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高考数学第二轮专题复习专题三 第一讲 三角函数的图象与性质

高考数学第二轮专题复习专题三 第一讲 三角函数的图象与性质

专题三 三角函数、三角变换、解三角形、 平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 1.任意角的三角函数 (1)设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 sin α=y,cos α=x,tan y α= . x (2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2. 正弦、余弦、正切的图象及性质 函数 性质 定义域 y=sin x R y=cos x R y=tan x π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2 图象 值域 [-1,1] π 对称轴:x=kπ+ 2 [-1,1] 对称轴:x= R 对称性 kπ ? 对称中心:? ? 2 ,0?(k∈Z) (k∈Z); 对称中心: kπ(k∈Z);对称中心: π (kπ+ ,0)(k∈Z) 2 (kπ,0)(k∈Z) 2π 2π 单调减区间 π 3π [2kπ+ ,2kπ+ ] 2 2 π 周期 单调性 单调增区间[2kπ- π π ,2kπ+ ](k∈Z); (k∈Z) 2 2 单调增区间 单调增区间 π π (kπ- ,kπ+ )(k∈Z) 2 2 [2kπ-π, 2kπ]( k∈Z); 奇偶性 奇 偶 奇 3. y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 π 3π (1)五点作图法:五点的取法:设 X=ωx+φ,X 取 0, ,π, ,2π 时求相应的 x 值、y 2 2 值,再描点作图. (2)给出图象求函数表达式的题目,比较难求的是 φ,一般是从“五点法”中的第一点(- φ ,0)作为突破口. ω (3)图象变换 向左?φ>0?或向右?φ<0? y=sin x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位 纵坐标变为原来的A倍 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=Asin(ωx+φ). 横坐标不变 1. (· 江西)函数 y=sin 2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为________. 答案 π π? 解析 y=sin 2x+ 3(1-cos 2x)=2sin? ?2x-3?+ 3, ∴T=π. π 2. (· 山东)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象, 8 则 φ 的一个可能取值为 3π π A. B. 4 4 答案 B φ π? π 把函数 y=sin(2x+φ)沿 x 轴向左平移 个单位后得到函数 y=sin 2? ?x+2+8?= 8 π π 2x+φ+ ?为偶函数,则 φ= . sin? 4? ? 4 π π 3. (· 四川)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别 2 2 解析 是 ( ) ( C.0 π D.- 4 ) π A.2,- 3 π C.4,- 6 π B.2,- 6 π D.4, 3 答案 A π 3 5π - ?,T=π,∴ω=2, 解析 T= -? 4 12 ? 3? 5π π π ∴2× +φ=2kπ+ ,k∈Z,∴φ=2kπ- ,k∈Z. 12 2 3 π π? π 又 φ∈? ?-2,2?,∴φ=-3,选 A. π? ?π ? 4. (· 课标全国)已知 ω>0,函数 f(x)=sin? ?ωx+4?在?2,π?上单调递减,则 ω 的取值范围是 ( 1 5? A.? ?2,4? 1? C.? ?0,2? 答案 A 5 π? π 8 5 ?8 ? 解析 取 ω= ,f(x)=sin? ?4x+4?,其减区间为?5kπ+5,5kπ+π?,k∈Z, 4 π ? ?8 π 8 ,π ? kπ+ , kπ+π?,k∈Z,排除 B,C. 显然? 5 5 ?2 ? ?5 ? π ? 取 ω=2,f(x)=sin? ?2x+4?, π 5 ? 其减区间为? ?kπ+8,kπ+8π?,k∈Z, π ? ? π 5 ,π kπ+ ,kπ+ π?,k∈Z,排除 D. 显然? 2 8 8 ? ? ? ? ?π?? 5. (2011· 安徽)已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数.f(x)≤? ?f?6??对 x∈R 恒成立,且 π? f? ( ) ?2?>f(π),则 f(x)的单调递增区间是 π π? A.? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) π kπ,kπ+ ?(k∈Z) B.? 2? ? π 2π? C.? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) π ? D.? ?kπ-2,kπ?(k∈Z) 答案 C 1 3? B.? ?2,4? D.(0,2] ) ?π??知,当 x=π时 f(x)取最值,∴f?π?=sin?π+φ?=± 解析 由?x∈R,有 f(x)≤? f ? ?6?? ?6? ? 3 ? 1, 6 π π ∴ +φ=± +2kπ(k∈Z), 3 2 π 5π ∴φ= +2kπ 或 φ=- +2kπ(k∈Z), 6 6 π ? 又∵f? ?2?>f(π),∴sin(π+φ)>sin(2π+φ), 5π ∴-sin φ>sin φ,∴sin φ<0.∴φ 取- +2kπ(k∈Z). 6 5π 5π ? 不妨取 φ=- ,则 f(x)=sin? ?2x- 6 ?. 6 π 5π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ(k∈Z), 2 6 2 π 4π ∴ +2kπ≤2x≤ +2kπ(k∈Z), 3 3 π 2π ∴ +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z). 6 3 π 2π ? ∴f(x)的单调递增区间为? ?6+kπ, 3 +kπ?(k∈Z). 题型一 三角函数的概念问题 例1 如图,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π),它们终边分别与单位圆相交于点 P、Q, 3 4 已知点 P 的坐标为(- , ). 5 5 sin 2α+cos 2α+1 的值; 1+tan α → → (2)若OP· OQ=0,求 sin(α+β). (1)求 审

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