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广东省梅州市2014届高三3月总复习质检数学(文)试题 Word版含解析

广东省梅州市2014届高三3月总复习质检数学(文)试题 Word版含解析

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梅州市高三总复习质检试卷(2014.3) 数学(文科)
一、选择题.
1.已知全集 U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},则 A∩ CU B 为( A、{1,3} B、{0,2} C、{0,1,3} D、{2} )

2.下列函数中既是奇函数,又在区间(-1,1)上是增函数的为( A、y=|x+1| B、y=sinx C、y= 2 ? 2
x ?x



D、y=lnx

3.如果复数 A、 2 【答案】C 【解析】

2 ? bi (b ? R ) 的实部和虚部都互为相反数,那么 b 等于( 1 ? 2i 2 2 B、 C、- D、2 3 3



试题分析:因为

2 ? bi 2 ? 2b ?4 ? b ? ? i ,且实部和虚部都互为相反数,所以 1 ? 2i 5 5

2 ? 2b ?4 ? b 2 ? ? 0, b ? ? . 5 5 3
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考点:复数运算.

4.已知 ? 为锐角,且 tan(? ? ? ) +3=0,则 sin ? 的值是(



A、

1 3

B、

3 10 10

C、

3 7 7

D、

3 5 5

5.阅读右面的程序框图,则输出的 S=(



【答案】C 【解析】 试题分析:第一次循环, s ? 1, i ? 2, 第二次循环, s ? 1 ? 4 ? 5, i ? 3, 第三次循环,
s ? 5 ? 9 ? 14, i ? 4, 第四次循环, s ? 14 ? 16 ? 30, i ? 5 ? 4, 结束循环,输出 s ? 30.

考点:循环结构程序框图.

6.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是(



1 A、 2

1 B、 6

1 C、 12

1 D、 18

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7.设 m,n 是平面 ? 内两条不同直线,l 是平面 ? 外的一条直线,则“l⊥m,l⊥n”是“l⊥ ? ” 的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

?x ? y ? 1 ? 8.已知变量 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 5 ,则 z=3x+y 的最大值为( ?x ? 1 ?
A、4 【答案】D 【解析】 B、5 C、6 D、7



试题分析: 因为约束条件表示一个三角形 ABC ( A(1,0), B(1,3), C (2,1)) 及其内部,所以目标函数 过点 C (2,1) 时取最大值: z ? 7. 考点:线性规划求最值.

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9.设曲线 C 的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线 l 的方程 x-3y+2=0,则曲线上的点 到直线 l 的距离为 A、1

7 10 的点的个数为( 10
B、2

) C、3 D、4

10.若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一个“友好点对” (点对[P,Q]与[Q, P]看作同一个“友好点对” ) .已知函数 f(x)= ,则此函数的“友好点对”

有( ) A、0 对

B、1 对

C、2 对

D、3 对

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考点:函数图像.

二、填空题
(一)必做题(11-13 题) 11.已知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m), 若a (a+b).则m =___________.

12.已知函数 f(x)=lnx-ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 2x+y-1=0 平行,则实数 a 的值为___________. 【答案】3 【解析】 试题分析:因为在 x ? 1 处的导数值为在 x ? 1 处切线的斜率,又因为 f ?( x) ?
f ?(1) ? 1 ? a ? ?2, a ? 3.

1 ? a ,所以 x

考点:利用导数求切线.

x2 y 2 ? ? 1 的长轴的端点、焦点,则双曲线 13.已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 25 16
C 的方程是____________.

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【答案】

x2 y2 ? ?1 9 16

(二)选题题(14-15 题,只能选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t ? 3 ?y ? 3?t

(参数 t ? R) ,圆 C 的参数方程是 ? 距离为_________.

? x ? 2cos ? (参数θ ? R) ,则圆 C 的圆心到直线 l 的 ? y ? 2sin ? ? 2

15.(几何证明选讲选做)如图,在圆的内接四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,∠ABD=30°, ∠BDC=45°,AD=1,则 BC=_________.

【答案】 2 【解析】 试题分析: 因为在圆的内接四边形 ABCD 中, ∠ABC=90°, 所以 ?ADC ? 90 . 又∠ABD=30°,

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所以 ?ACD ? 30 . 因为 AD=1,所以 AC ? 2. 又因为∠BDC=45°,所以 ?CAB ? 45 . 在等腰直 角三角形 ABD 中,可求得所以 BC ? 2. 考点:圆的内接四边形性质

三、解答题
16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 如图所示。 (1)求函数 f(x)的解析式,并写出 f(x)的单调减区间; (2)△ABC 的内角分别是 A,B,C,若 f(A)=1,cosB=

?
2

) 的部分图象

4 ,求 sinC 的值。 5

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(2)由(I)可知,

sin( 2 A ?

?
6

) ? 1,

?0 ? A ? ? , ?

?
6

? 2A ?
.

?
6

?

?2A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
6

13? , 6
????8 分

? 0 ? B ? ? ,? sin B ? 1 ? cos 2 B ?

3 . 5

?????9 分 ????10 分

? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin( A ? B)
? sin A cos B ? cos A sin B .

?

1 4 3 3 4?3 3 . ? ? ? ? 2 5 2 5 10

??12 分

考点:求三角函数解析式,诱导公式及两角和正弦公式.

17. (本小题满分 12 分) 已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测 试,现学校决定利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩拉样统计,先将 800 人按
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001,002,?,800 进行编号。 (1)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 3 个人的编号; (下面摘取了第 7 行至第 9 行)

(2)抽取取 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表:

成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成 绩,例如:表中数学成绩为良好的共有 20+18+4=42 人,若在该样本中,数学成 绩优秀率为 30%,求 a,b 的值。 (3)在地理成绩为及格的学生中,已知 a ? 10, b ? 8 ,求数学成绩为优秀的人 数比及格的人数少的概率。 【答案】 (1)785,667,199,(2) a ? 14 , 【解析】 试题分析: (1)因为从第 8 行第 7 列的数开始向右读,每三个数依次为 785,916,955,667,199, ,其中编号在 001,002,?,800 中依次为 785,667,199.(2)因为

b ? 17 (3)

3 7

数学成绩优秀率为 30%,所以数学成绩优秀人数为 30,因此 7 ? 9 ? a ? 30, a ? 14. 又总人数为 100,因此 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 ,即 b ? 17 .(3)因为总人数为 100, 因此 a ? b ? 31 .又 a ? 10, b ? 8 ,所以满足条件的 ( a, b) 有: (10,21) , (11,20) , (12, 19) , (13,18) , (14,17) , (15,16) , (16,15) , (17,14) , (18,13) , (19,12) , (20, 11) , (21,10) , (22,9) , (23,8)共 14 组,在地理成绩为及格的学生中数学成绩为优秀 的人数比及格的人数少满足 a ? b ? 31 ? a, a ? 15, 有: (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13, 18) , (14,17) , (15,16)共 6 组.所求概率为

6 3 ? . 14 7
????

试题解析:解: (1)依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 785,667,199; 3分

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18.(本小题满分 14 分)如图,在直角梯形 ABEF 中,BE∥AF,∠FAB=90°,CD∥AB,将 DCEF 沿 CD 折起,使∠FDA=60°,得到一个空间几何体。 (1)求证:BE∥平面 ADF; (2)求证:AF⊥平面 ABCD; (3)求三棱锥 E-BCD 的体积。

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同理 CE //平面 ADF .

????2 分

又? BC ? CE ? C, BC, CE ? 平面 BCE ,

? 平面 BCE //平面 ADF .
又 BE ? 平面 BCE , ∴ BE //平面 ADF . (2)由于 ?FDA ? 60?, FD ? 2, AD ? 1, ???4 分

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1 1 ? AF 2 ? FD 2 ? AD 2 ? 2 ? FD ? AD ? cos ?FDA ? 4 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? 3 ,即 2 2

AF ? 3.
? AF 2 ? AD2 ? FD2 ,? AF ? AD .
??6 分

? DC ? FD, DC ? AD, AD ? FD ? D, AD, DF ? 平面 ADF ,

? AF ? 平面 ABCD .

??8 分

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19.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F(-2, ) ,且长轴长与短轴 长的比是 2: 3 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点,若当 | MP | 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点上,求实数 m 的取值范围。

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(2) 设 P( x, y) 为椭圆上的动点, 由于椭圆方程为 7分 因为 MP ? ( x ? m, y) ,所以

x2 y2 故 ? 4 ? x ? 4 .????? ? ? 1, 16 12

x2 1 1 | MP | ? ( x ? m) ? y ? ( x ? m) ? 12 ? (1 ? ) ? x 2 ? 2m x ? m 2 ? 12 ? ( x ? 4m) 2 ? 3m 2 ? 12. 16 4 4
2 2 2 2

???10 分

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20.(本小题满分 14 分)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N*) 。 (1)求数列{ an }的通项公式; (2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成一个公差为 d 的等差数列。 (I)在数列{ dn }中是否存在三项 dm , dk , d p (其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列?若 存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由; 1 1 1 1 15 ? ? ? (n ? N * ) (II)求证: ? d1 d 2 d3 d n 16

试题解析:解: (1)由 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N ) ,
*

可得: an ? 2Sn?1 ? 2(n ? N ,n ? 2) ,
*

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两式相减: an?1 ? 3an (n ? N ,n ? 2) .
*

??????2 分

又 a2 ? 2a1 ? 2 , 因为数列 ?an ? 是等比数列,所以 a2 ? 2a1 ? 2 ? 3a1 ,故 a1 ? 2 . 所以 an ? 2 ? 3
n ?1

.

??????4 分

2 2 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? ? ...... ? ? 0 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 1 3 3 ? n ?1 ? ? ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 1? 3 5 2n ? 5 ? ? 8 8 ? 3n
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????13 分

Tn ?

15 3(2n ? 5) 15 ? ? .. 16 16 16 ? 3 n

??????14 分

考点:等比数列通项,错位相减法求和.

' x 是 f(x)的导 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x3+ax2-4( a ? R ) , f ()
函数。 (1)当 a=2 时,对于任意的 m ? [-1,1] ,n ? [-1,1] ,求 f (m) + f ?(n) 的最小值; (2)若存在 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) >0,求 a 的取值范围。

试题解析:解: (1)由题意知 f ( x) ? ? x 3 ? 2x 2 ? 4, f ' ( x) ? ?3x 2 ? 4 x. 令 f ' ( x ) ? 0, 得x ? 0或 .

4 3

????2 分

当 x 在[-1,1]上变化时, f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表: x -1 -7 -1 (-1,0) ↓ 0 0 -4 (0,1) + ↑ 1 1 -3 ????4 分

f ' ( x) f ( x)

? 对于m ? [?1,1], f (m) 的最小值为 f (0) ? ?4,

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? f ' ( x) ? ?3x 2 ? 4x 的对称轴为 x ?

2 ,且抛物线开口向下, 3
????5 分 ????6 分

? 对于n ? [?1,1], f ' (n) 的最小值为 f ' (?1) ? ?7.
? f (m) ? f ' (n) 的最小值为-11.
(2)? f ' ( x) ? ?3 x( x ?

2a ). 3

考点:利用导数求最值,二次函数求最值

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