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2.3

2.3


单位:平阴县第一中学高二数学组

制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320

2.3 数学归纳法应用举例
一、学习目标: 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 二、知识清单: 1、证明与正整数有关的命题,可按下列步骤进行: (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n=k (k≥n0,k∈N*) 时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。 只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 这种证明方法叫做数学归纳法。 可记为“两个步骤要做到,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉” 。 2、数学归纳法证明命题的类型 与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 三、思维误区 1、证明 n=k+1 时命题成立时,必须用上 n=k 时的假设,否则第二步也就不能成为传递的依据,这样就需 要从 n=k+1 的式子中分离出 n=k 时的式子,或将 n=k+1 的情况用 n=k 的情况表示。 2、有关“和式”与“积式” ,一定要“数清”是多少项的和或积,以正确确定 n=1 时及 n=k 变化到 n=k+1 “和”或“积”的情况。 四、典例分析 题型一、用数学归纳法证明不等式 例 1、归纳法证明

1 1 1 1 9 ? ? ?… > n ?1 n ? 2 n ? 3 3n 10

(n>1,且 n ? N ) .

题型二、用数学归纳法证明几何问题 例 2.平面内有 n (n ? N * ) 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这 n 个圆 把平面分成 n ? n ? 2 个部分.
2

1

单位:平阴县第一中学高二数学组

制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320

题型三、用数学归纳法证明整除问题 例 4、 用数学归纳法证明 32n 2-8 n-9 ?n ? N? 能被 64 整除.


题型四 归纳、猜想、证明 例 4.是否存在常数 a,b,c 使等式

1·2 2 ? 2 ·32 ? 3·4 2 ? ? n?n ? 1? ?
2

n?n ? 1? 12

?an

2

? bn ? c 对一切自然数 n 都成立,并证明你的结

?

论。

2

单位:平阴县第一中学高二数学组

制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320

强化训练 1.数学归纳法证明(n+1) (n+2)?(n+n)=2n · 1· 3?(2 n-1) ?n ? N? 时,证明从 n=k 到 n=k+1 的 过程中,相当于在假设成立的那个式子两边同乘以 (A)2k+2 (B)(2k+1) (2k+2) (C) ( )

2k ? 2 k ?1

(D)

?2k ? 1??2k ? 2?
k ?1

2.用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? (n ? N ) ,则从 k 到 k+1 时,左边应添加 1- + - ? ? ? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 的项为 1 1 1 1 1 1 ? (A) (B) (C) - (D) - 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 4 2k ? 2 2k ? 1 2 k ? 2 1 1 1 1 ? ? ??? (k ? 1,2,3, ?), 则 Sk+1 = 3. S k ? ( ) k ?1 k ? 2 k ? 3 2k (A) Sk + (C) Sk +
1 2(k ? 1)
1 1 ? 2k ? 1 2k ? 2

(B) (D)

Sk + Sk +

1 1 ? 2k ? 2 k ? 1 1 1 ? 2k ? 1 2k ? 2

4.如果命题 p ( n) 对 n ? k 成立,那么它对 n ? k ? 2 也成立,又若 p ( n) 对 n ? 2 成立,则下列结论正确的是



) A. p (n) 对所有自然数 n 成立 C. p (n) 对所有正奇数 n 成立 B. p (n) 对所有正偶数 n 成立 D. p (n) 对所有大于 1 的自然数 n 成立

5. 用数学归纳法证明 34n?1 ? 52n?1 (n ? N) 能被 8 整除时,当 n ? k ? 1 时,对于 34( k ?1) ?1 ? 52( k ?1) ?1 可变形为




· 34 k ?1 ? 52 · 52 k B. 34

A. 56 · 34k ?1 ? 25(34k ?1 ? 52k ?1 )

C. 34 k ?1 ? 52 k ?1

D. 25(34k ?1 ? 52k ?1 )

6.证明

12 22 ? ? 1? 3 3 ? 5

?

n2 n(n ? 1) ? ,n? N* (2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)

3

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制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320

7.求证: 1 ?

1 1 1 ? ? ? 2 3 4

?

1 ? n, n ? N * . 2 ?1
n

8.用数学归纳法证明: (3n ? 1)7 n ? 1(n ? N ? ) 能被 9 整除

9. 是否存在常数 a, b, c 使等式 1? (n 2 ? 12 ) ? 2(n 2 ? 2 2 ) ? ? ? ? ? n(n 2 ? n 2 ) ? an4 ? bn2 ? c 对一切正整数

n 都成立?证明你的结论。

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单位:平阴县第一中学高二数学组

制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320

2.3 数学归纳法 一、课标要求 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 二、知识清单 1、证明与正整数有关的命题,可按下列步骤进行: (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n=k (k≥n0,k∈N*) 时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。 只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 这种证明方法叫做数学归纳法。 可记为“两个步骤要做到,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉” 。 2、数学归纳法证明命题的类型 与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 三、问题探究 1、数学归纳法的归纳奠基中 n0 一定等于 1 吗? 2、为什么可以先假设 n=k (k≥n0,k∈N*) 时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢? 四、思维误区 1、证明 n=k+1 时命题成立时,必须用上 n=k 时的假设,否则第二步也就不能成为传递的依据,这样就需 要从 n=k+1 的式子中分离出 n=k 时的式子,或将 n=k+1 的情况用 n=k 的情况表示。 2、有关“和式”与“积式” ,一定要“数清”是多少项的和或积,以正确确定 n=1 时及 n=k 变化到 n=k+1 “和”或“积”的情况。 五、典例分析 题型一、用数学归纳法证明恒等式 例 1、例 1 数学归纳法证明 13+23+33+?+n3= 证明:① 当 n=1 时,左边=13=1,右边= 故等式成立. ② 假设 n=k( k ? N ,且 k≥1)时等式成立。 即 13+23+33+?+k 3+=

1 2 n (n+1)2 4

1 2 2 ? 1 ? ?1 ? 1? ? 1 , 4

1 2 k (k+1)2 成立. 4

则当 n=k+1 时,13+23+33+?+k 3+(k+1)3 = =

1 2 2 1 1 2 2 (k ? 1) 2 k 2 ? 4(k ? 1) ? ?k ? 1? ?k ? 1? ? 4 ?k ? 1? ?(k ? 1) ? 1? . 4 4

1 2 k (k ? 1) 2 ? (k ? 1) 3 4

?

?

即当 n=k+1 时等式也成立. 综合①,②,对一切 n ? N ,等式都成立. 题型二、用数学归纳法证明不等式 例 2、归纳法证明

1 1 1 1 9 ? ? ?… > n ?1 n ? 2 n ? 3 3n 10 1 1 1 1 19 9 ? ? ? ? > =右边,不等式成立. 3 4 5 6 20 10

(n>1,且 n ? N ) . 证明:① n=2 时,左边=

② 假设 n=k( k ? N , k≥2)时不等式成立,
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制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320



1 1 1 9 ? ? …? > 成立. k ?1 k ? 2 3k 10

——4 分

则当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 ? ?…? ? ? ? k ?2 k ?3 3k 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 1 1 1 1 1 1 1 9 ? ? … ? ? ? = ( ) + ( - ) > + k ?1 k ? 2 3k 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ?1 10 1 1 1 1 ? ? ( - ) 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ? 1 9 1 1 1 1 ? ? > +( - ) 10 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 3 k ? 1 9 = 即当 n=k+1 时不等式也成立. 10
综合①,②,对一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 题型三、用数学归纳法证明几何问题 例 4.平面内有 n (n ? N * ) 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这 n 个圆 把平面分成 n ? n ? 2 个部分.
2

题型四、用数学归纳法证明整除问题 例 4、 用数学归纳法证明 32n 2-8 n-9 ?n ? N? 能被 64 整除.


证明:① 当 n=1 时,32 2-8×1-9=64 显然能被 64 整除,命题成立.


② 假设 n=k( k≥1, k ? N )时命题成立. 即 32k 2-8k-9 能被 64 整除.则当 n=k+1 时,


32

(k+1)+2

-8(k+1)-9=9· 32k 2-8 k-8-9


=9(32k 2-8 k-9)+64 k+64.


∵ 32k 2-8 k-9 与 64 均能被 64 整除,


∴ 32

(k+1)+2

-8( k+1)-9 能被 64 整除.

即当 n=k+1 时命题也成立. 综合①,②,对一切 n ? N ,32n 2-8n-9 能被 64 整除.


题型五 归纳、猜想、证明
例 8:是否存在常数 a,b,c 使等式

1·2 2 ? 2 ·32 ? 3·4 2 ? ? n?n ? 1? ?
2

n?n ? 1? 12

?an

2

? bn ? c

? 对一切自然数 n 都成立,并证明你的结论。

? 1,2,3 分别列出方程,试求 a,b,c 值,再用数学归纳法证明。 解:假设存在 a,b,c 使题设等式成立,那么令 n ? 1, n ? 2, n ? 3 得到下面方程组:
分析:可先把条件式对 n 6

单位:平阴县第一中学高二数学组

制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320

1 ? ?4 ? 6 ? a ? b ? c? ? 1 ? ?22 ? ? 4a ? 2b ? c? 2 ? ?70 ? 9a ? 3b ? c ? ?
解得 a

? 3, b ? 11, c ? 10

下面用数学归纳法证明当 n ? N 时,题设等式成立,即有:

1·2 2 ? 2 ·32 ? 3·4 2 ? ?n?n ? 1? ?
2

n?n ? 1? 12

?3n

2

? 11n ? 10

?



(1)当 n

? 1,2,3 时,①式成立

(2)假设 n

? k ? k ? N ? 成立,即:
2

1·2 2 ? 2 ·32 ? ?k ? k ? 1? ?
那么当 n ?
2

k ? k ? 1? 12

?3k

2

? 11k ? 10

?

k ? 1时 2 2 1· 2 ? 2 · 32 ? ?k ? k ? 1? ? ? k ? 1?? k ? 2?
k ? k ? 1? 12 ? k ? 1?

? ?

?3k

2

? 11k ? 10 ? ? k ? 1?? k ? 2? ? 11k ? 10 ? 12? k ? 2?

?

2

12 k ?1 ? ? k ? 2? 3k 2 ? 5k ? 12 k ? 24 12 ? k ? 1?? k ? 2? 3 k ? 1 2 ? 11 k ? 1 ? 10 ? ? ? ? ? 12 故当 n ? k ? 1时①式成立。 综上,可知当 n ? N 时,等式成立。

?k?3k

2

?

2

? ?

?

?

?

六、强化训练 1..用数学归纳法证明“1+x+x2+?+xn 1=


1 ? x n? 2 ?x ? 1,n ? N ? ”成 1? x
) (D) 1+x+x2+x3+?+x2

立时,验证 n=1 的过程中左边的式子是( (A)1 (B)1+x (C) 1+x+x2

2 某个命题与自然数 n 有关, 如果当 n=k ?n ? N? 时成立那么可推得 n=k+1 时该命题也成立. 现已知当 n=5 时,该命题不成立,那么可推得 (A) 当 n=6 时该命题不成立 (C) 当 n=4 时该命题不成立 (B) 当 n=6 时该命题成立 (D) 当 n=4 时该命题成立 ( )

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单位:平阴县第一中学高二数学组

制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320

1.数学归纳法证明 1+

1 1 1 + +?+ n <n(n>1)的过程中,第二步证明从 n=k 到 n=k+1 成立时, 2 3 2 ?1
) (C) 2k (D) 2k+1 (B) 2k
-1

左边增加 m 个项,则 m 等于( (A) 2k-1

2.数学归纳法证明(n+1) (n+2)?(n+n)=2n · 1· 3?(2 n-1) ?n ? N? 时,证明从 n=k 到 n=k+1 的 过程中,相当于在假设成立的那个式子两边同乘以( (A)2k+2 (C) )

(B)(2k+1) (2k+2)

2k ? 2 k ?1

1 1 1. 已知 f (n) ? 1 ? ? ? 2 3

k ?1 1 n ? ? n ? N ? ? ,证明不等式 f ? n ? ? 时, n 2
) D 2 ?1
k

(D)

?2k ? 1??2k ? 2?

f ? 2k ?1 ? 比 f ? 2 k ? 多的项数为(
A. 2
k ?1

B

2 k ?1

C. 2

k

3.用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? (n ? N ) ,则从 k 到 k+1 时,左边应添加 1- + - ? ? ? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 的项为 1 1 1 ? (A) (B) 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 4 (C) -
1 2k ? 2

(D)

1 1 - 2k ? 1 2 k ? 2

5. S k ?

1 1 1 1 ? ? ??? (k ? 1,2,3, ?), 则 Sk+1 = k ?1 k ? 2 k ? 3 2k

(A) Sk + (C) Sk +

1 2(k ? 1)
1 1 ? 2k ? 1 2k ? 2

(B) (D)

Sk + Sk +

1 1 ? 2k ? 2 k ? 1 1 1 ? 2k ? 1 2k ? 2


2.凸 n 边形有 f ( n) 条对角线,则凸 n ? 1 边形的对角线的条数 f (n ? 1) 为(

A. f (n) ? n ? 1

B. f ( n ) ? n

C. f (n) ? n ? 1

D. f (n) ? n ? 2

4.如果命题 p ( n) 对 n ? k 成立,那么它对 n ? k ? 2 也成立,又若 p ( n) 对 n ? 2 成立,则下列结论正确的是





A. p (n) 对所有自然数 n 成立 B. p (n) 对所有正偶数 n 成立
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单位:平阴县第一中学高二数学组

制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320

C. p (n) 对所有正奇数 n 成立 D. p (n) 对所有大于 1 的自然数 n 成立
5.用数学归纳法证明, “当 n 为正奇数时, x
n

? y n 能被 x ? y 整除”时,第二步归纳假设应写成(



A.假设 n ? 2k ? 1(k ? N? ) 时正确,再推证 n ? 2k ? 3 正确 B.假设 n ? 2k ?1(k ? N? ) 时正确,再推证 n ? 2k ? 1 正确 C.假设 n ? k (k ≥1 ,k ? N? ) 的正确,再推证 n ? k ? 2 正确 D.假设 n ≤ k (k ≥1 ,k ? N? ) 时正确,再推证 n ? k ? 2 正确
7.用数学归纳法证明 34n?1 ? 52n?1 (n ? N) 能被 8 整除时, 当 n ? k ? 1 时, 对于 34( k ?1) ?1 ? 52( k ?1) ?1 可变形为 (



A. 56 · 34k ?1 ? 25(34k ?1 ? 52k ?1 ) C. 34 k ?1 ? 52 k ?1

· 34 k ?1 ? 52 · 52 k B. 34

D. 25(34k ?1 ? 52k ?1 )

[举例 2]用数学归纳法证明“5n-2n 能被 3 整除”的第二步中,n=k+1 时,为了使用归纳假设,应将 5k+1-2k+1 变形为 [解析]假设 n=k 时命题成立.即:5k-2k 被 3 整除.当 n=k+1 时,5k+1-2 k+1 =5×5k-2×2 k =5(5k-2k) +5×2k-2×2k=5(5k-2k) +3×2k

1 证明 1. 1 ?

12 22 ? ? 1? 3 3 ? 5

?

n2 n(n ? 1) ? ,n? N* (2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)

1 1 1 ? ? ? 2 3 4

?

1 ? n, n ? N * . 2 ?1
n

例 7:平面内有 n 条直线,其中任意两条不平行,任意三条不共点,求证它们: (1)共有

f ? n? ?

1 n? n ? 1? 个交点 2

(2)互相分割成 g

?n? ? n2 条线段
? n? ?
1 n?n ? 1? ? 1 个部分。 2

(3)把平面分割成 h

分析:从图形的性质出发,进行分析。 证明: (i)当 n ? 1时 (ii)假设 n 的k 9

f ?1? ? 0,g?1? ? 1,h?1? ? 2 与图形性质相同,命题成立。
时,考查 n

? k ? 1? k ? 2? 时,命题成立,则当 n ? k

? k ? 1 及增加一条直线 l,这一条直线与原来

? 1 条直线的关系是它们都相交,各有一个交点。

单位:平阴县第一中学高二数学组

制作人:于庆生

审稿人:孙成涛

编号:20140320

? f ? k ? ? f ? k ? 1? ? k ? 1
? 1 条直线分割成 k 段 (即增加的 k ? 1 个点把 l 分成 k 段) 而 l 又把原来的 k ? 1 条直线每条多分出一段(即增加的 k ? 1 个交点把各交点所在的线段一分为二) ,若增加了 k ? k ? 1 条线段。
又因为增加的一条直线 l 被原来的 k

? g? k ? ? g? k ? 1? ? k ? k ? 1 ? g? k ? 1? ? 2k ? 1
又因为 l 被分成 k 段,每段把该段所在的部分平面分成两部分,总共多出 k 个部分平面。

? h? k ? ? h? k ? 1? ? k
由假设易知

f ?k ? ?

由(i) (ii)知,对任何 n ? N 命题都成立。

1 1 k ? k ? 1? ,g? k ? ? k 2 ,h? k ? ? k ? k ? 1? ? 1 故 n ? k 2 2

时命题成立。

用数学归纳法证明: (3n ? 1)7 n ? 1(n ? N ? ) 能被 9 整除 2、 是否存在常数 a, b, c 使等式 1? (n 2 ? 12 ) ? 2(n 2 ? 2 2 ) ? ? ? ? ? n(n 2 ? n 2 ) ? an4 ? bn2 ? c 对一切正整数

n 都成立?证明你的结论。
17.数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? an ,先计算数列的前 4 项,后猜想 an 并证明之.

10


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