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2017_2018学年高中数学第三章导数应用章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2_2201

2017_2018学年高中数学第三章导数应用章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2_2201

第三章 导数应用 [对应学生用书 P36] 一、导数与函数的单调性 1.若 f′(x)>0,则 f(x)是增加的;若 f′(x)<0,则 f(x)是减少的;若 f′(x)=0 恒成 立,则 f(x)为常数函数;若 f′(x)的符号不确定,则 f(x)不是单调函数. 2.若函数 y=f(x)在区间(a,b)上是增加的,则 f′(x)≥0;若函数 y=f(x)在区间(a, b)上是减少的,则 f′(x)≤0. 3.利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求导数 f′(x); (2)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0; (3)写出单调增区间或减区间. 特别注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接. 二、导数与函数的极值和最值 1.极值 当函数 f(x)在 x0 处连续可导时, 如果 x0 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 那么 f(x0) 是极大值;若左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. 2.利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)解方程 f′(x)=0 的根; (3)检验 f′(x)=0 的根的两侧 f′(x)的符号. 若左正右负,则 f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则 f(x)在此根处取得极小值; 否则,此根不是 f(x)的极值点. 3.最值 对于函数 y = f(x) ,给定区间 [a , b] ,若对任意 x∈ [a , b] ,存在 x0 ∈ [a ,b] ,使得 f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x)),则 f(x0)为函数在区间[a,b]上的最大(小)值. 4.利用导数求函数最值的一般步骤 (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; 1 (2)将 f(x)的各极值与 f(a), f(b)比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. 5.函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个区间 而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极 值,则此极值必是函数的最值. (3)函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个, 也可能没有极值. ?对应阶段质量检测 三 ? ? ? ? 见8开试卷 ? (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 3? 1 2 ? 1.曲线 y= x -2x 在点?1,- ?处的切线的倾斜角为( 2? 2 ? A.-135° C.-45° B.45° D.135° ) 3? ? 解析:∵y′=x-2,∴?1,- ?处的切线斜率为-1,倾斜角为 135°. 2? ? 答案:D 2.下列求导运算正确的是( A.(cos x)′=sin x C.(3 )′=3 log3e x x x ) 1 B.(ln 2x)′= x x D.(x e )′=2xe x 2 x 2 x 解析:(cos x)′=-sin x,(3 )′=3 ln 3,(x e )′=2xe +x e . 答案:B 3.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图像如图所示,则 y =f(x)( ) x 2 x A.在(-∞,0)上为减少的 B.在 x=0 处取极小值 C.在(4,+∞)上为减少的 D.在 x=2 处取极大值 解析:在(-∞,0)上,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,0)上为增函数,A 错;在 x=0 处, 导数由正变负,f(x)由增变减,故在 x=0 处取极大值,B 错;在(4,+∞)上,f′(x)<0,f(x) 2 为减函数,C 对;在 x=2 处取极小值,D 错. 答案:C 4.设函数 f(x)的导函数为 f′(x),且 f(x)=x +2xf′(1),则 f′(0)=( A.0 C.-2 B.-4 D.2 2 ) 解析:∵f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1), ∴f′(1)=-2,∴f′(0)=2f′(1)=-4. 故选 B. 答案:B ? π? 5.函数 f(x)=x+2cos x 在?0, ?上取最大值时的 x 值为( 2? ? A.0 C. π 3 π B. 6 π D. 2 ) 1 解析:由 f′(x)=1-2·sin x=0,得 sin x= , 2 π ? π? ? π? 又 x∈?0, ?,所以 x= ,当 x∈?0, ?时,f′(x)>0; 2? 6? 6 ? ? 当 x∈? ?π ,π ?时,f′(x)<0,故 x=π 时取得最大值. ? 6 ?6 2? 3 答案:B 6.函数 f(x)=ax +x+1 有极值的充要条件是( A.a>0 C.a<0 2 ) B.a≥0 D.a≤0 1 2(x≠0),所以 a<0. 3x 解析:f′(x)=3ax +1,由题意得 f′(x)=0 有实数根,即 a=- 答案:C 7.已知函数 f(x)=x (ax+b)(a,b∈R)在 x=2 时有极值,其图像在点(1,f(1))处的切 线与直线 3x+y=0 平行,则函数 f(x)的单调减区间为( A.(-∞,0) C.(2,+∞) 解析:∵f(x)=ax +bx , ∴f′(x)=3ax +2bx, ?3a×2 +2b×2=0, ? ∴? ? ?3a+2b=-3, 2 2 3 2 2 ) B.(0,2) D.(-∞,+∞) 即? ?a=1, ? ? ?b=-3, 3 令 f′(x)=3x -6x<0,则 0<x<2. 答案:B 8.函数 f(x)=x -3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( A.[0,1) C.(-1,1) 2 3 2

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