9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

圆与方程的知识点(十分全面)及练习(精品教案)

圆与方程的知识点(十分全面)及练习(精品教案)


卓越个性化教案
学生姓名 课 题 年级 高一 授课时间 教师姓名 刘 课时

GFJW0901

01-圆与方程的知识点练习 掌握圆的方程求法,点、直线与圆的位置关系、切线方程求法 圆的方程求法,直线与圆的综合运用求解问题 直线与圆的相关问题,韦达定理的运用

教学目标 重 难 点 点

【知识点】 (知识点较为全面而详细,望细细体会,并记忆) 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心
2 2 2
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的位置关系: 当 ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) > r ,点在圆外
2 2 2

当 ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) = r ,点在圆上
2 2 2

当 ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) < r ,点在圆内
2 2 2

(2)圆的参数方程

? x ? r cos ? x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? ? ? , ? 为参数 ? y ? r sin ?

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

? x ? a ? r cos ? ? r 2 ? r ? 0? ? ? , ? 为参数 ? y ? b ? r sin ?
2

(3)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

当D 当D

2

1 D E ? ,半径为 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? r? ? ? ,? ?
? 2 2?
2

2

D 2 ? E 2 ? 4F

? E ? 4 F ? 0 时,表示一个点; 2 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。
2 2

(4)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 (垂径定理)

3.点与圆的位置关系:
1. 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 d=r; (2)点在圆外 d>r; (3)点在圆内 d<r.

2.给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 .

卓越个性化教学讲义
① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ? a ) 2 ? ( y 0 ?b) 2 ? r 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ? a ) 2 ? ( y 0 ?b) 2 ? r 2 4、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ? x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C
A2 ? B 2

② M 在圆 C 上 ? (x 0 ? a ) 2 ? ( y 0 ?b) 2 ? r 2



则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与 C相切 ; d ? r ? l与 C 相交 (2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求 解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 ★★★★★常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 ★★★★②求切线方程的方法及注意点 ... i)点在圆外 如定点 P ? x0 , y0 ? ,圆: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,[ ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ]
2 2 2 2 2 2

第一步:设切线 l 方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 第二步:通过 d ? r ? k ,从而得到切线方程 特别注意:以上解题步骤仅对 k 存在有效,当 k 不存在时,应补上——千万不要漏了! 如:过点 P ?1, 1? 作圆 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 的切线,求切线方程.
2 2

答案: 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 和 x ? 1 ii)点在圆上

y0 ? 在圆 x ? y ? r 上,则切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 1) 若点 ? x0,
2 2 2

2

会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目. 2) 若点 ? x0, y0 ? 在圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 上,则切线方程为
2 2 2

? x0 ? a ?? x ? a ? ? ? y0 ? b ?? y ? b ? ? r 2
碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系, 得出切线的条数. ③求切线长:利用基本图形, AP ? CP ? r ? AP ?
2 2 2

求切点坐标:利用两个关系列出两个方程 ? ?k AC ? k AP ? ?1 (4)直线与圆相交:求弦长及弦长的应用问题 垂径定理 及勾股定理——常用 ....

? AC ? r

CP ? r 2

2

2

卓越个性化教学讲义
弦长公式: l ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? (暂作了解,无需掌握) ?

(5)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合) :直线过定点,而定点恰好在圆内. (6)关于点的个数问题 例:若圆 ? x ? 3? ? ? y ? 5 ? ? r 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为 1,则半径 r 的取值范围是
2 2 2

_________________.

答案: ? 4, 6 ?

问题:若一直圆 O 直径 AB 两个端点,如何求圆的方程? ★.直线与圆相离 会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时) 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C 2 : ? x ? a 2 ? ? ? y ? b 2 ? 2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。

外离

外切

相交

内切

内含

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 ★★★两圆公共弦所在直线方程 圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,
2 2 2 2

则 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? ? F1 ? F2 ? ? 0 为两相交圆公共弦方程. ★★★★圆的切线方程:圆 x 2 ? y 2 ?r 2 的斜率为 k 的切线方程是 y ? kx ? 1 ? k 2 r 过圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ? D
x ?x0 y ?y0 ?E ?F ?0. 2 2

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ? k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. 若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? ?R ? R 2 ?1 ?

会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时)

3

卓越个性化教学讲义
★★★★圆系问题 ( 1 ) 过 两 圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交 点 的 圆 系 方 程 为
2 2 2 2

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ? x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? ? 0 ( ? ? ?1 )
说明:1)上述圆系不包括 C2 ;2)当 ? ? ?1 时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) ( 2 ) 过 直 线

Ax ? By ? C ? 0 与 圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 交 点 的 圆 系 方 程 为

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0
五、对称问题 1.若圆 x ? y ? m ? 1 x ? 2my ? m ? 0 ,关于直线 x ? y ? 1 ? 0 ,则实数 m 的值为____.
2 2 2

?

?

答案:3(注意: m ? ?1 时, D ? E ? 4 F ? 0 ,故舍去)
2 2

变式:已知点 A 是圆 C : x ? y ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点, A 点关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点在圆 C 上,
2 2

则实数 a ? _________. 2.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 对称的曲线方程是________________.
2 2

变式:已知圆 C1 : ? x ? 4 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 与圆 C2 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 1 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为
2 2 2 2

_______________. 3.圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 关于点 ? 2, 3? 对称的曲线方程是__________________.
2 2

4.已知直线 l : y ? x ? b 与圆 C : x ? y ? 1 ,问:是否存在实数 b 使自 A ? 3, 3? 发出的光线被直线 l 反射后与圆
2 2

? 24 7 ? C 相切于点 B ? , ? ?若存在,求出 b 的值;若不存在,试说明理由. ? 25 25 ?
六、最值问题 方法主要有三种: (1)数形结合; (2)代换; (3)参数方程 1.已知实数 x , y 满足方程 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 ,求:
2 2

y 的最大值和最小值;——看作斜率 x ?5 (2) y ? x 的最小值;——截距(线性规划)
(1) (3) x ? y 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2 2

2.已知 ?AOB 中, OB ? 3 , OA ? 4 , AB ? 5 ,点 P 是 ?AOB 内切圆上一点,求以 PA , PB , PO 为直 径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可! 3. 设 P ? x, y ? 为 圆 x ? ? y ? 1? ? 1 上 的 任 一 点 , 欲 使 不 等 式 x ? y ? c ? 0 恒 成 立 , 则 c 的 取 值 范 围 是
2 2

____________.

答案: c ?

) 2 ? 1 (数形结合和参数方程两种方法均可!

4

卓越个性化教学讲义
注意:多思考圆的几何性质,运用几何性质(垂径定理,对称性) ,勿一味运用代数运算解决问题,有时会使问 题复杂化!

【课堂练习】
一、选择题 1.若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M(5,-7),则圆 C 的半径为( A. 5 B. 5 C.25 D. 10 ). ).

2.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( ). 2 2 2 A.(x-3) +(y+4) =16 B.(x+3) +(y-4)2=16 C.(x-3)2+(y+4)2=9 D.(x+3)2+(y-4)2=19 4.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( ). A.0 或 2 B. 2 C. 2 ).

D.无解

5.圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是( A.8 B. 6

C. 6 2

D.4 3

6.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系为( ). A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 2 2 2 2 7.圆 x +y -2x-5=0 与圆 x +y +2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 2 2 2 2 8.圆 x +y -2x=0 和圆 x +y +4y=0 的公切线有且仅有( ). A.4 条 B. 3 条 C. 2 条 D.1 条 9.在空间直角坐标系中,已知点 M(a,b,c),有下列叙述: 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,-b,c); 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a,-b,-c); 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,-b,c); 点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是( ). A.3 B. 2 C. 1 D.0 10.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是( ). A.2 43 B.2 21 C. 9 D. 86

).

二、填空题 11.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 . 12.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 . 13.以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . 2 2 2 2 14.两圆 x +y =1 和(x+4) +(y-a) =25 相切,试确定常数 a 的值 . 15.圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切的圆的方程为 . 2 2 16.设圆 x +y -4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是 .

5

卓越个性化教学讲义
三、解答题 17.求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的方程.

18.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0).

19.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程.

20.求经过点(8,3),并且和直线 x=6 与 x=10 都相切的圆的方程.

【作业】
一、选择题 1.圆 C1 : x2+y2+2x+8y-8=0 与圆 C2 : x2+y2-4x+4y-2=0 的位置关系是( A.相交 B.外切 C.内切 D.相离 ). ).

2.两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与 x2+y2+4x-4y-1=0 的公共切线有( A.1 条 B. 2 条 C. 3 条

D.4 条 ).

3.若圆 C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C 的方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x-1)2+(y+2)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+(y-2)2=1

6

卓越个性化教学讲义
4.与直线 l : y=2x+3 平行,且与圆 A.x-y± 5 =0 C.2x-y- 5 =0 x2+y2-2x-4y+4=0 相切的直线方程是( ). B.2x-y+ 5 =0 D.2x-y± 5 =0 ). D.4 2 ).

5.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于( A. 2 B. 2 C. 2 2

6.一圆过圆 x2+y2-2x=0 与直线 x+2y-3=0 的交点,且圆心在 y 轴上,则这个圆的方程是( A.x2+y2+4y-6=0 C.x2+y2-2y=0 B.x2+y2+4x-6=0 D.x2+y2+4y+6=0 ).

7.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是( A.30 B.18 C. 6 2 D.5 2 ).

8.两圆(x-a)2+(y-b)2=r2 和(x-b)2+(y-a)2=r2 相切,则( A.(a-b)2=r2 C.(a+b)2=r2 B.(a-b)2=2r2 D.(a+b)2=2r2

9.若直线 3x-y+c=0,向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位,平移后与圆 x2+y2=10 相切,则 c 的 值为( ). B.12 或-8 C.8 或-12 D.6 或-14 ).

A.14 或-6

10.设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM| =( A.

53 4

B.

53 2

C.

53 2

D.

13 2

二、填空题 11.若直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点为 A,B,则以线段 AB 为直径的圆的一般方程为 ____________________. 12.已知直线 x=a 与圆(x-1)2+y2=1 相切,则 a 的值是_________. 13.直线 x=0 被圆 x2+y2―6x―2y―15=0 所截得的弦长为_________. 14.若 A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则 z=_______________. 15.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆(x-1)2+(y-1)2=1 的两条切线,A,B 是切点, C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为 三、解答题 16.求下列各圆的标准方程: (1)圆心在直线 y=0 上,且圆过两点 A(1,4),B(3,2); (2)圆心在直线 2x+y=0 上,且圆与直线 x+y-1=0 切于点 M(2,-1). .

7

卓越个性化教学讲义
17.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 AB 的中点,F 是 BB1 的中点,G 是 AB1 的中点,试建立适 当的坐标系,并确定 E,F,G 三点的坐标.

18.圆心在直线 5x―3y―8=0 上的圆与两坐标轴相切,求此圆的方程

19.已知圆 C :(x-1)2+(y-2)2=2,点 P 坐标为(2,-1),过点 P 作圆 C 的切线,切点为 A,B. (1)求直线 PA,PB 的方程; (2)求过 P 点的圆的切线长; (3)求直线 AB 的方程.

20.求与 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x-y=0 上,且截直线 x-y=0 得的弦长为 2 7 的圆的方程.

参考答案
一、选择题 1.A 解析:C1 的标准方程为(x+1)2+(y+4)2=52,半径 r1=5;C2 的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=( 10 )2, 半 径 r2= 10 .圆心距 d= (2 +1)2 +(2 - 4)2 = 13 . 因为 C2 的圆心在 C1 内部,且 r1=5<r2+d,所以两圆相交. 2.C 解析:因为两圆的标准方程分别为(x-2)2+(y+1)2=4,(x+2)2+(y-2)2=9, 所以两圆的圆心距 d= (2 + 2)2 +(-1- 2)2 =5. 因为 r1=2,r2=3, 所以 d=r1+r2=5,即两圆外切,故公切线有 3 条. 3.A

8

卓越个性化教学讲义
解析:已知圆的圆心是(-2,1),半径是 1,所求圆的方程是(x-2)2+(y+1)2=1. 4.D 解析:设所求直线方程为 y=2x+b,即 2x-y+b=0.圆 x2+y2―2x―4y+4=0 的标准方程为(x-1)2+(y- 2)2=1.由

2- 2+b 2 2 +12

=1 解得 b=± 5 .

故所求直线的方程为 2x-y± 5 =0. 5.C 解析:因为圆的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=2,显然直线 x-y+4=0 经过圆心. 所以截得的弦长等于圆的直径长.即弦长等于 2 2 . 6.A 解析:如图,设直线与已知圆交于 A,B 两点,所求圆的圆 依条件可知过已知圆的圆心与点 C 的直线与已知直线垂直. 因为已知圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0), 所以过点(1,0)且与已知直线 x+2y-3=0 垂直的直线方程 =0,得 C(0,-2). 联立方程 x2+y2-2x=0 与 x+2y-3=0 可求出交点 A(1, 1). =|AC|= 12 + 32 = 10 . 所以所求圆的方程为 x2+(y+2)2=10,即 x2+y2+4y-6=0. 7.C 解析:因为圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=(3 2 )2,所以圆心为(2,2),r=3 2 . 设圆心到直线的距离为 d,d=
(第 6 题)

心为 C.

为 y=2x-2.令 x

故所求圆的半径 r

10 2

> r,

所以最大距离与最小距离的差等于(d+r)-(d-r)=2r=6 2 . 8.B 解析:由于两圆半径均为|r|,故两圆的位置关系只能是外切,于是有 (b-a)2+(a-b)2=(2r)2. 化简即(a-b)2=2r2. 9.A 解析:直线 y=3x+c 向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位. 平移后的直线方程为 y=3(x-1)+c-1,即 3x-y+c-4=0. 由直线平移后与圆 x2+y2=10 相切,得 所以 c=14 或-6.

0-0+c - 4 32 +12

= 10 ,即|c-4|=10,

9

卓越个性化教学讲义
10.C

3 ? ? 解析:因为 C(0,1,0),容易求出 AB 的中点 M ? 2, ,3 ? , 2 ? ? 53 ?3 ? 所以|CM|= (2 - 0)2 + ? -1? +(3 - 0)2 = . 2 ?2 ?
二、填空题 11.x2+y2+4x-3y=0. 解析:令 y=0,得 x=-4,所以直线与 x 轴的交点 A(-4,0). 令 x=0,得 y=3,所以直线与 y 轴的交点 B(0,3).
2

3? ? 所以 AB 的中点,即圆心为 ?- 2, ? . 2? ? 3? 25 ? 因为|AB|= 4 2 + 32 =5,所以所求圆的方程为(x+2)2+ ? y - ? = . 2? 4 ?
即 x2+y2+4x-3y=0. 12.0 或 2. 解析:画图可知,当垂直于 x 轴的直线 x=a 经过点(0,0)和(2,0)时与圆相切, 所以 a 的值是 0 或 2. 13.8. 解析:令圆方程中 x=0,所以 y2―2y―15=0.解得 y=5,或 y=-3. 所以圆与直线 x=0 的交点为(0,5)或(0,-3). 所以直线 x=0 被圆 x2+y2―6x―2y―15=0 所截得的弦长等于 5-(-3)=8. 14.7 或-5. 解析:由 (6 - 4)2 +(2 + 7)2 +( z -1)2 =11 得(z-1)2=36.所以 z=7,或-5. 15. 2 2 . 解析:如图,S 四边形 PACB=2S△PAC=
2

1 |PA|·|CA|·2 2

=|PA|,又|PA|= |PC|最小值即 C 到

| PC |2 -1 ,故求|PA|最小值,只需求|PC|最小值,另
直线 3x+4y+8=0 的距离,为

|3+4+8| 32+4 2

= 3.

于是 S 四边形 PACB 最小值为 32-1 = 2 2 .

(第 15 题)

10

卓越个性化教学讲义
三、解答题 16.解:(1)由已知设所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,于是依题意,得

?(1- a)2+16 =r 2, a =-1, ? ? ? 解得 ? ? 2 2 2 ? ? ?r = 20. ?(3 - a) +4 =r .
故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20. (2)因为圆与直线 x+y-1=0 切于点 M(2,-1), 所以圆心必在过点 M(2,-1)且垂直于 x+y-1=0 的直线 l 上. 则 l 的方程为 y+1=x-2,即 y=x-3.

? ? ? y =x- 3, ? x =1, 由? 解得 ? ? ? ?2 x+y=0. ? y = - 2.
即圆心为 O1(1,-2),半径 r= (2 -1)2 +(-1+ 2)2 = 2 . 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. 17.解:以 D 为坐标原点,分别以射线 DA,DC,DD1 的方向为正方向,以线段 DA,DC,DD1 的长为单位 长,建立空间直角坐标系 Dxyz,E 点在平面 xDy 中,且 EA=

1 . 2

? 1 ? 所以点 E 的坐标为 ?1, , 0? , ? 2 ?
又 B 和 B1 点的坐标分别为(1,1,0),(1,1,1),

? 1 1? 1? ? 所以点 F 的坐标为 ?1, 1, ? ,同理可得 G 点的坐标为 ?1, , ? . 2? ? ? 2 2?
18.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 因为圆与两坐标轴相切, 所以圆心满足|a|=|b|,即 a-b=0,或 a+b=0. 又圆心在直线 5x―3y―8=0 上,

? ?5a-3b-8=0, ? ?5a-3b-8=0, 所以 5a―3b―8=0.由方程组 ? 或? ? ? ?a-b=0, ?a+b=0, ? ?a=4, ? ?a=1, 解得 ? 或? 所以圆心坐标为(4,4),(1,-1). ? ?b=4, ? ?b=-1.
故所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16,或(x-1)2+(y+1)2=1. 19.解:(1)设过 P 点圆的切线方程为 y+1=k(x-2),即 kx―y―2k―1=0. 因为圆心(1,2)到直线的距离为 2 ,

- k-3

k2 +1

= 2 , 解得 k=7,或 k=-1.

故所求的切线方程为 7x―y―15=0,或 x+y-1=0. (2)在 Rt△PCA 中,因为|PC|= (2 -1)2 +(-1- 2)2 = 10 ,|CA|= 2 , 所以|PA|2=|PC|2-|CA|2=8.所以过点 P 的圆的切线长为 2 2 .

11

卓越个性化教学讲义
1 (3)容易求出 kPC=-3,所以 kAB= . 3
如图,由 CA2=CD·PC,可求出 CD=

CA 2 2 = . PC 10

1 设直线 AB 的方程为 y= x+b,即 x-3y+3b=0. 3


1- 6 + 3b 7 2 = 解得 b=1 或 b= (舍). 2 3 10 1+ 3

所以直线 AB 的方程为 x-3y+3=0. (3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解.

20.解:因为圆心 C 在直线 3x-y=0 上,设圆心坐标为(a,3a), 圆心(a,3a)到直线 x-y=0 的距离为 d= 又圆与 x 轴相切,所以半径 r=3|a|, 设圆的方程为(x-a)2+(y-3a)2=9a2, 设弦 AB 的中点为 M,则|AM|= 7 . 在 Rt△AMC 中,由勾股定理,得

- 2a 2



? - 2a ? ? 2 ?

? ? +( 7 )2=(3|a|)2. ? ?
2

2

(第 20 题)

解得 a=±1,r =9. 故所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9,或(x+1)2+(y+3)2=9.

作业

12


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com