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湖北省孝感市七校教学联盟2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题

湖北省孝感市七校教学联盟2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题


2016—2017 学年度下学期孝感市七校教学联盟 期末联合考试 高二数学文科试卷
命题人:田永红 审题人:胡曙彪
本试题卷共 4 页,共 22 题。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、请考生务必将自己的姓名、准考证号、所在学校填(涂)在试题卷和答题卡上。 2、考生答题时,选择题请用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请按照题 号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。 3、考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷

选择题

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每一小题只有一个选项正确 1.命题“ ?x ? 0 , x ? 0 ”的否定是(
2

) B. ?x ? 0 , x ? 0
2

A . ?x ? 0 , x ? 0
2

C. ?x0 ? 0 , x0 ? 0 2.下列求导运算,正确 的是( A. (cos x) ? sin x
'

2

D. ?x0 ? 0 , x0 ? 0 )

2

C. (e ) ? xe
x '

x ?1

sin x ' cos x ) ? x2 2x 1 ' D. (lg x) ? x ln 10
B. ( )

1 ? x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数),则下列说法正确的是( 3.若曲线 C 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?
A.曲线 C 是直线且过点(-1,2) C.曲线 C 是圆且圆心为(-1,2) B.曲线 C 是直线且斜率为 D.曲线 C 是圆且半径为 | t |

3 3

x2 y2 6 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则其渐近线方程为( a b 2
A. y ? ? 2 x B. y ? ?

)

2 x 2

C. y ? ?

1 x 2
)

D. y ? ?2 x

5.若“ p ? q ”为假命题,则下列命题中,一定为真命题的是( A. p ? q B. (?p) ? q ) C. (?p) ?(?q)

D. (?p) ?(?q)

6.下列四个命题中,真命题是(

A.若 m>1,则 x2-2x+m>0; B.“正方形是矩形”的否命题; C.“若 x=1,则 x2=1”的逆命题; D.“若 x+y=0,则 x=0,且 y=0”的逆否命题. 7.若函数 f ( x) ? xex 在 x ? x0 处的导数值与函数值互为相反数,则 x0 的值等于( A.0 B. ? 1 C. ? )

1 2

D.不存在 )

2 2 2 2 8. 方程 ( x ? 5) ? y ? ( x ? 5) ? y ? 6 的化简结果为(

A.

x2 y2 ? ?1 16 9 x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 9 16 x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 16 9
)

C.

D.

9.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f ' ( x) 的图象可能是(

[来源:学科网 ZXXK]

10.在平面直角坐标系中,点 M 的直角坐标是 ( 3,?1) .若以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极 轴建立极坐标系,则点 M 的极坐标可以 是( A. ( 2, )

?
6

)

B. ( ?2,

5? ) 6

C. ( 2,?

5? ) 6

D. ( ?2,?

?
6

)

11.已知函数 y= A. ?

1 3 x -x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( 3
B.

)

2 3

4 2 或 3 3

C.-1 或 1

D. ?

4 2 或? 3 3
)

12.设 a ? R ,若函数 y ? e x ? ax, x ? R 有小于零的极值点,则实数 a 的取值范围 是(

A. (??,?1)

B. (?1,??)

C. (?1,0)

D. (??,0)

第 II 卷

非选择题

二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填入相应的位置 13.抛物线 y ? 4x 的焦点坐标是
2





? x' ? 2x ' 14 . 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 曲 线 C 经 过 伸 缩 变 换 ? ' 后,变为曲线 C : ?y ? 2y

( x ' ? 5) 2 ? ( y ' ? 6) 2 ? 1.则曲线 C 的周长为



. ▲ .

15.函数 y ? ax3 ? 1 在 (??,??) 上是减函数,则实数 a 的取值范围为

16.已知 F1 、 F2 是某等轴双曲线的两个焦点, P 为该双曲线上一点,若 PF 1 ? PF 2 ,则以 F 1 、 F2 为焦点且经过点 P 的椭圆的离心率是 ▲ .

[来源:学科网]

三、解答题:本大题有 6 小题,共 70 分,每小题请写出必要的解答步骤和计算过程 17. (本小题 10 分) 已知 p : | x ? a |? 3 ( a 为常数) ; q :代数式 x ? 1 ? lg(6 ? x) 有意义. (1)若 a ? 1 ,求使“ p ? q ”为真命题的实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 成立的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题 12 分)

在平面直角坐标系中,曲线 C1 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .以坐标原点为极点, x 轴的非负半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 2 , 射 线 C3 的 极 坐 标 方 程 为

??

?
4

( ? ? 0) .

(1)将曲线 C1 的直角坐标方程化为极坐标方程; (2)若射线 C3 与曲线 C1 、 C2 分别交于点 A 、 B ,求 | AB | .

19. (本小题 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M (2, m) 为其上一点,且 | MF |? 4 .
2

(1)求 p 与 m 的值; (2)如图,过点 F 作直 线 l 交抛物线于 A 、 B 两点,求直线 OA 、 OB 的斜率之积.

20. (本小题 12 分)

[来源:学&科&网]

如图,有一边长为 6 的正方形铁片,在铁片的四角各截去一个边长为 x 的小正方形后,沿图中 虚线部分折起,做成一个无盖方盒. (1)试用 x 表示方盒的容积 V ( x) ,并写出 x 的范围; (2)求方盒容积 V ( x) 的最大值及相应 x 的值.

21. (本小题 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) , 点 P 是椭圆 C 上一动点, 若动点 P 到 a 2 b2
2

点的距离的最大值为 b . (1)求椭圆 C 的方程,并写出其参数方程; (2)求动点 P 到直线 l : x ? 2 y ? 9 ? 0 的距离的最小值.

22. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1(a ? R) . (1) 若函数 f ( x) 的图像在 x ? 1 处的切线 l 垂直于直线 y ? x ,求实数 a 的值及直线 l 的方程; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若 x ? 1 ,求证: ln x ? x ? 1.

2016—2017 学年度下学期孝感市七校教学联盟期末联合考试 高二文科数学参考答案及评分细则
一、选择题:

题号 答案

1 C

2 D

3 A

4 B

5 D

6 A

7 C

8 C

9 D

10 B

11 A

12 C

二、填空题: 13. (0,

1 ) 16

14. ?

15. (??,0)

16.

6 3

三、解答题:

17.解: p : | x ? a |? 3 等价于: ? 3 ? x ? a ? 3 即 a ? 3 ? x ? a ? 3 ;

? x ?1 ? 0 q :代数式 x ? 1 ? lg(6 ? x) 有意义等价于: ? ,即 ? 1 ? x ? 6 ?6 ? x ? 0
…………………………………………………………………………………2 分 (1) a ? 1 时, p 即为 ? 2 ? x ? 4 若“ p ? q ”为真命题,则 ?

?? 2 ? x ? 4 ,得: ? 1 ? x ? 4 ??1 ? x ? 6

故 a ? 1 时,使“ p ? q ”为真命题的实数 x 的取值范围是 ?? 1 , 4? …………………………………………………………………………………5 分 (2)记集合 A ? ?x | a ? 3 ? x ? a ? 3?, B ? ?x | ?1 ? x ? 6? 若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则 A ? B , …………………………………………………………………………………7 分 因此: ?

?a ? 3 ? ?1 , ? 2 ? a ? 3 ,故实数 a 的取值范围是 ?2,3? 。 ? a?3?6

………………………………………………………………………………10 分 18.解: (1)曲线 C1 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,即 x ? y ? 4 x ? 0 ,
2 2 2 2

将 x ? y ? ? , x ? ? cos? 代入上式,得:
2 2 2

? 2 ? 4? cos? ? 0 ,即 ? ? 4 cos? ,此即为曲线 C1 的极坐标方程。
…………………………………………………………………………………6 分 (2)设点 A 、 B 对应的极径分别为 ? A 、 ? B ,易知 ? B ? 2 , 将? ?

?
4

( ? ? 0) 代入 ? ? 4 cos? ,得: ? A ? 2 2

? | AB |?| ? A ? ?B |? 2 2 ? 2 。……………………………………12 分
19.解: (1)抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F (
2

p p ,0) ,准线为 x ? ? 。 2 2

由抛物线定义知:点 M (2, m) 到 F 的距离等于 M 到准线的距离,故

| MF |? 2 ?

p ? 4 ,? p ? 4 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 8x 2

? 点 M (2, m) 在抛物线 C 上,? m2 ? 16 ? m ? ?4 ? p ? 4 , m ? ?4
…………………………………………………………6 分

(2)由(1)知:抛物线 C 的方程为 y 2 ? 8x ,焦点为 F (2,0) 若直线 l 的斜率不存在,则其方程为: x ? 2 ,代入 y 2 ? 8x ,易得:

A(2,4) , B(2,?4) ,从而 kOA kOB ?

4?0 ?4?0 ? ? ?4 ; 2?0 2?0

…………………………………………………………………………………8 分 若直线 l 的斜率存在,设为 k (k ? 0) ,则其方程可表示为: y ? k ( x ? 2) ,

由?

? y ? k ( x ? 2) 1 2 ,消去 x ,得: y ? k ( y ? 2) 2 8 ? y ? 8x
2

即 ky2 ? 8 y ? 16k ? 0 (k ? 0) , ? ? 64 ? 64k ? 0

? 16 k ? ?16 k 1 2 1 2 1 1 ? x1 x2 ? ( y1 )( y2 ) ? ( y1 y2 ) 2 ? ? (?16) 2 ? 4 8 8 64 64
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 y2 ? ………………………………………………………………………………10 分 从而 kOA kOB ?

y1 ? 0 y2 ? 0 y1 y2 ? 16 ? ? ? ? ?4 x1 ? 0 x2 ? 0 x1 x2 4
[来源:学_科_网]

综上所述:线 OA 、 OB 的斜率之积为 ? 4 。

………………………………………………………………………………12 分 (注:本题直接设直线 l 的方程为 x ? m y ? 2 酌情给分) 20.解: (1)由题意,无盖方盒底面是边长为 6 ? 2 x 的正 方形,高为 x ,从而有:
[来源:学科网]

V ( x) ? x(6 ? 2x)2 ? 4x3 ? 24x2 ? 36x
…………………………………………………………………………………4 分 其中, x 满足: ?

? x?0 ,? 0 ? x ? 3 ?6 ? 2 x ? 0

…………………………………………………………………………………6 分 (2)由(1)知: V ( x) ? 4 x ? 24x ? 36x , x ? (0,3)
3 2

V ' ( x) ? 12x2 ? 48x ? 36 ? 12( x ? 1)(x ? 3)
…………………………………………………………………………………8 分 若 0 ? x ? 1 ,则 V ' ( x) ? 0 ;若 1 ? x ? 3 ,则 V ' ( x) ? 0

? V ( x) 在 (0,1) 上单 调递增,在 (1,3) 上单调递减
………………………………………………………………………………10 分

? V ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,也是最大值 ? V ( x)max ? V (1) ? 16
故方盒容积 V ( x) 的最大值为 16,相应 x 的值为 1。 ………………………………………………………………………………12 分 21.解: (1)由题意,有:

? c ?1 ? a?2 ? ? 2 ? a ? c ? b ,解之,得: ?b ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? c ?1 ? ?

? x ? 2 cos? x2 y 2 ? 1 ,其参数方程为 ? ( ? 为参数) 。 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3 ? y ? 3 sin ?
…………………………………………………………………………………6 分 (2)设点 P 坐标为 (2 cos? , 3 sin ? )(? ? R) ,则 P 到直线 l : x ? 2 y ? 9 ? 0 的距离

d?

| 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 9 | ? 5

| 4 sin(? ? 5

?
6

)?9|

?

9 ? 4 sin(? ? 5

?
6

)

? 当 sin(? ?

?
6

) ? 1 时, d min ?

9?4 ? 5 5

? 动点 P 到直线 l : x ? 2 y ? 9 ? 0 的距离的最 小值为 5 。
………………………………………………………………………………12 分 22.解: (1)? f ( x) ? ln x ? ax ? 1(a ? R) ,定义域为 (0,??) ,? f ( x) ?
'

1 ?a x

? 函数 f ( x) 的图像在 x ? 1 处的切线 l 的斜率 k ? f ' (1) ? 1 ? a ? 切线 l 垂直于直线 y ? x ,? 1 ? a ? ?1 ,? a ? 2

? f ( x) ? ln x ? 2 x ? 1 , f (1) ? ?1 ,? 切点为 (1,?1) ? 切线 l 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 0 。
…………………………………………………………………………………5 分 ( 2)由(1)知: f ( x) ?
'

1 ?a,x ? 0 x 1 ' 当 a ? 0 时, f ( x ) ? ? a ? 0 ,此时 f ( x) 的单调递增区间是 (0,??) ; x 1 ? a( x ? ) 1 1 ? ax a 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? ? a ? ? x x x 1 1 ' ' 若 0 ? x ? ,则 f ( x) ? 0 ;若 x ? ,则 f ( x) ? 0 a a 1 1 此时, f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( ,?? ) a a
综上所述: 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 (0,??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( ,?? ) 。 ………………………………………………………………………………10 分

1 a

1 a

(3)由(2)知:当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 在 (1,??) 上单调递减

? x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 时, ln x ? x ? 1 ? 0 ,即 ln x ? x ? 1。
………………………………………………………………………………12 分 注:各题其它解法酌情给分。


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