)转化为函数在给定区间上的最值问题,并作答

【课后作业】

班级________姓名_________

1、 周长为 20cm 的矩形, 绕一条边旋转成一个圆柱, 则圆柱体积的最大值为 2、已知某厂生产某种产品 x 件的总成本为 C( x) ? 1200 ?

cm3 .

2 3 ,且产品单价的平 x (万元) 75

方与产品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品的单价为 50 万元,当产量定为多少 时总利润最大.

2

3、如图,将边长为1的正六边形铁皮切去六个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个 无盖的正六棱柱容器,问这个正六棱柱容器的底面边长为多少时,其容积最大?

4、有一块边长为 4 的正方形钢板,现对其进行切割,焊接成一个长方形无盖容器(切、 焊损耗忽略不计) 。有人应用数学知识作了如下设计:如图(1) ,在钢板的四个角处各 切去一个小正方形后剩余部分围成一个长方体, 该长方体的高为小正方形边长, 如图 (2) (1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积 V1 ; (2)由于上述设计存在缺陷 (材料有所浪费) ,请你重新设计切焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容 积 V2 ? V1

5、从甲城开往乙城的一列火车,每小时消耗煤的费用与火车行使的速度的立方成正比, 已知当速度为 20 km / h 时,每小时消耗煤的费用为 40 元,其他费用每小时 200 元,问 火车行使的速度为多大时,才能使火车从甲城开往乙城的总费用最少(已知火车最高 速度为 100 km / h ) .

3

6、 如图, 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处, AB=20km, BC=10km,为了处理这三家的污水,现要在该矩形区域内(含边界)且与 A,B 等距的一点 O 处,建造一个污水厂,并铺设管道的总长度为 ykm. (1) 设 ?BAO ? ? (rad ) ,将 y 表示成 ? 的函数; (2) 请用(1)中的函数关系确定污水处理厂 的位置,使铺设的污水管道的总长 度最 短.

D

P

C

O A B

例 3 答案 解:如图所示,以直径 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标 系,过点 C 作 CE ? AB 于 E,
4

(I)①∵ CD ? 2 x ,∴ OE ? x(0 ? x ? 1) , CE ? 1 ? x2 2 1 1 ∴ y ? ( AB ? CD ) ? CE ? (2 ? 2 x) 1 ? x 2 2

? ( x ? 1) 1 ? x2 (0 ? x ? 1)

…………………4 分

? ②∵ ?BOC ? ? (0 ? ? ? ) ,∴ OE ? cos ? , CE ? sin ? , 2

? 1 1 ∴ y ? ( AB ? CD ) ? CE ? (2 ? 2cos ? )sin ? ? (1 ? cos ? )sin ? (0 ? ? ? ) , 2 2 2 (说明:若函数的定义域漏写或错误,则一个扣 1 分)
(II)(方法 1)∴ y ?

……8 分

( x ? 1) 2 (1 ? x 2 ) ? ? x 4 ? 2 x 3 ? 2 x ? 1 ,

令 t ? ? x 4 ? 2 x3 ? 2 x ? 1 , 则 t ' ? ?4x3 ? 6x2 ? 2 ? ?2(2x3 ? 3x2 ?1) ? ?2( x ? 1)2 (2 x ?1) ,……………………10 分 1 令 t ' ? 0 , x ? , x ? ?1 (舍). ………………………………………12 分 2 1 1 ∴当 0 ? x ? 时, t ' ? 0 ,∴函数在(0, )上单调递增, 2 2 1 1 当 ? x ? 1 时, t ' ? 0 ,∴函数在( ,1)上单调递减,……………14 分 2 2

27 1 3 3 时, t 有最大值 , ymax ? 16 2 4 3 3 答:梯形部件 ABCD 面积的最大值为 平方米. 4
所以当 x ?
2 1 ?2 x ? ?2 x 2 ? x ? 1 (方法 2) y ' ? 1 ? x ? ( x ? 1) ? 2 ? , …………10 分 1 ? x2 1 ? x2

令 y ' ? 0 ,∴ 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,∴ x ? ∴当 0 ? x ?

1 , x ? ?1 (舍).…12 分 2

1 1 时, y ' ? 0 ,∴函数在(0, )上单调递增, 2 2 1 1 当 ? x ? 1 时, y ' ? 0 ,∴函数在( ,1)上单调递减,………………14 分 2 2 1 3 3 .………………………………16 分 所以当 x ? 时, ymax ? 2 4 3 3 答:梯形部件 ABCD 面积的最大值为 平方米. 4 (方法 3)∴ y ' ? [(sin ? ? sin ? cos ? )]' ? (sin ? )'? (sin ? ? cos ? )' ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? cos? ? 1 ,…………………………10 分 1 ? 令 y ' ? 0 ,得 cos? ? ,即 ? ? , cos ? ? ?1 (舍), …………………12 分 2 3 ? ? ∴当 0 ? ? ? 时, y ' ? 0 ,∴函数在 (0, ) 上单调递增, 3 3
5



? ? ? ? ? 时, y ' ? 0 ,∴函数在 ( ? , ? ) 上单调递减 ,……………14 分 3 2 3 2
? 3 3 所以当 ? ? 时, ymax ? 3 4
.……………………………………16 分

答:梯形部件 ABCD 面积的最大值为 3 3 平方米. 4

6


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