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江苏省海头高级中学2007—2008学年度高三模拟试卷数学试卷(文科)

江苏省海头高级中学2007—2008学年度高三模拟试卷数学试卷(文科)

江苏省海头高级中学 2007—2008 学年度高三模拟试卷数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
? ? ? ? 1.集合 M ? y y ? lg( x 2 ? 1), x ? R ,集合 N ? x 4 x ? 4, x ? R ,则 M ? N 等于 …………… ( )

A. [0,??)

B. [0,1)

C . (1,??)

D . (0,1]

2.等差数列 ?an ?中,若 a6 ? a10 ? 16, a4 ? 1,则 a12 的值是……………………………………( )

(A) 64 (B) 31 (C) 30

(D) 15

3.若 P: x ? 2 ,Q: (x ? 2) x ? 1 ? 0 ,则 P 是 Q 的…………………………………………( )

(A)充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 即不充分也不必要条件

4. 从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本,“每次抽取一个个体时任一个体 a 被抽

到的概率”与“在整个抽样过程中个体 a 被抽到的概率”为………………………………( )

A.均为 1 3

B.均为 1 6

C.第一个为 1 ,第二个为 1 D.第一个为 1 ,第二个为 1

3

6

6

3

5. 已知函数 f ?x? ? x ? a ? x ? a2 , f ?1?<0,则 f ?0?的取值范围…………………………( )

A

??

?,?2?

?

?? ?

0,

1 4

? ??

B

??

?,0?

?

?? ?

0,

1 4

? ??

C ?? ?,0?

D

?? ?

?

?,

1 4

? ??

6. 已知 A,B,C 是平面上不共线上三点,O 为 ?ABC 外心,动点 P 满足

?
OP

?

1 3

???(1

?

?)

?
OA?

(1

?

?)

?
OB

?

(1

?

2? )

?
OC

? ??

(?

?

R且?

?

0)

,则

P

的轨迹一定通过

?ABC

的…………………………………………………………………………………………………( )

A 内心

B 垂心

C 重心

D AB 边的中点

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,把答案填在题中横线上)

? ? 7、设 M ? x ax2 ? 6x ? 9 ? 0 是含一个元素的集合,则 a 的值为



8、与向量 a ? (?3,?4) 同方向的单位向量是



9、式子 1 ? 2 sin100 cos100 的值为____________ 。 cos100 ? 1 ? cos2 1700

10、已知复数 Z 满足 ( 3 ? 3i)Z ? 3i ,则复数 Z =



11、函数 y ? log 0.5 (4x2 ? 3x) 的定义域为



12、关于 x 的方程 x2 ? 4x ? 3 ? m 有 3 个不同的实数根,则 m =



13、已知函数

f

(x)

?

??(1) x , ?2

x

?

4

,则 f (2 ? log 2 3) =



?? f (x ? 1), x ? 4

14、已知椭圆 x2 16

?

y2 9

? 1的左、右焦点分别为 F1, F2

,点

P

在椭圆上,若

P、F1、F2 是一个直

角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为



15、已知 an ? n ,把数列{an}的各项排列成如下的三角形状: a1

a2 a3 a4

a5 a6 a7 a8 a9
……………………………………
记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,12) ? ___________ 16、若判断框内填入 k ? 10,则下面的程序框图输出的结果为_______

开始

k=12, s=1



否 s=s×k
k=k-1

输出 s 结束

江苏省海头高级中学 2007—2008 学年度高三第二次月考

数 学 试 卷(文科)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

题号 1

2

3

4

5

6

座位 号

答案

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

7、

; 8、



9、

; 10、



11、

; 12、



13、

; 14、



15、

; 16、



三、解答题(共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤)
17、(本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分)
已知函数 f (x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x (1)求函数 f (x) 最小正周期
(2)若 x ?[0, ? ] ,求 f (x) 的最大值和最小值。 2

考试号

班级

姓名

学校

18、(本题满分 12 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 4 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下的对应数据:

x

2

4

5

6

8

y 30 40 50 60 70 (1)请画出上表数据的散点图;

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= b x+ a ;
(3)要使这种产品的销售额突破一亿元(含一亿元),则广告费支出至少为多少百万元?(精确 到 0.1)

19、(本题满分 12 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 4 分)
已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面边长为 8 ,对角线 B1C ? 10 , (1)若 D 为 AC 的中点,求证: AB1 // 平面C1BD ; (2)若 CD ? 2AD , BP ? ?PB1 ,当 ? 为何值时, AP // 平面C1BD ; (3)求直线 AB1 到平面 C1BD 的距离。
20、(本题满分 14 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 5 分)

已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过 M (1, 4 2 ), N (? 3 2 , 2) 两点;

3

2

(1)求椭圆的方程;

(2)在椭圆上是否存在点 P(x, y) ,使 P 到定点 A(a, 0) (其中 0 ? a ? 3 )的距离的最小值为 1?若

存在,求出 a 的值及点 P 的坐标;若不存在,请给予证明。

21、(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)
已知函数 f ? x? ? x3 ? ax2 ? 2x ? 5 .
(1)若函数 (f x)在( 2 ,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,求实数 a 的值; 3
(2)是否存在正整数 a,使得 (f x)在( 1 ,1 )上既不是单调递增函数也不是单调递减函数? 32
若存在,试求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

22、(本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)

设函数 f (x) ? 3x 3x ?

3

上两点

P1 ( x1 ,

y1 )

、P2

(x2 ,

y2

)

,若

OP

?

1 2

(OP1

?

OP2

)

,且

P

点的横坐标为 1 2

(1)求证: P 点的纵坐标为定值,并求出这个值;

? (2)若 Sn

?

n i ?1

f

(

i n

)



n

?

N

?

,求

Sn



(3)记 Tn 为数列{ (Sn ?

1

3 2

)(Sn?1

?

} 的前 3)

n

项和,若 Tn

?

a

? (Sn?2

?

2

3 ) 对一切 2

n ? N? 都成立,试求实数 a 的取值范围。

江苏省海头高级中学 2007—2008 学年度高三模拟试卷

数 学 试 卷 答 案(文科)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

题号 1

2

3

4

5

6

答案 C

D

A

D

B

D

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

7、

a ? 0或1

; 8、

(? 3,? 4) 55



9、

1

; 10、

210



11、??x ? ?

1 4

?

x

?

0或 3 4

?

x

? 1;?? ?

12、

3 ? 3i

1

4



13、

m ?1

; 14、 24



15、

93

; 16、 132



三、解答题(共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤)

17、(1) f (x) ? (cos 2 x ? sin 2 x)(cos 2 x ? sin 2 x) ? sin 2x ……2 分

= cos2x ? sin 2x ? 2 cos(2x ? ? ) ……………………………………………………6 分 4

?最小正周期为T ? 2? ? ? ……………………………………………………………8 分 2

(2)由(1)知 f (x) ? 2 cos(2x ? ? ) 4



x

?

???0,

? 2

? ??

,?2x

?

? 4

?

?? ?? 4

,

5? 4

? ??

………………………………………………….10



? ? ?c

os(2x

?

? 4

)

?

? ?? ?

1,

2 2

?
? ?

,?

f

(x) ?

?

2,1 ……………………………………14 分

f (x)max ? 1, f (x)min ? ?1 ……………………………………………………………16 分

18、解:(1)散点图如图所示: (2)由题中数据右算出:
5
? x =5, y =50, xi2 =145, i ?1

y 销售额(百万元) 80
70

5

5

? ? yi2 =13500, xi yi =13800,

i ?1

i ?1

5

? ∴b= i?1 xi yi ? 5x ? y = 1380 ? 5? 5? 50 =6.5,

?5

xi2

?

2
5x

145 ? 5?52

i ?1

a= y -b x =50-6.5×5=17.5,

60

50

y

40

销售额(百万元)

30 80

20 70

10 60 x
o 510 2 3 4 5 6 7 8 广告费(百万元) 40

30

∴所求的回归直线方程是 y =6.5x+17.5

20

10

(3)依题意有:6.5x+17.5≥100,∴x≥12.7,∴广告费投入至少需要 12.7 百万元.

x

19、略

o 1 2 3 4 5 6 7 8 广告费(百万元)

20、(1) x2 ? y2 ? 1 94

(2) | AP |2 ? (x ? a)2 ? (4 ? x2 ) ? 5 (x ? 9 a)2 ? 4 ? 4 a2 (| x |? 3)

99 5

5

若 9 a ? 3,即0<a ? 5 ,有4 ? 4 a2 =1,a ? ?

5

3

5

15 2

?

? ??

0,

5 3

? ??

若 9 a ? 3,即 5 <a ? 3,当x ? 3时,| AP |2 最小值为(3 ? a)2

5

3

则(3 ? a)2 =1,a ? 2,此时点P坐标为(3,0)

故当a=2时,存在这样的点P满足条件,P点的坐标为(3,0)

21、解 (1)∵ f ? x? ? x3 ? ax2 ? 2x ? 5 在( 2 ,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
3
∴f′(x)=3x2+2ax-2, f′(1)=0,∴a=- 1 . ………………6 分 2
(2)令 f′(x)=3x2+2ax-2=0. ∵△=4a2+24>0,∴方程有两个实根,………………………………7 分
分别记为 x1,x2.由于 x1·x2=- 2 ,说明 x1,x2 一正一负, 3

即在( 2 ,1)内方程 f′(x)=0 不可能有两个解.…………………9 分 3

故要使得 (f x)在( 1 , 1 )上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是 32

f′( 1 )·f′( 1 )<0,即( 1 + 2 a-2)( 3 +a-2)<0.…12 分

3

2

33

4

解得 5 ? a ? 5 . …………………………………………………………13 分

4

2

∵a 是正整数,∴a=2.……………………………………………………14 分

22、解:设

OP

?

(

1 2

,

y

p

)

,又

OP

?

1 2 (OP1

? OP2 ) ,? x1

?

x2

? 1,

yp

?

y1

? 2

y2





y1

?

y2

?

3x1 3x1 ?

3x2 ? 3 3x2 ?

3

? 1,? yp

?

y1 ? 2

y2

?

1 2

由 x1 ? x2

? 1 ,得 y1 ? y2

?

f (x1) ?

f (x2 ) ? 1,

f (1) ?

3? 2

3

? Sn

?

f

(1) ? n

f

(2) ? n

? f ( n ?1) ? f ( n) ,

n

n

又 Sn

?

f

(n ?1) ? n

f

(n ? 2) ? n

? f (1)? f (n) nn

?2Sn ? 1?1? ?1
n?1个

?1?1? 2 f (1) ? n ? 2 ?

3

,即 Sn

?

n

?

2? 2

3

Sn ?

3 2

?

n

? 2

2

,? Sn?1

?

3 ? n ? 3 ,? 22
(Sn ?

1

3 2

)(Sn?1

?

?

4



3 ) (n ? 2)(n ? 3)

2

从而 Tn

?

4[ 1 3? 4

?

1 4?5

?

?

1

]? 4? n ,

(n ? 2)(n ? 3) 3 n ? 3

由 Tn ? a(Sn?2 ?

3 2 ), Sn?2 ?

3 ? 0,?a ? Tn 2
Sn?2 ?

3

?

8?

n

3 (n ? 3)(n ? 4)

?

8? 3

1 n ? 12 ? 7

2

n

令 g(n) ? n ? 12 ,易证 g(n) 在[2 3, ??) 上是增函数,在 (0, 2 3) 上是减函数, n



g(3)

?

7,

g(4)

?

7

,? g (n)

的最大值为

7,即

8 3

?

n

?

1 12

?

7

?

4 21

,? a

?

4 21

n


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